【文档说明】人教版数学九上09《二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(13)页，438.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画二次函数2(0)yaxbxca的图象；会用配方法将二次函数2yaxbxc的解析式写成2()yaxhk

的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2yaxbxc的性质；3.经历探索2yaxbxc与2()yaxhk的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的

思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)yaxbxca与2()(0)yaxhka之间的相互关系1.顶点式化成一般式从函数解析式2()yaxhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k

)，所以我们称2()yaxhk为顶点式，将顶点式2()yaxhk去括号，合并同类项就可化成一般式2yaxbxc．2.一般式化成顶点式2222222bbbbyaxbxcaxxcaxxcaaaa

22424bacbaxaa．对照2()yaxhk，可知2bha，244acbka．∴抛物线2yaxbxc的对

称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa．要点诠释：1．抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24,24bacbaa，可以当作公式加以记忆和运用．2．

求抛物线2yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)yaxbxca的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点

定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，

将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画

出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)yaxbxca的图象与性质1.二次函数20()yaxbxca图象与性质函数二次函数2yaxbxc（a、b、c为常数，a≠0）图象0a0a开口方向向上向下对称轴直

线2bxa直线2bxa顶点坐标24,24bacbaa24,24bacbaa增减性在对称轴的左侧，即当2bxa时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2bxa时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当2bxa时，y随x

的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2bxa时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当2bxa时，y有最小值，244acbya最小值抛物线有最高点，当2bxa时，y有最大值，244acbya最

大值2.二次函数20()yaxbxca图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母的符号图象的特征字母aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧

cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点要点四、求二次函数2(0)yaxbxca

的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bxa时，244acbya最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2bxa时

，244acbya最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，222yaxbxc最大值；当x＝x1时，211yaxbxc最小值，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，211=ax+bx+yc

最大值；当x＝x2时，222=ax+bx+yc最小值，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，2bxa时y值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)yaxbxca的图象与性质1．求抛物线2142yxx的对称轴和顶

点坐标．【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222yxxxxxx211(1)422x217(1)22x．∴顶点坐标为71,2，对称轴为直

线1x．解法2（公式法）：∵12a，1b，4c，∴11122()2bxa，2214(4)147214242acba．∴顶点坐标为71,2，对称轴为直线1x．解法3（代入法）：∵12a，1b，4c，∴1

11222bxa．将1x代入解析式中得，21711422y．∴顶点坐标为71,2，对称轴为直线1x．【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式

化成顶点式；（2）用顶点公式24,24bacbaa直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【高清课程名称：二次函数2(0)y

axbxca的图象与性质高清ID号：392790关联的位置名称（播放点名称）：例题1】【变式】把一般式2286yxx化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.【答案

】（1）向下；x=2；D(2，2).（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于

是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【答案】A．【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选A．【总结升华】本题考查了二次函数

和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．类型二、二次函数2(0)yaxbxca的最值3．求二次函数211322yxx的最小值.【答案与解析】解法1(配方法)：∵2221111(6)(639)2222yxxxx

21(3)42x，∴当x＝-3时，4y最小．解法2(公式法)：∵102a，b＝3，12c∴当331222bxa时，22114341922414242acbya最小．解法3(判别式法)：∵211322yxx，∴26

(12)0xxy．∵x是实数，∴△＝62-4(1-2y)≥0，∴y≥-4．∴y有最小值-4，此时2690xx，即x＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，

根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【高清课程名称：二次函数2(0)yaxbxca的图象与性质高清ID号：392790关联的位置名称（播放点名称）：例题2】【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形

面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？【答案】(30)SLL2(30)LL2(15)225L（0<L<30）．15L（m）时，场地的面积S最大，为225m2．类型三、二次函数2(0)yaxbxca性质

的综合应用4．（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并

说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案与解析】解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），

∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标

为（0，﹣1），∴AM=，AB===3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+

2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤

，即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在

（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.将二次函数223yxx化为2()yxhk的形式，结果为（）．A．2(1)4yxB．2(1)4yxC．2(1)2yx

D．2(1)2yx2．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确

的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1D．当x＞1时，y随x的增大而减小4．抛物线2yxbxc的图象向右平移2个单位

长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为223yxx，则b、c的值为（）．A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A.等于0B.等于

1C.等于-1D.不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是()二、填空题7．二次函数2241yxx的最小值是________．8．已知二

次函数22yaxaxc，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．10．二次函数23yxmx的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值

是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③

a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是_____.12．（2016•玄武区一模）如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是．三、解答题13．（2015•齐齐哈尔

）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的

坐标和四边形ABCD的面积．14.如图所示，抛物线254yaxaxa与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线

的解析式．15.已知抛物线215322yxx：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值

还是最小值？最值为多少？【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将22xx化成含x的完全平方式为2(1)1x，所以2223(1)2yxxx．2.【答案】B.【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次

三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．3.【答案】D．【解析

】画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．A、∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确；B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；C、∵﹣=﹣=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；D、∵抛物线开口向上，且抛物线的

对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．故选D．4.【答案】B；【解析】2223(1)4yxxx，把抛物线2(1)4yx向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线2(1)1yx，∴222(1)12yx

bxcxxx，∴2b，0c．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7．【答案】-3；【解

析】∵20a，∴函数有最小值．当4122x时，242(1)(4)342y．8．【答案】4；【解析】由对称轴212axa，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9．【答

案】(1，-4)；【解析】求出解析式2223(1)4yxxx.10．【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把1x，0y代入23yxmx，得130m，解得4m．11．【答案】①④，②③

④；12.【答案】③【解析】y=x2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，y=x2+6x+8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，y=x2﹣6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，y=x2﹣12x+35对称轴是x=6，图象中第四个.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）由已知得：C（0，4）

，B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×

4+×4×2=8+4=12．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线254yaxaxa得，252544aaa，解得1a．∴该二次函数的解析式为254yxx．∵225954

24yxxx，∴顶点坐标为59,24P．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为225917342424yxx，即22yxx．15.【答案与解析】(1

)∵102a，b＝-3，∴331222bxa，把x＝-3代入解析式得，215(3)3(3)222y．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x

＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为50,2D，取D关于对称轴的对称点56,2E，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数215322yxx的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧

，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x＝-3时，2y最大．