【文档说明】人教版八年级数学上册09《角的平分线的性质》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案).doc,共(11)页,223.000 KB,由MTyang资料小铺上传
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角的平分线的性质(基础)【学习目标】1.掌握角平分线的性质,理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】【高清课堂:388612角平分线的性质,知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边
的距离相等.要点诠释:用符号语言表示角的平分线的性质定理:若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定:角的内部到角两边距
离相等的点在角的平分线上.要点诠释:用符号语言表示角的平分线的判定:若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1)以O为圆心,适当长为半径
画弧,交OA于D,交OB于E.(2)分别以D、E为圆心,大于12DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的
内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC的内心为1P,旁心为234,,PPP,这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题
】类型一、角的平分线的性质1.(2015春•启东市校级月考)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN.【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD
和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.【答案与解析】证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB,∵点P在BD上,PM⊥AD
,PN⊥CD,∴PM=PN.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键.2、(2016春•潜江校级期中)如图在△ABC中∠C=90°,AC=B
C,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AB=6cm,求△DEB的周长.【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE,然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长.【答案与解析】解:∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE,∵A
C=BC,∴∠B=45°,∴BE=DE,∴△DEB的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB=6cm.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三:【变式】已知:如图,A
D是△ABC的角平分线,且:3:2ABAC,则△ABD与△ACD的面积之比为()A.3:2B.3:2C.2:3D.2:3【答案】B;提示:∵AD是△ABC的角平分线,∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离,又∵:3:2ABAC,则△ABD与△ACD的面积之比为3:2.3、如图,OC是∠
AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,F是OC上除点P、O外一点,连接DF、EF,则DF与EF的关系如何?证明你的结论.【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD=PE,再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE,从而得到∠OPD=∠OPE,∠
DPF=∠EPF.再证明△DPF≌△EPF,得到结论.【答案与解析】解:DF=EF.理由如下:∵OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,∴PD=PE,由HL定理易证△OPD≌△OPE,∴∠OPD=∠OPE,∴∠DPF=∠EPF.在△DPF与△EP
F中,PDPEDPFEPFPFPF,∴△DPF≌△EPF,∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质.由角平分线的性质得到线段相等,是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分
线的判定【高清课堂:388612角平分线的性质,例3】4、已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF.求证:AF为∠BAC的平分线.【答案与解析】证明:∵CE⊥AB,BD⊥AC(已知)∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角
相等)∵BF=CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF=EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB,FD⊥AC(已知)∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗
漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三:【变式】(秋•肥东县期末)已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.【答案】证明:在R
t△PFD和Rt△PGE中,,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE,∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.【巩固练习】一.选择题1.AD是△ABC的角平分线,自D点向AB、AC两边作垂线,垂足为E、
F,那么下列结论中错误的是()A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF2.(2015•高新区校级模拟)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△
AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为()A.8B.12C.4D.63.(2016•淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点
M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是()A.15B.30C.45D.604.到三角形三边距离相等的点是()A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C
.三角形三边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点5.如图,下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是()A.△PBA≌△PDCB.△AOD≌△COBC.AB⊥PD,DC⊥PBD.点O到∠APB两边的距离相等.6.已知,如图,A
B∥CD,∠BAC、∠ACD的平分线交于点O,OE⊥AC于E,且OE=5cm,则直线AB与CD的距离为()A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm二.填空题7.(2016•西宁)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则P
D=.8.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC的,AE+DE=。9.已知:如图,在ΔABC中,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,且BD、CE交于点O,过O作OP⊥BC于P,O
M⊥AB于M,ON⊥AC于N,则OP、OM、ON的大小关系为_____.10.如图,直线1l、2l、3l表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有处.11.(2015春•晋江市期末)如图,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=DF,若∠DBC=
50°,则∠ABC=(度).12.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点,下列说法(1)AD=CD(2)D到AB、BC的距离相等(3)D到△ABC的三边的距离相等(4)点D在∠B的平分线上其中正确的说法的序号是___________________
__.三.解答题13.(秋•赣州期末)已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.(1)求证:AM平分∠BAD;(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果.14.如图,在ΔABC中,∠C=90°,BD
平分∠ABC,DE⊥AB于E,若△BCD与△BCA的面积比为3∶8,求△ADE与△BCA的面积之比.15.已知:如图,ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证:一点F必在∠DAE的平分线上
.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C;2.【答案】D;【解析】解:如图,过点D作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,∴DF=DH,在Rt△DEF和Rt△DGH中,,∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴S△EDF=S△GDH,设面积为S
,同理Rt△ADF≌Rt△ADH,∴S△ADF=S△ADH,即38+S=50﹣S,解得S=6.故选D.3.【答案】B;【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于E,又∵∠C=90°,∴DE=CD
,∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30.4.【答案】D;【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.5.【答案】C;【解析】C项中,仅表示了到两边的距离,没说明相等.6.【答案】B;【解析】由题意知点
O到AC、AB、CD的距离相等,都等于5cm,所以两平行线间的距离为5+5=10cm.二.填空题7.【答案】2;【解析】作PE⊥OA于E,∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的
距离相等),∵∠BOP=∠AOP=15°,∴∠AOB=30°,∵PC∥OB,∴∠ACP=∠AOB=30°,∴在Rt△PCE中,PE=PC=×4=2∴PD=PE=2.8.【答案】角平分线,6cm;【解析】AE+DE=AE+EC=AC
=6cm.9.【答案】OP=OM=ON【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.10.【答案】4;【解析】内角平分线交点一个,外角平分线交点三个.11.【答案】100;【解析】解:∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=DF,∴BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠DBC,∵∠
DBC=50°,∴∠ABC=100°,故答案为:100.12.【答案】(2)(3)(4).三.解答题13.【解析】(1)证明:作ME⊥AD于E,∵MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC,∴ME=MC,∵M为BC中点,∴MB=MC,又
∵ME=MC,∴ME=MB,又∵ME⊥AD,MB⊥AB,∴AM平分∠DAB.(2)解:DM⊥AM,理由是:∵DM平分∠CDA,AM平分∠DAB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵DC∥AB,∴∠CDA+∠BAD=180°,∴∠1+∠3=90°,∴∠DMA=180°﹣(∠1+∠3)=
90°,即DM⊥AM.(3)解:CD+AB=AD,理由是:∵ME⊥AD,MC⊥CD,∴∠C=∠DEM=90°,在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL),∴CD=DE,同理AE=AB,∵AE+
DE=AD,∴CD+AB=AD.14.【解析】解:∵∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E∴DE=CD可证Rt△BCD≌Rt△BED(HL)设△BCD的面积=△BED的面积=3x,△BCA的面积为8x,△ADE的面积为8x-6x=2x,∴△ADE与△BCA的
面积之比为2x:8x=1:4.15.【解析】证明:过F点作FM⊥AD,FN⊥AE,FP⊥BC∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.∴FM=FP,FN=FP(角平分线上的点到角两边的距离相等)∴FM=FN∴点F必在∠DAE的平分线
上.(到角两边的距离相等的点在角的平分线上)