【文档说明】人教版数学九上07《二次函数y=a（x-h)2+k的图象与性质》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(10)页，444.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()yaxhk(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线2()yaxhk与2yax图象之间的关系；2.熟练掌

握函数2()yaxhk的有关性质，并能用函数2()yaxhk的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()yaxhk的图象及性质的过程，体验2()yaxhk与2yax、2yaxk、2()yaxh之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳

理】要点一、函数2()(0)yaxha与函数2()(0)yaxhka的图象与性质1.函数2()(0)yaxha的图象与性质2.函数2()(0)yaxhka的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0yaxhka≠

）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，x=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a

向上hk，x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体

平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）⑵cbxaxy

2沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)yaxhka图象及性质1.已知2()yaxhk是由抛物线212yx

向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐标系中，画出2()yaxhk与212yx的图象；(3)观察2()yaxhk的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察

2()yaxhk的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?【答案与解析】(1)∵抛物线212yx向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是21(1)22yx，∴

12a，1h，2k．(2)函数21(1)22yx与212yx的图象如图所示．(3)观察21(1)22yx的图象知，当1x时，y随x的增大而增大；当1x时，y随x增大而减小

，当x＝1时，函数y有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线212yx平移后的抛物线的解析式，再对比2()yaxhk得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【高清课程名称：《二次函数》专

题第二讲：函数2()(0)yaxha与函数2()(0)yaxhka的图象与性质高清ID号：391919关联的位置名称（播放点名称）：练习3】【变式】把二次函数2()yaxhk的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(

1)12yx的图象．（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数2()yaxhk的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．【答案】（1）1,1,52ahk.（2）开口向下，对称轴x=1,顶点坐标为（1，-5），当x≥1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大

而增大.2.已知函数22113513xxyxx≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D；【解析】函数22113513xxyxx≤＞的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成

立的x恰好有三个，∴k=3．故选D．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)yaxhka性质的综合应用3.（2016•杭州校级二模）二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x

的取值范围为．【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【解析】解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2，解得x=0或x=

2，当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，又抛物线对称轴为x=1，∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围．举一

反三：【变式】（2014秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；（2）x取何值时，y随x增大而增大？【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐

标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1；（2）当x＞1时，y随x增大而增大．4.如图所示，抛物线213(1)yx的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B

．(1)求直线AC的解析式2ykxb；(2)求△ABC的面积；(3)当自变量x满足什么条件时，有12yy?【答案与解析】(1)由213(1)yx知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得3y，∴(0,3)A．由待定系数法可求出3b，3k，∴233yx．(2)∵抛物线213

(1)yx的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知(2,3)B．∴12332ABCS△．(3)根据图象知0x或1x时，有12yy．【总结升华】图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题

时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，

或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都()A.在y=x直线上B.在

直线y=－x上C.在x轴上D.在y轴上2．二次函数2(1)2yx的最小值是()．A．-2B．2C．-lD．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是()．A．hmB．knC．knD．0k，0n＜第3题

第5题4．（2014•牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）．A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7）5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是()．A．3xB．3xC．1x

D．1x6．若二次函数2()1yxm．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=lB．m>lC．m≥lD．m≤l二、填空题7．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________．

8．（2016•温州模拟）已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是．9．如果把抛物线2)(bxay向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线3)2(212xy，则求a的值为；b的值

为.10．（2015•巴中模拟）抛物线y=x2+2x+7的开口向，对称轴是，顶点是．11．若二次函数23(1)2yx中的x取值为2≤x≤5，则该函数的最大值为；最小值为．12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_____.三、解答题13．（2016•东西湖区期中）请在同一坐标系

中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．14.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对

称的点Q的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2ba）.15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四

边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点为（-m,m）,所以顶点在直线y=－x上.2.【答案】B；【解析】

当1x时，二次函数2(1)2yx有最小值为2．3.【答案】B；【解析】由两抛物线对称轴相同可知hm，且由图象知kn，0k，0n＜．4.【答案】B；【解析】抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，

3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故选：B．5.【答案】C；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线1x，因此当1x时，y随x的增大而减小．6.【答案】C；

【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题7．【答案】（2，-3）；【解析】因为抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，所以a=-2,m=3,故点（a，m

）关于原点的对称点为(2,-3).8.【答案】x≤1．【解析】∵二次函数的解析式的二次项系数是，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（1，4），∴该二次函数图象在对称轴左侧上是减函数，即y随x的增大而减小；即：当x≤1时，y随x的增大而减小.9．【答

案】12a，5b；【解析】抛物线2)(bxay向上平移－３个单位得到2()3yaxb，再向右平移３个单位长度得到2(3)3yaxb，即2(3)3yaxb与3)2(212xy相同，故12a，5b.10．【答案】上，x=﹣1，

（﹣1，6）．【解析】∵y=x2+2x+7，而a=1＞0，∴开口方向向上，∵y=y=x2+2x+7=（x2+2x+1）+6=（x+1）2+6，∴对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．11．【答案】50；5.【解析】由于函数

23(1)2yx的顶点坐标为(1，2)，30a，当1x时，y随x的增大而增大，当x＝5时，函数在2≤x≤5范围内的最大值为50；当x＝2时，函数的最小值为23(21)25y最小．12．【答

案】；【解析】把1(,)4a代入y=x2+x+b2得22104aab，221()02ab，，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】解：如图：，①向左平移两个单位得到②，②的开口方向向上

，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）．14.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-14．所以二次函数的解析式为y=-14（x-2）2+1；（

2）∵抛物线y=-14（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积=12×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-14（

x-2）2+1上一点，∴-m=-14（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．15.【答案与解析】（1）连接ME，设MN交BE交于P，根据题意得MB=ME，MN⊥

BE．过N作NF⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNF，MF=AE=x．在Rt△AME中，由勾股定理得ME2=AE2+AM2，

所以MB2=x2+AM2，即（2-AM）2=x2+AM2，解得AM=1-14x2．所以四边形ADNM的面积S=22AMDNAMAFAD×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-14x2）+x=-12x2+

x+2．即所求关系式为S=-12x2+x+2．（2）S=-12x2+x+2=-12（x2-2x+1）+52=-12（x-1）2+52．当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是52．