【文档说明】人教版八年级数学上册14《等边三角形》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案).doc，共(12)页，295.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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等边三角形（基础）【学习目标】1.掌握等边三角形的性质和判定.2.掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3.熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】【高清课堂：389303等

边三角形，知识要点】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的

性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直

角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型

例题】类型一、等边三角形1、（秋•崇州市期末）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即

可证明△ADE为等边三角形．【答案与解析】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∠BAC=60°

，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB

时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴P

E＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.【答案与解析】证明：在ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°∴ABC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等

边三角形）∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60°在ADC和CEB中)()()(已知已证已证CEADECBACBACADC≌CEB（SAS）∴21＝（全等三角形对应角相等）23DPB＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角和）∴13DPBACB＝＋＝∴∠DPB＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.举一反三：【变式】（秋•黔西南州期末）△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点

，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？【答案】解：证法一．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中，△AMB≌△BNC（SAS），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣

∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），=180°﹣120°=60°，∠BOM=∠AQN=60°（

全等三角形对应角相等）．证法二．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中∴△AMB≌△BNC（SAS）∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC∠MAN=∠BAC

﹣∠MAB又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）∴∠ANB+∠MAN=120°又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）=180°﹣120°=60°3、（1

）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OC

D不能重叠），求∠AEB的大小．【思路点拨】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持

全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB的值.【答案与解析】证明：（1）∵O是AD的中点，∴AO＝DO又∵等边△AOB和等边△COD∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BO

C＝∠AOB＝60°∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°∴∠AEB＝∠BDO＋∠CAO＝60°（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC∴∠BOD＝∠AOC在△BOD与△AOC中，BOAOBODAOCDOCO

∴△BOD≌△AOC（SAS）∴∠ACO＝∠BDO∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质

，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB的度数.【答案】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠A

CD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB＝∠ACB＝60°．类型二、含30°的直角三角形4、（2016春·龙口市期末）如图，E是∠AOB的平分线上一

点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）若EF=5，求线段OE的长.【答案与解析】解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥

OA，C、D是垂足，∴DE=CE，在Rt△ODE和Rt△OCE中，DECEOEOE∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）∴OD=OC，∵∠AOB=60°，∴△OCD是等边三角形；（2）∵△OCD是等边三角形，

OF是角平分线，∴OE⊥DC，∵∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵∠ODF=60°，ED⊥OA，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF=10，∴OE=2DE=20.【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线

的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。举一反三：【高清课堂：389303等边三角形：例5】【变式】如图,△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝60°,AB的中

垂线交BC的延长线于D，交AC于E,已知DE＝2.则AC的长为_________.【答案】3；提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE＝AE＝2，CE＝1，所以AC＝3.【巩固练习】一.选择题1．（2016•陕西一模）已知：如图，在△

ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（）A．10°B．15°C．20°D．25°2．以下叙述中不正确的是()．A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C．等腰三角形一

定是锐角三角形；D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．3.（秋•荔湾区期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（）A．7B．8C．

9D．104.△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝0，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°

6.如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2B．4C．6D．12二.填空题7.（2016•黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若C

D=3，则BD的长为．8．如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12cm，则CD＝________cm．9.下列命题是真命题的是_________.①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形．②有两个

外角相等的等腰三角形是等边三角形．③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．④三个外角都相等的三角形是等边三角形．10.△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=

BF，则△DEF为_____三角形.11．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.12.如图，ABC△是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DEAB

于点E，DFAC于点F．若4BC，则BECF_____________．三.解答题13.已知：如图，△ABD为等边三角形，△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，DE⊥AC交AC延长线于E，求证：DE＝CE

.14.（秋•大英县校级期末）已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h1+h2=h．（2）

如图2，当点P在△ABC内时，猜想h1、h2、h3和h有什么关系？并证明你的结论．（3）如图3，当点P在△ABC外时，h1、h2、h3和h有什么关系？（不需要证明）15.如图，直角△ACB中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，而△ACD和△ABE都是等边三角形，AC，DE交于F.求证：F

D＝FE且CF＝3AF.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴EB=EC，AB=AC；∴∠EBD=∠ECD，∠ABC=∠ACD．又∵∠ABC=60°，∠ECD=

40°，∴∠ABE=60°﹣400=200.2.【答案】C；【解析】等腰三角形顶角还可能是直角或钝角.3.【答案】C；【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴AD=CD=AC，∠DBC

=∠ABC=30°，∵CE=CD，∴CE=AC=3∴BE=BC+CE=6+3=9．故选C．4.【答案】B；【解析】由题意a＝b或b＝c或a＝c，这个三角形一定是等腰三角形.5.【答案】B；【解析】等边△ABC的两条高线相交于O，∠OAB＝∠OBA＝30°，故∠AOB＝120°

.6.【答案】C；【解析】AE＝2DE，△ABC的面积是△CDE面积的6倍.二.填空题7.【答案】6；【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=C

D=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6.8.【答案】2；【解析】在直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半.9.【答案】①④【解析】②一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；③等腰三角形底边上的高就是底边的中线.10.【答案】等边；【解析】利

用SAS可以判定△EAF≌△FBD≌△DCE，从而可得，EF=FD=DE，即△DEF为等边三角形.11.【答案】①②③④；12.【答案】2；【解析】BE＝12BD；CF＝12DC，BECF12（BD＋DC）＝2.三.解答题13.【解析】证明：连接D

C，∵△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠DBA＝60°又∵△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠BDC＝∠ADC＝30°∴∠CBD＝15°，∠DCB＝180°－30°－15°＝135

°又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝45°∵DE⊥AC∴ΔDEC为等腰直角三角形∴DE＝CE14.【解析】解：（1）如图1，连接AP，则S△ABC=S△ABP+S△APC∴BC•AM=AB•PD+AC•PF即BC•h=AB•h1+

AC•h2又∵△ABC是等边三角形∴BC=AB=AC，∴h=h1+h2．（2）h=h1+h2+h3，理由如下：如图2，连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP∴BC•AM=AB•PD+AC•PF+BC•PE即BC•h=AB•h1+AC•h2+B

C•h3又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC．∴h=h1+h2+h3．（3）h=h1+h2﹣h3．理由如下：如图3，连接PB，PC，PA由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，即BC

•AM=AB•PD+AC•PE﹣BC•PF，∵AB=BC=AC，∴h1+h2﹣h3=h，即h1+h2﹣h3=h．15.【解析】证明：作DG⊥AC于G，∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴∠CDG＝3

0°，DC＝AC，AB＝AE，CG＝AG在△ABC与△DGC中30ABCDGCBACCDGACDC∴△ABC≌△DGC（AAS）∴DG＝AB＝AE在△DGF和△EAF中，DFGEFADGFEAFDGAE∴△DGF≌△EAF（

AAS）∴AF＝GF，FD＝FE∵CG＝AG，AF＋GF＝AG∴CF＝3AF.