【文档说明】人教版八年级数学上册15《轴对称 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案).doc，共(16)页，335.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-24045.html

以下为本文档部分文字说明：

轴对称全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2.了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法

.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称【高清课堂：389304轴对称复习，本章概述】1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对

称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等

形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:

轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看

成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图

形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴

对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫

做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°

.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形

；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一

面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？图1【答案与解析】该算式的情况是：120＋85＝205【总结升华】从镜子里看物体——左右相反举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒

影”应是图中的（）.【答案】B；提示：从水中看物体——上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．【答案与解析】解：作点A关于直线CF对称的

点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A•球撞击桌面边缘CF的位置，A•球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置.举一反三：【变式】（201

6春•深圳校级期中）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30【答案】A；提示：根据轴对称的性质，,QEQPRPRF，△PQF的周长等于EF.【高清课堂：38

9304轴对称复习：例10】3、如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．【思路点拨】关于AB直线对称，且与△ABC全等的△ABD有一个，此时的△ABC与△ABD绕着AB的中

点旋转180°，又可以找到两个与△ABC全等的三角形.【答案与解析】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.【总结升华】有一条边相同的全等三角形，可以通过轴对称和旋转的方法找出，注意不要漏解.举一反三：【变式

】在直角坐标系xoy中，△ABC关于直线y＝1轴对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（）A.（4，－4）B.（－4，2）C.（4，－2）D.（－2，4）【答案】C；提示：点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点，它们到y＝1的距离相等是3个单位长度，所以点B的坐标是

（4，－2）．类型二、等腰三角形的性质与判定4、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组23328xyxy，则此等腰三角形的周长为（）A.5B.4C.3D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边

长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组23328xyxy得21xy，当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，当腰为2，1为底

时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．举一反

三：【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对【答案】C；提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2

＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．5、（2015秋•淮安校级期末）如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证

明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．【思路点拨】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推

出∠PRC与∠AQR的关系；（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP与∠PRC的关系．【答案与解析】解：（1）AR=AQ，理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵RP⊥BC，∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC．∵

∠BQP=∠AQR，∴∠PRC=∠AQR，∴AR=AQ；（2）猜想仍然成立．证明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵∠ABC=∠PBQ，∴∠PBQ=∠C，∵RP⊥BC，∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP

=∠PRC，∴AR=AQ．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定；题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据．举一反三：【变式1】

（2016·常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数.【答案】（1）证明：∵AB=AC．∴∠ABC＝∠

ACB，∵BD、CE是高，∴∠DBC＝∠ECB，∴OB=OC（2）∵∠ABC＝50°，AB=AC，∴∠A=180°-2×50°=80°，∴∠BOC=180°-80°=100°.【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探

究线段DE与AM之间的数量关系．【答案】ED＝2AM解：连接DE，∵∠BAC＝90°，M是BC的中点∴AM＝BM＝MC＝12BC∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD∴△ABC≌△AED∴ED＝BC∴ED＝2AM类型三、等边三角形的性质与判定【高清课堂：389

303等边三角形：例4】6、如图，设D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB,∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠D

CA＝12×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【总结升华】本题主要考查了等边三角形

的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】（秋•东胜区校级期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．（1）求证：△BCE≌△AC

D；（2）求证：FH∥BD．【答案】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△AC

D（SAS）．（2）由（1）知△BCE≌△ACD，则∠CBF=∠CAH，BC=AC又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，在△BC

F和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，又∵∠FCH=60°，∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD．【巩固练习】一.选择题1.（2016•北京）甲骨文是我国

的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（2015•威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（）A．13B．12C．1

5D．203.以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也

不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，BD是△ABC

的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E,且AB＝BC，则下列结论中错误．．的是（）A．BD⊥ACB．∠A＝∠EDAC．BC＝2ADD．BE＝ED6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为

（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是（）A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC≌

△111CBA,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN是线段AB的垂直平分线，若P点使PA＝PB，则点P在MN上，若11PAPB，则1P不在MN上8．如图所示,Rt△ABC中，∠C＝90°,AB的垂直平分线DE交B

C于D，交AB于点E．当∠B＝30°时，图中不一定相等的线段有（）A．AC＝AE＝BEB．AD＝BDC．CD＝DED．AC＝BD二.填空题9.如图，O是△ABC内一点，且OA＝OB＝OC，若∠OBA＝20°,∠OCB＝30°，则∠OAC＝_________.1

0.如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，∠C的度数为_________.11.如图，△ABC中，∠C＝90°，D是CB上一点，且DA＝DB＝4，∠B＝15°,则AC的长为．12.（•宝应县二模）如图，在△

ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC=cm．13.点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠

CEG＝．14．一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是______．15.（2016·厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为

_________.16.三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．三.解答题17.（2015春•宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，

且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．18.如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若小岛

周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，•且AB＝AE，AC＝AD，求证∠DBC＝12∠DAB．20．如图所示，在△ABC中，∠

B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．CEBADM【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．2.【答案】B；【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，同理DF=CF，∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=

AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12．故选B．3.【答案】C；【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．4.【答案】B；【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5.【答案】C；【解析】因为BD是△A

BC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6.【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，

故△CEF为等腰三角形.7.【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8.【答案】D；【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.二.填空题9.【答案】40°；【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝180220302

（）＝40°.10.【答案】30°；【解析】证△BDE≌△CDE，∠ABD＝∠DBE＝∠C＝30°.11.【答案】2；【解析】∠ADC＝30°，122ACAD.12.【答案】62；【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN

⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=60，DE=2，∴DM=58，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=

29，∴BN=31，∴BC=2BN=62，故答案为62．13.【答案】40°；【解析】∠BDE＝18080502，∠BED＝∠DEG＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG＝40°.14.【答案】W5236499【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，

因此该车的牌照号码为：W5236499.15.【答案】16或8；【解析】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，根据题意可分两种情况：①AB+AD=15，即315x，解得5x，此时

BC=21516；②AB+AD=21，即321x，解得7x，此时BC=1578；经验证，这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.16.【答案】50°；【解析】∠C＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.三.解答题17.【解析】解：

作点N关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于点Q，则此时△MNQ的周长最小，理由：∵点N的坐标是（3，0），∴点N′的坐标是（﹣3，0），过点M作MD⊥x轴，垂足为点D∵点M的坐标是（1，4）∴N′D=MD=4∴∠MN′D=45°，∴N′O=OQ=3，即点Q的坐

标是（0，3）．18.【解析】解：该渔船继续向正北航行有触礁危险作CD⊥AB于D，由题意AB＝24，∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°∴∠ACB＝15°，AB＝BC＝24在直角三角形BCD中，DC＝12BC＝12，∵12＜12.3，∴该渔船继

续向正北航行有触礁危险.19.【解析】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAE＝∠CAB在△DAE和△CAB中，,,,ADACDAECABAEAB∴△DAE≌△CAB（SAS），∴∠BDA＝

∠ACB，又∵∠AED＝∠CEB，∴∠ADE＋∠AED＝∠ACB＋∠CEB，∵∠DAE＝180°－（∠ADE＋∠AED），∠DBC＝180°－（∠ACB＋∠CEB），∴∠DAE＝∠DBC，∵∠DAE＝12∠DAB，∴∠

DBC＝12∠DAB．20．【解析】证明：连接BM，∵AB＝BC，AM＝MC，∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝12∠ABC＝45°，∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝1802ABC＝45°，∴∠A＝∠ABM，所以A

M＝BM，∵BD＝CE，AB＝BC，∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，在△ADM和△BEM中，,45,,ADBEAEBMAMBM∴△ADM≌△BEM（SAS），∴DM＝EM，∴△DEM是等腰

三角形．