【文档说明】人教版八年级数学上册13《轴对称 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）.doc，共(18)页，642.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2.了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：3893

04轴对称复习，本章概述】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直

线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一

个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上

的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对

应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴

对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰

三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形

.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐

角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包

含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与

△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC

的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：连接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点∴∠AD

B＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的

度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作P关于OM、ON的对称点1P，2P，连接12PP交OM于A，ON于

B.则△PAB为符合条件的三角形.∵∠MON＝40°∴∠12PPP＝140°.∠1PPA＝12∠PAB,∠2PPB＝12∠PBA.∴12(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°∵∠PAB＝∠1P＋∠1PPA,∠PBA＝∠2P＋∠2PPB∴∠

1P＋∠2P＋∠12PPP＝180°∴∠APB＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧

有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：①如图3，在五边形A

BCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为．【答案】解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线M

N于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求．（2）作图如下：（3）①作图如下：②∵∠BAE=125°，∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，∴∠AMN+∠ANM=2（∠P

+∠Q）=2×55°=110°．3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，

再利用对称点的性质得出答案．【答案】D；【解析】解：∵该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），∴对称点到直线x=3的距离为2，∵点M（a，3）到直线x=3的距离为2，∴a=1【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的

性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键．举一反三：【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△AOB关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）

B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【答案】D；提示：因为Rt△AOB与Rt△AOB关于直线m对称，所以通过作图可知，A的坐标是（－2，－1）．【高清课堂：389304轴对称复习：例10】【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（

0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC中．AB=AC

，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12A

C•PF，ABCS△=12AB•CH．又∵ABPACPABCSSS△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、C

H又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE

=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH，∵ABPS△=ACPS△+ABCS△，∴12AB•PE=12

AC•PF+12AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABCS△=12AB•CH，AB=AC，∴12×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②

P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3

＝48°，∠4＝24°.求ADB的度数．【答案与解析】解：将ABD△沿AB翻折，得到ABE△，连结CE，则ABDABE△≌△，∴,,BDBEADBAEB∠1＝∠5＝12°.∴125EBC60°∵3ABC48°∴ABA

C．又∵∠2＝36°，34BCD72°，∴,BDCBCDBDBC∴BE＝BC∴BCE△为等边三角形.∴.BECE又,ABACAE∴垂直平分BC．∴AE平分BEC．∴12AEBBEC

30°∴∠ADB＝30°【总结升华】直接求ADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD△全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠

DBA＝10°，求∠ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DEACD123B5E∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DB

A＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°类型三、等边三角形的综合应用6、（秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延

长线上，且ED=EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AEDB（填“

＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的

边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边

即可得证；（2）AE=DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全

等，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【答案与解析】解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；（2）AE=DB，理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明

：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF，BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，∴∠DEB=∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB=

EF，则AE=DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB=EF=2，BC=1，则CD=BC+DB=3．【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【巩

固练习】一.选择题1.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右．．对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）2.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大

小为()A.15°B.30°C.45°D.60°3．（2016秋·诸城市月考）下列语句中，正确的有（）①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应

点一定在对称轴的两侧；⑤角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等.A．1个B.2个C.3个D.4个4.小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（）A.12：01B.10：51C.11：59D.10：215.已知A（4，3）和

B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝－3轴对称，则平面内点B的坐标是（）A.（1，3）B.（－10，3）C.（4，3）D.（4，1）6．（•本溪校级二模）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E

，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定7.如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处.若1129，则2的度数为（）A.49°B.50°C.51°D.52°8.如图,△A

BC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝60°,AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E,已知DE＝2.AC的长为（）A.2B.3C.4D.5二.填空题9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点1B重合，则

AC＝cm．10.在同一直角坐标系中，A（a＋1，8）与B（－5，b－3）关于x轴对称，则a＝___________，b＝___________.11．如图所示，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E

，若BD＋CE＝9，线段DE＝_______．12.（2016春•淄博期中）如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=．13．如

图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．14.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长

的最小值为.15.（•徐州模拟）如图，△ABC的面积为4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积为cm2．16.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长

等于_________。三.解答题17．如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，•DF＝AC，求证AE平分∠BAC．18.如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点

B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，•过F•作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝x，AQ＝y．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？19．（•清河区三模）阅读理解：如图1，

在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P是△ABC的边AB上的和谐点．解决问题：（1）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，试

找出边AB上的和谐点P，并说明理由．（2）已知∠A=40°，△ABC的顶点B在射线l上（图3），点P是边AB上的和谐点，请在图3中画出所有符合条件的B点，并写出相应的∠B的度数．20．已知，∠BAC＝90º

，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N.求证：∠ADB＝∠CDNMNDCBA【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】作出对称轴，将图形还原即可.2.【答案】C；【解析】由题意，∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠FBC，所以∠EBF＝12∠ABC＝45°，故选C．3

.【答案】B；【解析】①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称，错误；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧，错误；⑤角平

分线上任意一点到角的两边的线段长相等，错误；综上所述，正确的只有①③共2个.4.【答案】B；5.【答案】B；【解析】点B的纵坐标和点A一样，（横坐标＋4）÷2＝－3，解得横坐标为－10.6.【答案】B；【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠Q

CD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴

AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故选：B．7.【答案】C；【解析】∠A＝∠DOE,∠B＝∠HOG,∠C＝∠EOF,所以∠2＝360°－180°－129°＝51°.8.【答案】B；【解析】连接AD，易证三角形ABD为等边三角形，CE＝12DE＝1，AE＝DE＝2，所以AC＝A

E＋CE＝2＋1＝3.二.填空题9.【答案】4；【解析】因为AE＝CE，∠1ABE＝90°，所以1B为AC的中点.AC＝2AB＝4.10.【答案】5,6ba；【解析】由题意a＋1＝－5，3－b＝8，解得5,6ba.11．【答案】9；【

解析】因为DE∥BC，所以∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，因为∠FBC＝∠FBD，∠FCB＝∠FCE，所以∠FBD＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，所以BD＝DF，CE＝EF，所以BD＋CE＝DF＋FE＝DE，所以DE＝BD＋CE＝9．12.【答案】5cm；【

解析】过M作MF⊥AC于F，∵AM是∠BAC的角平分线，∴MD=MF，∠BAM=∠CAM，∵ME∥BA，∴∠AME=∠BAM，∴∠CAM=∠AME=12∠BAC=12×30°=15°，∵∠CEM是△AME的外角，∴∠CEM=∠C

AM+∠AME=15°+15°=30°，在Rt△MEF中，∠FEM=30°，∴MF=12ME=12×10=5cm，∴MD=MF=5cm．13．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠AC

B＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．14.【答案】4；【解析】过D作DP⊥B

C，此时DP长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.15.【答案】2；【解析】解：如图，延长AP交BC于D，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴AP=PD，∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP，∴△PBC的面积=S△DBP+S△DCP=S△ABC=×4=2cm2．故答

案为：2．16.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝x，EF＝y，则有x＋1＋3＝x＋y＋2＝3＋3＋2＝8所以x＝4，

y＝2，六边形ABCDEF的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.三.解答题17．【解析】证明：延长FE到G，使EG＝EF，连接CG，在△DEF和△CEG中，ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，∴△DEF≌△CEG，∴DF＝GC，∠DFE

＝∠G，∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，∵DF＝AC，∴GC＝AC，∴∠G＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC．18．【解析】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝2．在△BEP

中，∵PE⊥BE，∠B＝60°，∴∠BPE＝30°，而BP＝x，∴BE＝12x，EC＝2－12x，在△CFE中，∵∠C＝60°，EF⊥CF，∴∠FEC＝30°，所以FC＝1－14x，同理在△FAQ中，可得AQ＝12＋18x，而AQ＝y，所以y＝12＋1

8x（0＜x≤2）．（2）当点P与点Q重合时，有AQ＋BP＝AB＝2，∴x＋y＝2，所以2,11,28xyyx解得x＝43．∴当BP的长为43时，点P与点Q重合．19．【解析】解：（1）AB边上

的和谐点为AB的中点；理由如下：∵P是AB的中点，∴PC=AB=PA=PB，∴△ACP和△BCP是等腰三角形；（2）所有符合条件的点B有3个，如图3所示：∠B的度数为35°、50°、80°．20.【解析】证明：作∠BAC

的角平分线交BD于H∴∠BAH＝∠CAH＝45º∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝45º∴∠BAH＝∠C∵AN⊥BD于M，∴∠AMD＝90º∴∠NAD＋∠ADB＝90º∵∠BAC＝90º∴∠ABD＋∠ADB＝90º∴∠AB

D＝∠NAC在△ABH与△CAN中CBAHACABNACABD∴△ABH≌△CAN∴AH＝CN∵D为AC边上的中点∴AD＝CD在△AHD与△CND中CDADCCAHCNAH∴△AHD≌△CND∴∠ADB＝∠CDN．MNHDCBA