【文档说明】人教版八年级数学上册08《直角三角形全等判定》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）.doc，共(10)页，187.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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直角三角形全等判定（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】【

高清课堂：379111直角三角形全等的判定，知识点讲解】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定

理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“

边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角

形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角

边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、S

SS、HL.举一反三：【高清课堂：379111直角三角形全等的判定，例2】【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三

角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，【

高清课堂：379111直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt

△ABF.【答案与解析】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE与Rt△CBF中.ADBCDEBF＝，＝∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，DEBFDECBFA

ECFA∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、（2016春•苏仙区期末）如图

，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．21ADBCE【思路点拨】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“

HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．【答案与解析】解：（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠

B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结

合图形，在图形上找条件．举一反三：【变式】（2015春•澧县校级期中）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）因为∠A=∠D=90°，所以△ABC和△DCB都是

直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DCB中，45321ADBCE,.ACBDBCBC∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形.理由如下：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC∴△OB

C是等腰三角形.4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，C

F⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝12BC＝12AC，且AC＝12．∴BD＝6c

m．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.【巩固练习】一、选择题1.下列命

题中，不正确的是（）A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2.如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于

D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对3.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则C

H的长是（）A.1B.2C.3D.44.在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A.△ABE≌△ACFB.点D在∠BAC的平分线上C.△BDF

≌△CDED.点D是BE的中点5．（2016春•泰山区期末）如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=ADB．AB=ABC．∠ABC=∠ABDD．∠BAC=∠BAD6.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，

CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A.1B.2C.5D.无法确定二、填空题7.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是__

___．8.（2016秋•亭湖区校级月考）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有对全等的直角三角形．9.判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是

_________.10.如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.11.如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，F

D＝CD.则∠BAD＝_______.12.如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13．（秋•滨湖区校级期末）如图，有一直角三角形ABC，∠

C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．14.求证：有两边和其中一边上的高

对应相等的两个锐角三角形全等．15.如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】C选项如果是一个等腰三角形的腰和另一个等腰三角

形的底边对应相等，这是肯定不全等.2.【答案】D；【解析】Rt△ABD≌Rt△ACE；Rt△BEO≌Rt△CDO；Rt△AEO≌Rt△ADO；Rt△ABF≌Rt△ACF；Rt△BEC≌Rt△CDB；Rt△BFO≌Rt△CFO.3.【答案】A

；【解析】本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB，可得出AE＝CE，从而得出CH＝CE－EH＝4－3＝1.4.【答案】D；【解析】A选项：∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝

∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；C选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确.5.【答案

】A；【解析】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．6.【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作B

C的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可二.填空题7.【答案】△DFE，HL；【解析】EB

＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等；8.【答案】3．【解析】提示：Rt△ABE≌△Rt△ACD（AAS），Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），Rt△BOD≌Rt△COE（ASA），∴全等的直角三角形共有3对.9.【答案】（1）（2）10.【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△

ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm.11.【答案】45°；【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答题13.【解析】解

：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌Rt

△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．14.【解析】根据题意，画出图

形，写出已知，求证．已知：如图，在△ABC与△ABC中．AB＝AB，BC＝BC，AD⊥BC于D，AD⊥BC于D且AD＝AD求证：△ABC≌△ABC证明：在Rt△ABD与Rt△ABD中∵ABABADAD∴Rt△ABD≌Rt△ABD

(HL)∴∠B＝∠B(全等三角形对应角相等)在△ABC与△ABC中∵ABABBBBCBC∴△ABC≌△'''ABC(SAS)15.【解析】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，A

E＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，,,ABCDAFCE∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，,,,BFGDEGBGFDGEBFDE∴△

BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF．