【文档说明】人教版八年级数学上册11《等腰三角形性质及判定》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）.doc，共(13)页，347.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1.掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2.掌握等腰三角形的判定定理．3.熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形

的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C

是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A.【高清课堂：3

89301等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角

形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称

轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形

的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【答案】D；【解

析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数

为120°，故此题应选D．【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】（2015•杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案

】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80

°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图

中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等

角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：∠A＋∠B＝90°，（2）作图：猜想：∠B＝3∠A.【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反

三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计

算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x，45°＋90°－x＋1802x＝180°，x

＝30°.②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、（2015秋•东西湖区期中）如图，△ABC中，∠C=2

∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至

F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．【答案与解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠CBD=∠EBD，∵在△CBD和

△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴CD=ED，∠C=∠BED，∵∠C=2∠A，∴∠BED=2∠A，∵∠BED=∠A+∠ADE，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CD，∵AB=BE+

AE，∴AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD，则∠F=∠CDF，∵∠ACB=∠F+∠CDF，∴∠ACB=2∠F，∴∠ACB=2∠A，∴∠A=∠F，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴AB=BF，∵

BF=BC+CF，∴BF=BC+CD，∴AB=BC+CD．【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造

全等三角形．举一反三：【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【答案】证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG..,,,().ADBDCDACDGBDADDGADCGDBCD

BDACDGBDSAS∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△ABCDEFG,.,.,..BGACGCADAEEFCADAFEBFDAFEGBFDBFBGAC∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC＝BC，∠ACB

＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE、AC交于点F.∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△AEB≌△AEF（ASA）.

∴BE＝FE＝12BF.∵∠3＝90°－∠F＝∠2，BC＝AC,∴Rt△BCF≌Rt△ACD（ASA）∴BF＝AD，BE＝12AD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性

质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.求证：AM＝12(AB＋AC)．【答案】证明：延长AM至点E，使ME＝AM，连接CE

.,,..,....AMMECMAEACCEECAMADBACCAMBAMEBAMABCEBBCE∵∴∴∵平分∴∴∴∥∴,.,..2.ABADBADBCDEADBCDEBCEDECEAMAEADDEABAC

∵∴又∵∴∴∴∴12AMABAC【巩固练习】一.选择题1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于()．A．30°B．36°C．45°D．54°2.等腰三角形两边a、b满足｜2ab｜＋22311ab＝0，则此三角

形的周长是（）A．7B．5C．8D．7或53.（2015春•宜阳县期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（）A．10B．15C．20D．254.（2015秋•西城区期末）如图，

在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（）．A．B．1C．2D．55．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，

则满足条件的点P有（）A．1个B．3个C．5个D．无数多个6.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等

腰三角形的点E的位置共有（）A、2个B、3个C、4个D、5个二.填空题7．已知一个等腰三角形的顶角为x度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含x的式子表示）.8.已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为_____

___.9.（2016春•淄博期中）等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为．10.如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．11．如图，钝角三角形纸片AB

C中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF＝_________°．12.（2015•黄岛区校级模拟）如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、

„、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，„，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=°．三.解答题13.（秋•海陵区期末）如图，点A的坐标为（5

，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.FEDCBA15.在A

BC△中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与BC、重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE△，使ADAEDAEBAC，，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果90BAC°，则BCE_________；（2）设B

AC，BCE．①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】设∠A＝x，则由题意∠ADE＝180°－2x，∠EDB＝2

x，∠BDC＝∠BCD＝90°－2x，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以x＝45°.2.【答案】A；【解析】a－b＋2=0且2a＋3b－11=0，解得a＝1，b＝3，选A；B选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.3.【答案】D；【解析】解：∵BO平分∠CBA，∴

∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=10，AC=

15，∴C△AEF=25．故选D．4.【答案】C；【解析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，BC=5，△BCD的面积为5，得出DF=2，又BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，得DE=DF=2。故选C5.【答

案】C；【解析】如图所示：A、B中垂线与l的交点为P点；分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与l交于4个P点；6.【答案】C；【解析】P点在以B为圆心，AB为半径的圆上，作BC的中垂线（绿色），与B交于两点为1P，2P点，以C为圆心，BC

为半径画圆，与B交于两点为3P，4P点.有4个P点，则能找到4个E点.二.填空题7.【答案】2x；【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是2x.8.【答案】7或8；【解析】2或3都可能是腰，要分情况讨论.9.【答案】5，5或6，4；【解析】①当4为底

边时，另外两边为5，5，因为4+5＞5，所以能构成三角形；②当4是腰长时，另外两边为6，4，因为4+4＞6，所以能构成三角形；故答案为：5，5或6，4．10.【答案】45；【解析】△ADC≌△BDH，AD＝BD，所以∠AB

C＝45°.11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.12.【答案】；【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，∴∠BA1A===75°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===37.5°

；∴∠C1A3A2=18，75°，∠C2A4A3=9.375°，„，∴∠An=，故答案为：．三.解答题13.【解析】解：如图，OA是腰长时，以O点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有2个点（红色的点）分别为：（3，4

）、（4，3）、可以作为点B，以A点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有4个点（蓝色的点）分别为：（5，5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作为点B，OA是底边时，OA垂直平分线上的点均

不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点B．所以，满足条件的B的个数是2+4=6，分别为：（5，5）、（3，4）、（4，3）、（2，4）、（1，3）、（8，4）．14.【解析】BE＋CF＞EF证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG∵D是BC中点∴BD＝CD又∵

DE⊥DF∴EG＝EF在△FDC与△GDB中DGDFBDCD21∴△FDC≌△GDB(SAS)∴BG＝CF∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF.15．【解析】（1）90°；（2）①α＋β＝180°.证明：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠B

AC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，ABACBADCAEADAE∴△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE．∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠

ACB．∴∠B＋∠ACB＝β，∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，∴α＋β＝180°；②如图：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．