【文档说明】人教版八年级数学上册09《角的平分线的性质》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案).doc，共(11)页，223.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612角平分线的性质，知识要点】要点一

、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠A

OB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这

点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为1P，旁心为234,,PPP，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分

线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=

∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴P

M=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC

，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CA

D≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【

变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2ABAC，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．3:2C．2：3D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵:3:2ABAC，则△ABD与△ACD

的面积之比为3:2．3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝

PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥

OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD＝PE，由HL定理易证△OPD≌△OPE，∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．在△DPF与△EPF中，PDPEDPFEPFPFPF，∴△DPF≌△EPF，∴DF＝EF.【总

结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.【答案

与解析】证明：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF＝∠BEF＝90°∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)∵BF＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等

的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于

D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥

OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【巩固练习】一.选择题1.AD是△ABC的角平分线,自D点向AB、AC两边作垂线,垂足为E、F,那么下列结论中错误的是()A.DE＝DFB.AE＝AFC.BD＝CDD.∠ADE＝∠

ADF2．（2015•高新区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8B．12C．4D．63．（2016•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为

圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．

45D．604.到三角形三边距离相等的点是（）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点5.如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（）A．△PBA≌△PDCB.△AOD≌△COBC.AB⊥PD，DC⊥PBD.点

O到∠APB两边的距离相等.6.已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5cm，则直线AB与CD的距离为（）A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm二.填空题7．（2016•西宁）如图，OP平分∠

AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=．8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6cm，那么线段BE是△ABC的，AE＋DE＝。9.已知：如图，

在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．10.如图,直线1l、2l、3l表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供

选择的地址有处.11．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=（度）．12.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法（1）AD＝CD(2)D到A

B、BC的距离相等（3）D到△ABC的三边的距离相等（4）点D在∠B的平分线上其中正确的说法的序号是_____________________.三.解答题13．（秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．14．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶

8，求△ADE与△BCA的面积之比．15.已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；2.【答案】

D；【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH，即38+S=50﹣S

，解得S=6．故选D．3.【答案】B；【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．4.【答案】D；【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.5.【答案】C；【解析】C项中，仅表示

了到两边的距离，没说明相等.6.【答案】B；【解析】由题意知点O到AC、AB、CD的距离相等，都等于5cm，所以两平行线间的距离为5＋5＝10cm.二.填空题7.【答案】2；【解析】作PE⊥OA于E，

∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2∴PD=PE=2.8.【答案】角平分线，6cm；【解析

】AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝6cm.9.【答案】OP＝OM＝ON【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.10.【答案】4；【解析】内角平分线交点一个，外角平分线交点三个.11.【答案】100；【解析】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且

DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC，∵∠DBC=50°，∴∠ABC=100°，故答案为：100．12．【答案】(2)(3)(4).三.解答题13.【解析】（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴M

E=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=

180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），

∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．14.【解析】解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E∴DE＝CD可证Rt△BCD≌Rt△BED（HL）设△BCD的面积＝△BED的面积＝3x，△BCA的面积为8x，△ADE的面积为8x－6x＝2x，∴△ADE与

△BCA的面积之比为2x：8x＝1:4．15.【解析】证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.∴FM＝FP，FN＝FP（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴FM＝FN∴点F必在∠DAE的平分线上.（到角两边的距

离相等的点在角的平分线上）