【文档说明】(新高考)高考物理一轮复习讲义第1章 专题强化2 追及相遇问题(含解析).doc，共(14)页，232.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题强化二追及相遇问题目标要求1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图象分析追及相遇问题.3.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.题型一追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系

”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.2.能否追

上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追

上前该物体是否已经停止运动.4.常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.(2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况.①若Δ

>0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，说明追不上或不能相遇.(3)极值法设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用

数学极值法求解距离的最大(或最小)值.(4)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、求解相关问题.例1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在

这时一辆自行车以v＝6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？答案2s6m解析解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at所以t

＝va＝2sΔx＝vt－12at2＝6m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－12at2代入已知数据得Δx＝6t－32t2由二次函数求极值的条件知：t＝2s时，

Δx有最大值6m所以t＝2s时两车相距最远，为Δx＝6m.解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1＝v1a＝63s＝2s，Δx＝v1t12＝6×22m＝6m.追及与相遇问题的两种典

型情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：(1)初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，二者相距最远.(2)初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，

①若已超越，则相遇两次.②若恰好追上，则相遇一次.③若没追上，则无法相遇.例2(2020·甘肃城关市兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8m/s，B车的速度大小为v2＝20m/s，如图1所示.当

A、B两车相距x0＝28m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2m/s2，从此时开始计时，求：图1(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；(2)A车追上B

车所用的时间；(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度.答案(1)64m(2)16s(3)0.25m/s2解析(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v1＝v2－at1代入

数据解得：t1＝6s此时，根据位移时间的关系得：xA1＝v1t1xB1＝v2t1－12at12Δxm＝xB1＋x0－xA1代入数据解得：Δxm＝64m(2)B车刹车到停止运动所用时间：t0＝v2a＝10s发生的位移：xB2＝v222a＝100m此时：xA2＝v1t0＝80m则：xA

2＜x0＋xB2，可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上B车停止后A车运动时间为：t2＝x0＋xB2－xA2v1＝6s故所用总时间为：t＝t0＋t2＝16s(3)A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小v222a＋x0＝v122aA代入数据解得：aA＝0.25m/s2.

1.(避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为

了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？答案(1)5m/s2(2)1m/s2解析(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54

km/h＝15m/s，初始距离d＝14m在经过反应时间0.4s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自＝v自t汽车的位移为：x汽＝v汽t－12at2假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′代入数据整理

得：12at2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5m/s2.汽车的加速度至少为5m/s2.(2)设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋

d′整理得：(12a′＋2)t2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ′＝102－20a′－80≤0解得：a′≥1m/s2.自行车的加速度至少为1m/s2.2.(体育赛事中的追及问题)2019世界田径接力赛男子4×100米接力赛，冠军被巴西队以3

8秒05获得.如图2所示，这是某一次接力训练.已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10m/s的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在某次练习中，甲以v

＝10m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0m处向乙发出起跑口令.已知接力区的长度为L＝20m.图2(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离.(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时

被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？答案(1)6m(2)16.7m(3)2s解析(1)设乙加速到交接棒时运动时间为t，则在甲追及乙过程中有：s0＋12at2＝vt代入数据得：t1＝2s，t2≈4.67s(

不符合乙加速最长时间tm＝va＝103s，故舍去)此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝12at12＝6m(2)乙加速时间为：t乙＝va＝103s设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令则在甲追及乙过程中有

：s＋12vt乙＝vt乙代入数据得：s≈16.7m(3)棒在(2)情形下以v＝10m/s的速度运动，所以有：t′＝Lv＝2s.题型二图象法在追及相遇问题中的应用1.根据两个物体的v－t图象分析追及相遇问题：(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行

定性分析或定量计算.(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.2.根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出v－t图象，再通过定量计算分析得出结果.利用v－t图象分析追及相遇问题更直观、简捷.例3(多选)(2016·全国卷Ⅰ·

21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图3所示.已知两车在t＝3s时并排行驶，则()图3A.在t＝1s时，甲车在乙车后B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5mC.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2sD.甲、乙车两

次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m答案BD解析根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动.t＝3s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30m/s，v乙＝25m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3s内甲车位移x甲＝12×3×30m＝45m，乙车位移x乙＝12×3×(10

＋25)m＝52.5m.故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5m，即甲车在乙车前方7.5m，选项B正确；0～1s内，x甲′＝12×1×10m＝5m，x乙′＝12×1×(10＋15)m＝12.5m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5m＝Δx1，说明在t＝1s时甲、乙两车第一次并排行驶

，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45m－5m＝40m，选项D正确.例4(2020·河北石家庄市模拟)在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速

直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)答案见解析解析方法一图象法利用v－t图象求解，先作出A、B两车的v－t图象，如图所示.设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v

′＝v0－2at对B车有vB＝v′＝at以上两式联立解得t＝v03a经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x＝12v0·t＝12v0·v03a＝v026a所以要

使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.方法二临界条件法两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等.设从A、B两车相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示.对A车有x

A＝v0t＋12(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t对B车有xB＝12at2，vB＝at由两车位移关系有x＝xA－xB追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB联立以上各式解得v0＝6ax故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是

v0≤6ax.课时精练1.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图1中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是()图1A.两车在t1时刻也并排行驶B.在t1时刻甲车在后，乙车在前C.甲车的加速度大小先增大

后减小D.乙车的加速度大小先减小后增大答案BD解析t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确.2.(2020·广东深圳市第一次调研)可视为质点的甲、乙两小车

分别沿同一平直路面同向行驶，t＝0时，甲在乙前方16m处，它们的v－t图象如图2所示，则下列说法正确的是()图2A.甲、乙在t＝2s和t＝10s时刻并排行驶B.甲、乙在t＝4s和t＝8s时刻并排行驶C.

在t＝6s时刻，乙车在甲车前8m处D.在t＝6s时刻，乙车在甲车前18m处答案B解析由题图图象可知，甲做初速度为0，加速度为a1＝126m/s2＝2m/s2的匀加速运动；乙做初速度为v0＝6m/s，加速度为a2＝12－66m/s2＝1m/s2的匀加速

运动；两车相遇时满足：v0t＋12a2t2＝s0＋12a1t2，即6t＋12×1×t2＝16＋12×2t2，解得t1＝4s，t2＝8s，即甲、乙在t＝4s和t＝8s时刻并排行驶，选项A错误，B正确.在t＝6s时，甲的位移：x1＝12×

2×62m＝36m；乙的位移：x2＝6×6m＋12×1×62m＝54m，可知此时乙在甲的前面，Δx＝x2－x1－s0＝54m－36m－16m＝2m，选项C、D错误.3.(2020·湖南永州市高三三模)在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某

时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图3所示，下列说法正确的是()图3A.甲车的加速度大于乙车的加速度B.若t＝24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远C.为避免两车发

生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48mD.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24s以后的某时刻发生的答案C解析甲车的加速度大小a1＝Δv1Δt1＝1648m/s2＝13m/s2乙车的加速度大小a2＝Δv2

Δt2＝2040m/s2＝12m/s2所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；t＝24s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；0～24s内，甲车的位移x1＝16＋82×24m＝288m乙车的位

移x2＝20＋82×24m＝336m两者位移之差Δx＝x2－x1＝48m所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48m，故C正确；t＝24s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误.4.(多选

)(2020·河北衡水中学高三月考)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v－t图象如图4所示.根据图象提供的信息可知()图4A.6s末乙追上甲B.在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10mC.8s末甲、乙两物

体相遇，且离出发点32mD.在0～4s内与4～6s内甲的平均速度相等答案BC解析根据题图图象可知，在0～4s内甲的平均速度v1＝4＋82m/s＝6m/s，在4～6s内甲的平均速度v2＝8＋02m/s＝4m/s，D错误；在0～6s内，甲的位移x甲＝v1×4s＋v2×2s＝3

2m，乙的位移x乙＝6×4m＝24m，因此6s末乙未追上甲，A错误；当两者速度相等时，距离最远，即5s末距离最远，此时x甲′＝4＋82×4m＋4＋82×1m＝30m，x乙′＝5×4m＝20m，最远距离Δx′＝10m，B正确；6s以后，甲物体停止运动，因此相遇

时，距离出发点32m，所用时间t＝x甲v乙＝324s＝8s，C正确.5.(2020·江西重点中学协作体第一次联考)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻，甲车在乙车前20m处，它们的v－t图象如图5所示，下列说法正确的是()图5A.甲车启动的加速度大于乙车启动的加速度B.甲车启动

15s时，乙车落后甲车的距离最大C.乙车启动时，甲在乙车前方50mD.t＝25s时，乙车正好追上甲车答案B解析由v－t图象斜率表示加速度可知，甲车启动时的加速度小于乙车启动时的加速度，A错误；10～15s时间内，乙车在后，较慢，甲

车在前，较快，在t＝15s时，两车速度相等，则此时两车距离最大，B正确；t＝10s时，乙车启动，在0～10s内，通过v－t图象中图线与时间轴所围“面积”表示位移可得，甲车的位移x甲＝12×10×10m＝50m，t＝0时两车相距2

0m，故乙车启动时两车相距(50＋20)m＝70m，故C错误；0～25s内，甲车的总位移：x甲′＝50m＋10×(25－10)m＝200m，乙车运动的总位移：x乙′＝12×10×20m＋20×(25－20)m＝200m，此时x甲′＋20m>x乙′，甲车在乙

车的前方，故D错误.6.(2019·广东中山市模拟)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化图象如图6所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是()图6A.在0～4s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动B.在0～2s

内，两车间距逐渐增大，2～4s内两车间距逐渐减小C.在t＝2s时，甲车的速度为3m/s，乙车的速度为4.5m/sD.在t＝4s时，甲车恰好追上乙车答案C解析根据题图图象可知，在0～4s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减小的加速直线运动，故A错误；加速度

—时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的变化量，当t＝4s时，两图线与t轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两车的间距最大，故B、D错误；在t＝2s时，乙车的速度为v乙＝12×(1.5＋3)×2m/s＝4.5m/s，甲车速度为v甲＝1.5×2m/

s＝3m/s，故C正确.7.(2020·河南高三二模)自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图7所示，某平直公路上一辆自动驾驶汽车正以v1＝40km

/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v2＝5m/s的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离L1＝5m，到汽车前沿所在直线的距离L2＝8m.已知汽车的车长d1＝5m、车宽d2＝2

m，汽车加速时的加速度大小a1＝4m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是()图7A.汽车应保持原速通过B.汽车应刹车减速C.汽车应加速通过D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞答案C解析

小狗走过L1距离的时间为t1＝L1v2＝55s＝1s汽车的速度v1＝40km/h≈11.1m/s，若保持原速行驶，则在t1时间内的位移为x1＝v1t1＝11.1m因为L2＋d1>x1>L2则小狗会与车相撞，选项A错误；若汽车刹车减速，则在t1＝1s内的位移x2＝v1t1－12a2t12＝8.6m>

L2，则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；若汽车加速通过，则在t1＝1s内的位移x3＝v1t1＋12a1t12＝13.1m>L2＋d1＝13m则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.8.在一大雾天，一辆小汽车以

30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图8a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是()图8A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会追尾

B.在t＝5s时追尾C.在t＝3s时追尾D.由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾答案C解析根据v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移可知，两车速度相等时(t＝5s)，小汽车相对于大卡车的位移为35m>30m，所以会追尾，选项A错误；在t＝3s时，小汽车相对于大卡车的位移等

于30m，此时发生追尾，选项C正确，B错误；若刹车不失灵，在t＝2s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移等于20m，小于开始时的距离30m，所以刹车不失灵时不会追尾，选项D错误.9.(2020·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200m处有一安全车正以10m/

s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶.(1)求赛车出发3s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使

赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)答案(1)6m/s(2)20s225m(3)20s解析(1)赛车3s末的速度v1＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s.(2)设经t2

时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200m＝12a1t22解得t2＝20s此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20m/s＝40m/s当两车速度相等时，两车相距最远由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间

t3＝v0a1＝102s＝5s两车最远相距Δs＝v0t3＋200m－12a1t32＝(10×5＋200－12×2×52)m＝225m.(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)由位移关系得vt4－12a2t42＝v0t4解得t4＝15s赛车停下来的时间

t′＝va2＝404s＝10s所以t4＝15s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动.设再经时间t5两车第二次相遇，应满足v22a2＝v0t5解得t5＝20s.10.(2020·安徽安庆市怀宁县第二中学高三月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货

车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内.求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.答案(1)75m(2)12s解析(

1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等.则：t1＝v1a＝102.5s＝4sx货＝v1()t0＋t1＝10×(5.5＋4)m＝95mx警＝12at12＝12×2.5×42m＝20m所以两车间的最大距离Δx＝x

货－x警＝75m(2)警车达到最大速度v＝90km/h＝25m/s的时间：t2＝va＝10s此时两车的位移分别为x警′＝v22a＝2522×2.5m＝125mx货′＝v1()t0＋t2＝10×(5.5＋10)m＝155m两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30m警车达到最大速度后做

匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝Δx′v－v1＝2s所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s，才能追上货车.