【文档说明】人教版数学九上04《一元二次方程根与系数的关系》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(9)页，179.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次

方程根的判别式一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2

）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定cba.,的值；③计算acb42的值；④根据acb42的符号判定方程根的情况.

2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程002acbxax中，（1）方程有两个不相等的实数根acb42﹥0；（2）方程有两个相等的实数根acb42=0；（3）方程没有实数根acb42﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的

值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则acb42≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02acbxax的两

个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根

．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2xx

xxxx；②12121211xxxxxx；③2212121212()xxxxxxxx；④2221121212xxxxxxxx2121212()2xxxxxx；⑤22121212

()()4xxxxxx；⑥12()()xkxk21212()xxkxxk；⑦2212121212||()()4xxxxxxxx；⑧22212121222222121212()211()xxxxxxxxx

xxx；⑨2212121212()()4xxxxxxxx；⑩22212121212||||(||||)+2||xxxxxxxx2121212()22||xxxxxx．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元

二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)axbxca的两根为1x、2x，则①当△≥0且120xx时，两根同

号．当△≥0且120xx，120xx时，两根同为正数；当△≥0且120xx，120xx时，两根同为负数．②当△＞0且120xx时，两根异号．当△＞0且120xx，120xx时，两根异号且正根

的绝对值较大；当△＞0且120xx，120xx时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一

根ab（a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0B．x2+x+2=0C．x2﹣1=0D．x2﹣2x﹣1=0

【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【答案】B．【解析】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选

项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没

有实数根．举一反三：【高清ID号：388522关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（1）】【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210xaxa.【答案】无实根.2．（2015•本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x

+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.【答案】k＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得：k＜2且k≠1．

故答案为：k＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.举一反三：【高清ID号：388522关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况---例3】【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2

-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相

等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560xkx的一个根是2，求另一个根及k的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析

】方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125kx，1625x，从而解得：135x，k＝-7．方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x

，从而135x，故方程的另一根为35，k的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bxxa，12cxxa易得另一根及k的值．举一反三：【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）---例2】【变式】已知方程220xxc的一个根是3，求

它的另一根及c的值．【答案】另一根为-1；c的值为-3．4．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正

整数根．【答案与解析】解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的

正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•昆明）一元二次

方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定2．一元二次方程20(0)axbcca有两个不相等的实数根，则24bac满足的条件是（）A．240bacB．240bacC．240bac

D．240bac3．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C.1D.24．关于方程2230xx的两根12,xx的说法正确的是（）A.122xx

B.123xxC.122xxD.无实数根5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（）A.k≥4B.k≤4C.k＞4D.k=46．一元二次方程22630xx的两根为、，则2()的值为（）．A．3B．6C．18D．24二、填空题

7．（2015•酒泉）关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．8．（2016•遵义）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则+=．9．若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是。10．设一元二次方程2320xx

的两根分别为1x、2x，以21x、22x为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数

字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为___．三、解答题13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根?14.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2c

x+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．15．（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根

．2.【答案】B；【解析】20axbxc(a≠0)有两个不相等实数根240bac．3.【答案】B；【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，∴a≤且a≠1

，∴整数a的最大值为0．故选：B．4.【答案】D；【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D.5.【答案】B；【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．6.【答案】A；【解析】由一元二次方程根与系

数的关系得：3，32，因此22()()4963．二、填空题7．【答案】k≥﹣6；【解析】当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是

一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=2，x1•x2=﹣1，∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解

析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3xxxx，222121212121222()22()4646xxxxxxxxxx．10．【答案】21340yy；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123xx，122xx，从而22221212

12()232(2)13xxxxxx，22221212()(2)4xxxx，于是，所求方程为21340yy．11．【答案】x1=4，x2=2.【解析】∵△=4，∴b2-4ac=4，即x=，∴x1=4，x2=

2．12．【答案】25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3),解得x1=2，x2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】解：22(21)23xkxkk化为一般形式

为：22(21)230xkxkk，∴1a，(21)bk，223ckk．∴222224[(21)]41(23)4414812413backkkkkkkk△．(1)若方程有两个不相等的实数

根，则△＞0，即4130k．∴134k．(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k，∴134k．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k，∴134k．答：当134k时，方程有两个不相等的实数根

；当k＝134时，方程有两个相等的实数根；当134k，方程没有实数根．14.【答案与解析】解：令22Aab，2Bc，1C，22244()cab△，∵方程有两等根，∴△＝0，∴222cab，∴△ABC为直角三角形．15.【答案与解析

】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．