【文档说明】人教版八年级数学上册19《完全平方公式》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）.doc，共(8)页，201.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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完全平方公式（提高）【学习目标】1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方

和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即2222aabbab，2222aabbab.形如222aabb，222aabb的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、

b可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108因式分解之公式法知识要点】要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）

．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式【高清课堂400108因式分解之公式法例4】1、分解因式：（1）22363axaxyay；（2）42242aab

b；（3）2222216(4)xyxy；（4）4224816aabb．【答案与解析】解：（1）222223633(2)3()axaxyayaxxyyaxy．（2）42242222222

()[()()]()()aabbababababab．（3）2222216(4)xyxy22222222(4)(4)(44)(44)xyxyxyxyxyxy22222(2)[(

44)](2)(2)xyxxyyxyxy．（4）4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)aabbababababab．【总结升华】（1）提公因式法是

因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()xaxaxbxb．（2）22224()4()()xyxyxy．【答

案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]xaxaxbxb22[2()3()](523)xaxbxab．（2）原式22[2()]22()()()xyxyxyxy22[2()()](3)xyx

yxy．2、（2016•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3．【思路点拨】先提公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：a3b+2a2b2+ab3=

ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．举一反三：【变式】若x，y是整数，求证：

4234xyxyxyxyy是一个完全平方数.【答案】解：4234xyxyxyxyy4423xyxyxyxyy2222

4(54)(56)xxyyxxyyy令2254xxyyu∴上式2422222(2)()(55)uuyyuyxxyy即4222234(55)xyxyxyxyyxxyy类型二、配

方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：22228211819131324xxxxxxxxx那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二

次项系数为1的情况：如2xbx添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222bbbxbxxxx因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352xx.【思路点拨】提出二次项的系

数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如2252352333xxxx222555233663xx25493636x2257366x

575736666xx1323xx【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方.二次项系数不是1的时候，转化为二次项系

数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、（2015春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多

项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x2+6x﹣2）=2（x2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2

×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值．【答案与解析】解：原式=3（x2﹣2x+4）=3（x2﹣2x+1﹣1+4

）=3（x﹣1）2+9，∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x=1，∴3（x﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最小值是9．【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方

公式是解本题的关键．举一反三：【变式1】若△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足222166100abcabbc，求证：2acb.【答案】解：22216610abcabbc22222269251035aabbbbccabb

c所以22350abbc2235abbc所以3(5)abbc所以28acbbca或因为△ABC的三边长分别为a、b、c，cab，所以8bcab，矛盾，舍去.所以2acb.【变式2】（2015春•萧山区

期中）若（2015﹣x）（2013﹣x）=，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=．【答案】4032．解：∵（2015﹣x）（2013﹣x）=，∴[（2015﹣x）﹣（2013﹣x）]2=（2015﹣x）2+（2013﹣x）2﹣2（2015﹣x）（2013﹣x）=4，则

（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=4+2×=4032．【巩固练习】一.选择题1.若22(3)16xmx是完全平方式，则m的值为（）A．－5B．7C．－1D．7或－12．（2016•富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+

4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个3.如果24aabm是一个完全平方公式，那么m是（）A.2116bB.2116bC.218bD.218b4.（2015•永州模拟）已知a=2005x+2004，

b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0B．1C．2D．35.若3ab，则222426aabb的值为（）A.12B.6C.3D.06.若x为任意实数时，二次三项式26xxc的值都不小于0，则常

数c满足的条件是（）A.0cB.9cC.0cD.9c二.填空题7．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2=．8.因式分解:222224mnmn＝_____________.9.因式分解:2221xxy

＝_____________.10.若224250xyxy，xy＝_____________.11.当x取__________时，多项式2610xx有最小值_____________.12.（2015•宁波模拟）如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9

y2﹣4x+4=0，那么=．三.解答题13.若44225abab，2ab，求22ab的值.14.（2015春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a﹣）2；（3）a﹣．15.若三角形的三边长是abc、、，且满足2222220a

bcabbc，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵2222220abcabbc，∴2222(2)(2)0aabbcbcb.即220abbc∵220,0abbc，∴,abbcabc即

.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知：abc、、为三角形的三条边，且2220abcabbcac，试判断三角形的形状.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】由题意，3m＝±4，71m或.2.【

答案】C；【解析】②③⑤不能用完全平方公式分解.3.【答案】B；【解析】222211142222aabmaabbab，所以2144mb，选B.4.【答案】D；【解析】解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，所求

式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D．5.【答案】A；【解析】原式＝

222623612ab.6.【答案】B；【解析】22639xxcxc，由题意得，90c，所以9c.二.填空题7.【答案】（2x﹣y）2【解析】4x2﹣4xy+y2=（2x）2﹣2×2x•y+y2=（2x﹣y）2．8.【答案】22mnmn

；【解析】22222222222422mnmnmnmnmnmnmnmn.9.【答案】11xyxy【解析】222221111xxyxyxyxy

.10.【答案】1；【解析】2222425210xyxyxy，所以2,1xy，1xy.11.【答案】－3，1；【解析】2261031xxx，当3x时有最小值1.12.【答案】

．【解析】解：可把条件变成（x2﹣6xy+9y2）+（x2﹣4x+4）=0，即（x﹣3y）2+（x﹣2）2=0，因为x，y均是实数，∴x﹣3y=0，x﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为．三.解答

题13.【解析】解：44224422222ababababab22222abab将2ab代入222225abab2222222259abab∵22ab≥0，∴22ab＝3.14.【解析】解：（1）把a+=代入得：（

a+）2=（）2=10；（2）∵（a+）2=a2++2=10，∴a2+=8，∴（a﹣）2=a2+﹣2•a•=8﹣2=6；（3）a﹣=±=±．15.【解析】解：∵2222222220abcabbcac∴2222222220aabbbbccaacc

2220abbcac∴000abbcac∴abc，该三角形是等边三角形.