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【文档说明】暑假讲义 新高一 课外辅导班 讲义+讲测练 教师版220页（含解析）.doc，共(220)页，4.047 MB，由MTyang资料小铺上传
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以下为本文档部分文字说明：
第1页共220页集合1．1.1集合的含义与表示1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，„表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，„
表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛]集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，
也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A中的元素a∉Aa不属于集合A[点睛]对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”
这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．(
)(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()答案：(1)√(2)×(3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是()A．0∈NB．π∈QC.2∈QD．－1∉Z答案：A第2页共220页3．已知集合A中含有3个元素－2,4，x2－x，
且6∈A，则x的值是()A．2B．－2C．3D．3或－2答案：D4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．答案：2[例1]考察下列每组对象，能构成一个集合的是()①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④20
16年第31届奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④[解析]①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案]B判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此
组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．[活学活用]1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2011且小于2016的所有整数不能构成集合．其中正确
的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2](1)下列关系中，正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2
个C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析](1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为
2,1,0.因此A中元素有2,1,0.[答案](1)C(2)0,1,2第3页共220页判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先
明确已知集合中的元素具有什么特征．[活学活用]2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为()A．0B．1C．2D．3解析：选D∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.3．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝
3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17_______A；－5_______A；17_______B.解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－73∉Z.所以－5∉A.令6m－1＝1
7得，m＝3∈Z，所以17∈B.答案：∈∉∈[例3]已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[解析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集
合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案]－1[一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－2.2．[变条件]本例若去掉条
件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的
互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤集合中元素的特性及应用第4页共220页层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一
个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分
别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A解析：选C很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是()①集合N*中最
小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0B．1C．2D．3解析：选CN*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当
a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2B．2或4
C．4D．0解析：选B若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.选B.5．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B当a＝0时，这四个数都是0，所组成
的集合只有一个元素0.当a≠0时，a2＝|a|＝a，a>0，－a，a<0，所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中
的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正
确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或∉)．解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab
是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈第5页共220页8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.解析：∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.答案：69．设A是由满足不
等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．解：∵a∈A且3a∈A，∴a<6，3a<6，解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1.10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0
.(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.层级二应试能力达标1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π
，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：选A由
于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．
平行四边形C．菱形D．矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，ba，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a
＝－b，∴ba＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.4．已知a，b是非零实数，代数式|a|a＋|b|b＋|ab|ab的值组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∈MB．－1∈MC．3∉MD．1∈M解析：选B当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值
是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．5．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1
，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．第6页共220页解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1
.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B
中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已
知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，满足条件的a存
在，且a＝－3.第7页共220页第二课时集合的表示1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．[点睛]列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(
4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集
合中元素所具有的共同特征．[点睛]描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列
举法表示为{1,1,2,3}．()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()答案：(1)×(2)×(3)√2．方程组x＋y＝1，x－y＝－3的解集是()A．(－1,2)B．(1，
－2)C．{(－1,2)}D．{(1，－2)}答案：C3．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}第8页共220页答案：B4．不等式4x－5<7的解
集为________．答案：{x|4x－5<7}[例1]用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．[解](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0
的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(
0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．[活学活用]1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B集合A＝{
(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．2．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D
.解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由y＝x＋3，y＝－2x＋6得
x＝1，y＝4，第9页共220页所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．[例2]用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．[解](
1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{
x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．描述法表示集合的2个步骤[活学活用]3．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．解析：(1)易知A
＝{0,1}，故1∈A，－1∉A；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．答案：(1)∈∉(2)∈4．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集
合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解：(1)列举法：P＝{0,2,4}．(2)描述法：x，yy＝x2－2xy＝0.或列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描
述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．用描述法表示集合第10页共220页[例3](1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝()A．1B．2C．0D．0或1(2)设12∈xx
2－ax－52＝0，则集合xx2－192x－a＝0中所有元素之积为________．[解析](1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方
程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．(2)因为12∈xx2－ax－52＝0，所以122－12a－52＝0，解得：a＝－92，
当a＝－92时，方程x2－192x＋92＝0的判别式Δ＝－1922－4×92＝2894>0，所以集合xx2－192x＋92＝0的所有元素的积为方程的两根之积等于92.[答案](1)D(2)92解答此类问题的策略(1)若已知集合是用
描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．[活学活用]5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．解：由A
＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，2＋3＝a，2×3＝b，因此a＝5，b＝6.集合表示法的综合应用第11页共220页6．设集合B＝x∈N6
2＋x∈N.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.解：(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N.当x＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B.(2)∵62＋x∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.[例4]用描述法表示抛物
线y＝x2＋1上的点构成的集合．[解]抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．[一题多变]1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什
么？解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？解：集合{y|y＝x2＋1}的
代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．识别集合含义的2个步骤(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表
示点集．(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．集合含义的再认识第12页共220页层级一学业水平达标1．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三
角形解析：选D集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.2．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}C．{1}D．{y|(y－1)2＝0}解析：选B{x|
x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.3．已知M＝{x|x－1<2}，那么()A．2∈M，－2∈MB．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉MD．2∉M，－2∈M解析：选A若x＝2，则x－1＝1<2，所以2∈M；若x＝－2，则x－1
＝－3<2，所以－2∈M.故选A.4．下列集合的表示方法正确的是()A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集为{x<5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R解析：选D
选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．5．方程组x＋y＝1，x2－y2＝9的解集是()A．(－5,4)B．
(5，－4)C．{(－5,4)}D．{(5，－4)}解析：选D解方程组x＋y＝1，x2－y2＝9，得x＝5，y＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D.6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B
＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.解析：由集合相等的概念得a2－1＝0，a2－3a＝－2，解得a＝1.答案：17．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝____
____.解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，第13页共220页则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．答案：{1,3}8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|
x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．答案：{4,9,16}9．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y＝－x＋4上的横坐
标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0
)}．10．含有三个实数的集合A＝a2，ba，a，若0∈A且1∈A，求a2016＋b2016的值．解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以ba＝0，即b＝0.又1∈A，可知a2＝1或a＝1.当a＝1时，得a2＝1，由
集合元素的互异性，知a＝1不合题意．当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a＝－1，b＝0，所以a2016＋b2016的值为1.层级二应试能力达标1．下列命题中正确的是()A．集合{x|
x2＝1，x∈R}中有两个元素B．集合{0}中没有元素C.13∈{x|x<23}D．{1,2}与{2,1}是不同的集合解析：选A{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<23}＝{x|x<12}，13>12，所以1
3∉{x|x<23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是()A．x1·x2∈AB．x2·
x3∈BC．x1＋x2∈BD．x1＋x2＋x3∈A解析：选D集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，第14页共220页∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，
y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B解析：选C集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点
而不是实数，2∈B不正确，所以A错．4．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是()A．6个B．7个C．8个D．9个解析：选A若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1
,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．5．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．解析：∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，∴x＝6－y∈N，∴x＝0，y＝6，x＝1
，y＝5，x＝2，y＝4，x＝3，y＝3，x＝4，y＝2，x＝5，y＝1，x＝6，y＝0.∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．答案：{(0,6)，(1,5)
，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}6．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，则(x0，y0)的值为________．解析：由题意知，(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，所以(x0，
y0)是方程组y＝2x＋1，y＝x＋3的解，解得x0＝2，y0＝5.答案：(2,5)7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，A＝－43；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝
0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－916.故所求的a的取值范围是a≤－916或a＝0.第15页共220页8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解：①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}
，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，
满足题意．综上所述，实数a的值为－1或0.1．1.2集合间的基本关系[新知初探]1．子集的概念第16页共220页定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合
B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C[点睛]“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的
元素，即任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[点
睛](1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．3．真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB且B
C，则AC；(2)A⊆B且A≠B，则AB[点睛]在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.4．空集的概念定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A第17页共220页特性(1)空集只有一个子集，即它
的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何
集合的真子集．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是()A．N∈MB．N∉MC．N⊇MD．N⊆M答案：D3．下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x
|x>4}答案：B4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案：－1[例1]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．(3)A＝
{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B
之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.集合间关系的判断第18页共220页(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合
M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.判断集合间关系的2种方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不
是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．[活学活用]1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()解
析：选B解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C
；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3
)(4)∈[例2](1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6B．7C．8D．9有限集合子集的确定第19页共220页(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2
个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至
少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)B(2
)71．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．[活学活用]3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝()A．1
B．2C．3D．4解析：选B根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.第20页共220页4．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是_
_______．解析：若集合A＝∅，满足A⊆B，A⊆C；若集合A≠∅，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个．答案：4[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B
，求实数m的取值范围．[解]∵A⊆B，∴2m－1>m－6，m－6≤－2，2m－1≥5，解得m>－5，m≤4，m≥3，故3≤m≤4.∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[一题多变]1．[变条件]本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的
取值范围．解：(1)当B＝∅时，m－6>2m－1，即m<－5.当B≠∅时，m－6≤2m－1，m－6≥－2，2m－1≤5，m≥－5，m≥4，m≤3，即m∈∅.故实数m的取值范围是{m|m<－5}．2．[变条件]本例若将集
合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．解：因为A⊆B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}满足A⊆B.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为不连续数
集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；由集合间的关系求参数值(或范围)第21页共220页(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．层级一学业水平达标1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B
，则实数m等于()A．2B．－1C．2或－1D．4解析：选C∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A解析：选D集合A＝{x|－1－x<0}＝{x
|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D解析：选B由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C⊆B，故选B.4．已知集合P＝{x|
x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1B．－1C．1或－1D．0,1或－1解析：选D由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.5．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6
B．5C．4D．3解析：选A集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．解析：
{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．答案：{(1,2)}，{(－3,4)}7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝x，yyx＝1，则A，B的关系是___
_____．第22页共220页解析：因为B＝x，yyx＝1＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.答案：BA8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．解析：将
数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.答案：m≥39．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若AB，求a的取值范围；(2)
若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若AB，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．解：∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)当a2－a＋1＝3
时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2为所求．层级二应试能力达标1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(
)A．0B．1C．2D．－1解析：选C由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，
B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2第23页共220页C．3D．4解析：选D因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,
2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C有4个．3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是()A．A⊆BB．A＝BC．ABD．AB解析：选D
对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB.4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A．
1B．－1C．0,1D．－1,0,1解析：选D因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0
时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，故a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．综上所述，a＝0，或a＝±1.5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．解析：由题意，得
1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝13.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝13时，A＝1，3，13，B＝1，13，符合题意．所以a的值为－1或13.答案：－1或
136．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}，∴NM.答案：NM7．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{
x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．第24页共220页①当B≠∅时，∵B⊆A，∴a>3，a≤2a－1或2a－1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.综上可
知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．8．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．解：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤
5}．(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，因此，要B⊆A，则只要
m－1≥－2，2m＋1≤5⇒－1≤m≤2.综上所述，知m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．第25页共220页1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集[新知初探]1．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所
有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”
)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}[点睛](1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．2．并集与交集的运算
性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝AA∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝BA⊆B⇔A∩B＝A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并集定义中的“或”就是“和”．()(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．(
)(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．()答案：(1)×(2)×(3)√2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{0,1}B．{－1,0,1}第26页共220页C．{0,1,
2}D．{－1,0,1,2}答案：D3．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝()A．{x|－3<x<2}B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3}D．{x|－5<x<3}答案：A4．满足{1}∪B＝{1
,2}的集合B的个数是________．答案：2[例1](1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,
8}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2}B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1}D．{x|－1<x<2}[解析](1)由并集的定义知，M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x
|x>－2}．[答案](1)A(2)A求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．[活学活用]1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5
}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}解析：选A将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．并集的运算第27页共220页2．已知集合A＝{0,2,4
}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________________.解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．答案：{0,1,2,3,4,5}[例2](1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x
≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)(全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3D．2[解析](1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义，A∩B＝{x
|0≤x≤2}．(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.[答案](1)A(2)D1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来
求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．[活学活用]3．(北京高考)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1}B．{0,1,2}C．{－1,0,1}D．{－1,0,1,2}
解析：选C集合A＝{x|－2<x<2}，集合B＝{－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{－1,0,1}．4．若集合A＝{x|2x＋1>0}，B＝{x|－1<x<3}，则A∩B＝________.解析：∵A＝
xx>－12，B＝{x|－1<x<3}，画数轴如图：交集的运算第28页共220页∴A∩B＝x－12<x<3.答案：x－12<x<3题点一：由并集、交集求参数的值1．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}
，求实数a的值．解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴
a＝4.题点二：由并集、交集的定义求参数的范围2．设集合A＝{x|－1<x<a}，B＝{x|1<x<3}且A∪B＝{x|－1<x<3}，求a的取值范围．解：如图所示，由A∪B＝{x|－1<x<3}知，1<a≤3.题点三：由交集、并集的性质求参数的范围3．已知集合A＝{x|－3<x≤4}，
集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2.②当B≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得k＋1≤2k－1，－3<k＋1，2k－1≤4，解得2≤k≤52.综合①
②可得k的取值范围为kk≤52.4．把3题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．由集合的并集、交集求参数第29页共220页解：∵A∩B＝A，∴A⊆B.又A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，可知B≠∅.由数轴可知
k＋1≤－3，2k－1≥4，解得k∈∅，即当A∩B＝A时，k不存在．由集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：当题目中含有条件A∩B＝A，A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A∩B＝A
⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等．此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(2)关注点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．层级一学业水
平达标1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}解析：选A借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．2．(天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B
＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A．{1}B．{4}C．{1,3}D．{1,4}解析：选D因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3
×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为()第
30页共220页A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}解析：选A注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.4．设集合A＝{a，b}，B＝{
a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1,2}B．{1,5}C．{2,5}D．{1,2,5}解析：选D∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设集合A＝{x|－1
≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a<2B．a>－2C．a>－1D．－1<a≤2解析：选C∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a
>－1.6．(江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}7．若集合A
＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．答案：R{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒
乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设所求人数为x，则x＋10＝30－8⇒x＝12.答案：129．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求
M∩N，M∪N.(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N.∴2是关于
x的方程x2－3x＋m＝0的解，第31页共220页即4－6＋m＝0，解得m＝2.10．已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．解：(1)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B
＝∅，∴m≤－2.(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.层级二应试能力达标1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1
,2}D．{－1,0,1,2}解析：选B由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y
＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}解析：选D集合M，N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解x＋y＝2，x－y＝4，得x＝3，y＝－1.3．下列四个命题：①
a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选Ca∈(A∪B)⇒a∈A或a∈B，所以①错，由交集、并集的定义，易知②③④正确．4．已知M＝{x|y＝x2
－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于()A．{y|y＝－1或0}B．{x|x＝0或1}C．{(0，－1)，(1,0)}D．{y|y≥－1}解析：选DM＝{x|y＝x2－1}＝R，N＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，故M∩N＝{y|y≥－1}．5．集合A＝{0,2，a
}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．解析：∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，解得a＝4.第32页共220页答案：46．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，
B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，则a<－1，a＋8≥5，解得－3≤a<－1.答案：－3≤a<－17．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，
a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠∅时，此时a≠0，则B＝－1a，∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.综上，a＝0或a＝1
2.8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；(2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围．解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．又B＝{x|3
≤x≤22}，所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．(2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B，又因为A为非空集合，所以2a＋1≥3，3a－5≤22，2a＋1≤3a－5，解得6≤a≤9.第33页共220页第二课时补集及综合应用[新知初探]1．全
集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.[点睛]全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．2．补集定义文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对
全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言性质(1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U；(3)∁U(∁UA)＝A；(4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅[点睛]∁U
A的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集一定包含任何元素()(2)同一个集合在不同的全集中补集不同()(3
)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．()答案：(1)×(2)√(3)√2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝()A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}答案：D第34页共220页3．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则
U等于()A．{0,2,4,6}B．{0,2,4}C．{6}D．∅答案：A4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁UA＝________.答案：{x|5≤x<10}[例1](1)
设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝()A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}(2)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<0}，则∁UM＝()A．{x|0≤x≤2}B．{x|0<x<2}C．{x|x<
0，或x>2}D．{x|x≤0，或x≥2}[解析](1)因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3,5,6}．(2)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)C(2)A求集合补
集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．[活学活用]1．设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁UA＝________.解析：用数轴表示集合A为
图中阴影部分，补集的运算第35页共220页∴∁UA＝{x|x≤2或x>5}．答案：(1){x|x≤2或x>5}2．设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________.解析：法一：在集合U
中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn图表示．则∁
UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．答案：{－5，－4,3,4}{－5，－4,5}[例2](1)(天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}
，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)
∩B＝________.[解析](1)由题意得∁UB＝{2,5,8}，∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．(2)把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴
∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．∵∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．[答案](1)A(2){x|x≤2，或x≥10}{x|2<x<3，或7≤x<10}解决集合交
、并、补运算的技巧交集、并集、补集的综合运算第36页共220页(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、
并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．[活学活用]3．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅解析：选A∵U＝{1,2
,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．4．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x
≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2<x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}解析：选C因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}.[例
3]设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．[解]由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩
B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[一题多变]1．[变条件]本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m与补集相关的参数值的求解第37页共2
20页的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.2．[变条件]本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A
＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求
解．(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．层级一学业水平达标1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等
于()A．{2,3}B．{1,4,5}C．{4,5}D．{1,5}解析：选BA∩B＝{2,3}．∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x>1}B．{x|x≥1}C．{x|
1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}解析：选D∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．
0或2B．0C．1或2D．2解析：选D由题意，知a＝2，a2－2a＋3＝3，则a＝2.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪BB．A∩B第38页共220页C．∁U(A∩B)D．∁U(A∪B)解
析：选D∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，∴A∪B＝{1,3,4,5,6}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x
≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}解析：选A阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}
，故选A.6．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝________.解析：∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}7．设U＝{0,
1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.答案：－38．已知全集U＝R，
M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}9．已
知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝xx≤0或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．解：将集合A，B，P表示在数轴上，如图．∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，∴A∩B＝{x|
－1<x<2}．∵∁UB＝{x|x≤－1或x>3}，第39页共220页∴(∁UB)∪P＝xx≤0或x≥52，∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩x0<x<52＝{x|0<x<2}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2
＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)．解：如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁UA＝{x|x
≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．故(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．
∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．层级二应试能力达标1．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为()A．3B．4C．5
D．6解析：选B∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，
那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于()A．{x|3<x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x<4}D．{x|－1≤x≤3}解析：选A∵∁UA＝{x|x<－2或x>3}，∁UB＝{x|－2≤x≤4}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|3<x≤4}，故选A.3．已知M
，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N等于()A．MB．NC．ID．∅解析：选A因为N∩∁IM＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.第40页共220页4．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为(
)A．a>3B．a≥3C．a≥7D．a>7解析：选A因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a>3.5．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合∁U(M∩N)中的元素共有________个．解析：∵U＝M∪
N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，∴∁U(M∩N)＝{3,5,8}，即共有3个元素．答案：36．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1
或x≥2}．又∵A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.答案：{a|a≥2}7．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝∅，且A∩(∁
UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.解：∵A∪B＝U，A∩B＝∅，∴A＝∁UB，又A∩∁UB＝{1,2}，∴A＝{1,2}，∴B＝{3,4,5}．8．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|
3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁RA)
∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．函数及其表示第41页共220页1．2.1函数的概念[新知初探]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f
，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的
集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．[点睛]对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应
关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3．其它区间的表示定义R{x|x
≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[点睛]关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()第42页共220页(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值
域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C
．(－1，＋∞)D．(－1,0)答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝()A．2B．3C．4D．5答案：D4．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．(2){x|x>1}用区间表示为________．答案：
(1)[10,100](2)(1，＋∞)[例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)下
列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？①f：把x对应到3x＋1；②g：把x对应到|x|＋1；③h：把x对应到1x；④r：把x对应到x.(1)[解析]①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应
，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.函数的判断第43页共220页[答案]B(2)[解]①是实数集R上的一个函数．它
的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．同理，②也是实数集R上的一个函数．③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，1x的值不存在．④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在．1．判断对应关系是否为函
数的2个条件(1)A，B必须是非空数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移
动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[活学活用]1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
1x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1解析：选BA错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.相等函数第44
页共220页[例2]下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2[解析]对于选项A，前者定义域为R，后者定义域
为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．[答案]B判
断函数相等的方法判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则．(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．[活学活用]2．下列各组式子是否表示同一函
数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2；(4)y＝3－x2，y＝x－3.解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与
φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1－x2的定义域为
{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与y＝1－x2是同一函数．(4)∵y＝3－x2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应
关系不同，∴y＝3－x2与y＝x－3不是同一函数.求函数的定义域第45页共220页[例3]求下列函数的定义域：(1)y＝x＋12x＋1－1－x；(2)y＝5－x|x|－3.[解](1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0.解得x≤1，且x≠－1，即函
数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5－x≥0，|x|－3≠0，解得x≤5，且x≠±3，即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(2)若f(x)
是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[活学活用]3．求下列函数
的定义域：(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝3－x·x－1；(3)y＝(x－1)0＋2x＋1.解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当3－x≥0，x－1≥0.解得
1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．第46页共220页(3)函数有意义，当且仅当x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.[例4](1)已
知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3
)；③y＝3x－1x＋1；④y＝2x－x－1.(1)[解析]∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.[答案]1317(2)[解]①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.②(配方
法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y＝3x－1x＋1＝3x＋3－4x＋1＝3－4x＋1.求函数值和值域第47页共220页∵4x＋1≠0，∴y
≠3，∴y＝3x－1x＋1的值域为{y|y∈R且y≠3}．④(换元法)设t＝x－1，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为158，＋∞.1．函数求值的方法(
1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的
函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原
函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．[活学活用]4．求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1＋1；(2)y＝1－x21＋x2.解：(1)因为2x＋1≥0，所以
2x＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].第48页共220页层级一学业水平
达标1．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}解析：选D由题意可知1－x≥0，x≥0，解得0≤x≤1.2．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值
域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：选BA中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A．y＝x－1和y＝x2－1x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝x2x和g(x)＝xx2解析：选DA中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C
中两函数的对应关系不同，故选D.4．设f(x)＝x2－1x2＋1，则f2f12＝()A．1B．－1C.35D．－35第49页共220页解析：选Bf2f12＝22－122＋1122－1122＋1＝35－3454＝35×－
53＝－1.5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝xB．y＝1xC．y＝1xD．y＝x2＋1解析：选By＝x的值域为[0，＋∞)，y＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为
[1，＋∞)．6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：由题意知3a－1>a，则a>12.答案：12，＋∞7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，
则函数f(x)的值域为________．解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7}8．设f(x)＝11－x，则f(f(x))＝________.解
析：f(f(x))＝11－11－x＝11－x－11－x＝x－1x.答案：x－1x(x≠0，且x≠1)9．已知f(x)＝x2－4x＋5.(1)求f(2)的值．(2)若f(a)＝10，求a的值．解：(1)由f(x)＝x2－4x＋5，所以f(2)＝22－4×2＋5＝1
.(2)由f(a)＝10，得a2－4a＋5＝10，即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.10．求函数y＝x＋26－2x－1的定义域，并用区间表示．第50页共220页解：要使函数解析式有意义，需满足：x
＋2≥0，6－2x≥0，6－2x≠1，即x≥－2，x≤3，x≠52，所以－2≤x≤3且x≠52.所以函数的定义域是x－2≤x≤3且x≠52.用区间表示为－2，52∪52，3.层级二应试能力达标1．下列式子中不
能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝y2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝y解析：选A对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6⇒y＝12x－3是一次
函数；对于D，由x＝y得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A.2．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[2，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选C集合A表示函数y＝x－1的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函
数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．3．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．2解析：选A∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))
＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.4．已知函数y＝f(x)与函数y＝x＋3＋1－x是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)第51页共220页C．(－3，＋∞)D．(－∞，1]解析：选A由于y＝f(
x)与y＝x＋3＋1－x是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．5．函数y＝1x－2的定义域是A，函数y＝2x＋6的值域是B，则A∩B＝________(用区间表示)．解析：要使函数式y＝1x－2有意义，只需x≠
2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝2x＋6≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．答案：[0,2)∪(2，＋∞)6．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足6－x≥0，|x|－4≠0，即
x≤6，x≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]7．试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；(2)f
(x)＝(x－1)2＋1；(3)f(x)＝5x＋4x－1；(4)f(x)＝x－x＋1.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(
1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝5x＋4x－1＝5＋9x－1，所以函数的值域为{y|y≠5}．(4)要使函数式有意
义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝t－122－54.又t≥0，故f(t)≥－54.所以函数的值域是y
y≥－54.第52页共220页8．已知函数f(x)＝x21＋x2.(1)求f(2)＋f12，f(3)＋f13的值；(2)求证：f(x)＋f1x是定值；(3)求f(2)＋f12＋f(3)＋f
13＋„＋f(2016)＋f12016的值．解：(1)∵f(x)＝x21＋x2，∴f(2)＋f12＝221＋22＋1221＋122＝1，f(3)＋f13＝321＋32＋1321＋132＝1.(2)证明：f(x)＋f1x
＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋1x2＋1＝x2＋1x2＋1＝1.(3)由(2)知f(x)＋f1x＝1，∴f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，f(4)＋f14＝1，„，f(2016)＋f1201
6＝1.∴f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋„＋f(2016)＋f12016＝2015.1．2.2函数的表示法第一课时函数的表示法第53页共220页[新知初探][点睛]列表法、图象法和解析法是从三个不
同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．()(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间
上一条连续不断的曲线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x<222<x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在答案：C3.函数y＝f(x)的图象如图，则
f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C4．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，f(x)的解析式为________．答案：y＝－18x第54页共220页[例1]某商场新进了10台彩电，每
台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来[解](1)列表法：x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元18000210002400027
00030000(2)图象法：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，„，10}．理解函数的表示法3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解
析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．[活学活用]1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．函数的表示法第55页共220页x123f(x)211则f(g(1
))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：11[例2]作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[解](1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，
其值域为[1,5]．(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(
x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即x123g(x)321函数图象的作法及应用第56页共220页可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点
；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．[活学活用]2．作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－
2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．[例3]求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，
求f(x)．[解](1)[法一换元法]设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．[法二配凑法]∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1
)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.函数解析式的求法第57页共220页又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝
2x，整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1.求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可
将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程
组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[活学活用]3．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．解：法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.4．已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即a2＝4，ab＋b＝8，解得a＝2，b＝83或
a＝－2，b＝－8.∴f(x)＝2x＋83或f(x)＝－2x－8.5．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①第58页共220页∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2
－6x，∴f(x)＝13x2－2x.层级一学业水平达标1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()A．3B．2C．1D．0解析：选B由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2
))＝f(1)＝2.2．如果f1x＝x1－x，则当x≠0,1时，f(x)等于()A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1解析：选B令1x＝t，则x＝1t，代入f1x＝x1－x，则有f(t)＝1t1－1t＝1t－1，
故选B.3．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝()A．3x＋2B．3x－2C．2x＋3D．2x－3解析：选B设f(x)＝ax＋b，由题设有22a＋b－3a＋b＝5，20·a＋b－
－a＋b＝1.解得a＝3，b＝－2.所以选B.4．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7解析：选B∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.第59页
共220页5．若f(1－2x)＝1－x2x2(x≠0)，那么f12等于()A．1B．3C．15D．30解析：选C令1－2x＝t，则x＝1－t2(t≠1)，∴f(t)＝4t－12－1(t≠1)，即f(x)＝4x－12－1(x≠1)，∴f
12＝16－1＝15.6．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x1234f(x)3241解析：由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.答案：17．已知函数f(x)＝x－mx，且此
函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－mx，得m＝5.答案：58．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x
＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，∴3a＝6，3a＋3b＝4，∴a＝2，b＝－23，则f(x)＝2x－23.答案：2x－239．(1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)；(2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)．解
：(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.第60页共220页(2)法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1
，可得f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.10．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝
3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴a＝2，b＋5a＝17，解得a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.层级二应试能力达标1．已知函数f(x＋1)＝x2－x＋3，那
么f(x－1)的表达式是()A．f(x－1)＝x2＋5x－9B．f(x－1)＝x2－x－3C．f(x－1)＝x2－5x＋9D．f(x－1)＝x2－x＋1解析：选Cf(x＋1)＝(x＋1)2－3(x＋1)＋5，所以f(x)＝x2－
3x＋5，f(x－1)＝(x－1)2－3(x－1)＋5＝x2－5x＋9，故选C.2．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为()A.12，5B.
14，4C．(－1,3)D．(－2,1)解析：选A设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得k＋b＝6，2k＋b＝8，解得k＝2，b
＝4，，所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.3．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝14(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为()A．1B．－1C．1或－1D．1或－2解析：选B因为g(x)＝14(x2＋
3)，所以g(f(x))＝14[(2x＋a)2＋3]＝14(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.4．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是()A．1B．2第61页共
220页C．0或1D．1或2解析：选C结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．5．已知x≠0，函数f(x
)满足fx－1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________.解析：fx－1x＝x2＋1x2＝x－1x2＋2，所以f(x)＝x2＋2.答案：x2＋26．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，
且f(a)＝4，则a＝________.解析：因为f(2x＋1)＝32(2x＋1)＋12，所以f(a)＝32a＋12.又f(a)＝4，所以32a＋12＝4，a＝73.答案：737．已知函数f(x)＝xax＋b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解
析式和f(f(－3))的值．解：因为f(2)＝1，所以22a＋b＝1，即2a＋b＝2，①又因为f(x)＝x有唯一解，即xax＋b＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝12.所
以f(x)＝x12x＋1＝2xx＋2.所以f(f(－3))＝f－6－1＝f(6)＝2×66＋2＝32.8．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为：y＝ax＋bx.且当x＝2时，y＝10
0；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y关于x的解析式；(2)用列表法表示此函数，并画出图象．第62页共220页解：(1)将x＝2，y＝100，与x＝7，y＝35，代入y＝ax＋bx中
，得2a＋b2＝100，7a＋b7＝35⇒4a＋b＝200，49a＋b＝245⇒a＝1，b＝196.所以所求函数解析式为y＝x＋196x(x∈N,0<x≤20)．(2)当x∈
{1,2,3,4,5，„，20}时，列表：x12345678910y19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8依据上表，画出函数y的图象如图
所示，是由20个点构成的点列．第二课时分段函数与映射\第63页共220页[新知初探]1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数
的定义域的交集是空集．[点睛](1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝1，－2≤x≤0，x，0<x≤3，其“段”是不等长的．2．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对
于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．[点睛]映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．[小试身手]1．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．()(2)分段函数由几个函数构成．()(3)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x>1是分段函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．
()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．已知f(x)＝－x，x≤0，x2，x>0.则f(－2)＝()A．2B．4C．－2D．2或4答案：A3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下
列对应不是A到B的映射的是()答案：C第64页共220页4．函数f(x)＝2，1≤x<2，3，x≥2的定义域为________．答案：[1，＋∞)[例1]下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；(2)A＝N，B＝Q
，f：x→1x；(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.[解](1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射．(2)当x＝0∈A时，1x无意义，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以(2)不是映射
．(3)当1≤x≤2时，2≤2x≤4，而且对于A中每一个x值，按照对应关系y＝2x，在B中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射．判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A中的任意一个元素，在B中是
否有元素与之对应．(2)B中的对应元素是不是唯一的．[点睛]“一对一”或“多对一”的对应才可能是映射．[活学活用]1．已知A＝{1,2,3，„，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→x2x＋1.(1)与
A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素49相对应的A中的元素是什么？解：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得x2x＋1＝12×1＋1＝13，即与A中元素1相对应的B中的元素是13.映射的概念第65
页共220页(2)B中元素49，即x2x＋1＝49，解得x＝4，因此与B中元素49相对应的A中的元素是4.[例2]已知函数f(x)＝|x－1|－2，|x|≤1，11＋x2，|x|>1.(1)求ff
12的值；(2)若f(x)＝13，求x的值．[解](1)因为f12＝12－1－2＝－32，所以ff12＝f－32＝11＋－322＝413.(2)f(x)＝13，若|x|≤1，则|x－1|－2＝13，得x＝103或x＝－43.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；若|x|>1，则11＋x2＝13，得x＝±2，符合|x|>1.所以若f(x)＝13，x的值为±2.1．求分段函数的函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2
)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]2．已知f(x)＝
2x，x>0，fx＋2，x≤0，则f(－5)的值等于________．解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.答案：2分段函数求值第66页共220页3．函数f(x)＝x2＋2，x≤2，45x，x>2
.若f(x0)＝8，则x0＝________.解析：当x0≤2时，f(x0)＝x20＋2＝8，即x20＝6，∴x0＝－6或x0＝6(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝45x0，∴x0＝10.综上可知，x0＝－6或x0＝10.答案
：－6或10题点一：分段函数的图象的判定1．函数f(x)＝|x－1|的图象是()解析：选B法一：函数的解析式可化为y＝x－1，x≥1，1－x，x<1.画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A、C、D，故选B.题点
二：分段函数图象的作法2．已知f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x>1或x<－1，画出f(x)的图象．解：利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．题点三：由函数的图象确定其解析式3．已知函数f(x)的图象如右图所示
，则f(x)的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则－a＋b＝0，b＝1.∴a＝1，b＝1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝
－1.分段函数的图象及应用第67页共220页答案：f(x)＝x＋1，－1≤x<0，－x，0≤x≤1题点四：分段函数的图象及应用4．若定义运算a⊙b＝b，a≥b，a，a<b.则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为
________．解析：由题意得f(x)＝2－x，x≥1，x，x<1，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去
掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．层级一学业水平达标1．下列对应关系f中，能构成从集合
A到集合B的映射的是()A．A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2B．A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2C．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝1x2D．A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：
x→y＝x2解析：选D对于A，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于B，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应；对于C，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应．故A、B、C均不能构成映射．2．已知f(x)＝10，x<0，10x，x≥0，则f(f(－
7))的值为()A．100B．10C．－10D．－100第68页共220页解析：选A∵f(x)＝10，x<0，10x，x≥0，∴f(－7)＝10.f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.3．下列图形是
函数y＝x|x|的图象的是()解析：选D函数y＝x|x|＝x2，x≥0，－x2，x<0，故选D.4．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{0|0≤y≤2}，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是()A．f：x→y＝12xB．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23xD．f：x→y
＝x解析：选C因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映射．5．函数f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1<x<2，3，x≥2的值域是()A．RB．[0,2]∪{3}C．[0，
＋∞)D．[0,3]解析：选B先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．6．已知f(x)＝x2－1，x≥1，1x，x<1，则ff13＝________.解析：依题意，得f13＝113＝3，则ff13＝f(3)＝32－1＝8.答案
：87．函数f(x)＝x＋2，x≤－1，x2，－1<x<2，若f(x)＝3，则x的值是________．解析：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1舍去，当－1<x<2时，x2＝3得x＝3或x＝－3(舍去)．答案：3第69页共220页8．在映射f：A→B中，A＝B＝{(
x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________．解析：由题意知，与A中元素(－1,2)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．答案：(－3,1)9．已知函数
f(x)＝x2－4，0≤x≤2，2x，x>2.(1)求f(2)，f(f(2))的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．解：(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.(
2)当0≤x0≤2时，由x20－4＝8，得x0＝±23(舍去)；当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.10．已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2<x<0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.所以f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2<x<0.(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，
f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二应试能力达标1．已知函数f(x)＝x＋1，x∈[－1，0]，x2＋1，x∈0，1]，则函数f(x)的图象是()第70页共220页解析：选A当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1
)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.2．已知函数y＝x2＋1，x≤0，－2x，x>0，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－52C．2或－2D．2或－2或－52解析：选A当x≤0时
，令x2＋1＝5，解得x＝－2；当x>0时，令－2x＝5，得x＝－52，不合题意，舍去．3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素与之对应，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是()A．4B．5C
．6D．7解析：选A注意到对应法则是f：a→|a|，因此3和－3对应集合B中的元素3；2和－2对应集合B中的元素2；1和－1对应集合B中的元素1；4对应集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立
方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为()A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米解析：选A该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系
式为y＝mx，0≤x≤10，2mx－10m，x>10.由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.5．函数f(x)＝x2＋1，x≥0，2－x，－2≤x<0，的值域是________．解析：当x≥0时，f(x)
≥1，当－2≤x<0时，2<f(x)≤4，∴f(x)≥1或2<f(x)≤4，即f(x)的值域为[1，＋∞)．第71页共220页答案：[1，＋∞)6．设函数f(x)＝12x－1，x≥0，1x，x<0，若f(a)>1，则
实数a的取值范围是________．解析：当a≥0时，f(a)＝12a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝1a>1，无解．答案：(4，＋∞)7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(
6,4)．(1)求f(f(0))的值；(2)求函数f(x)的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f(f(0))＝f(4)＝2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，将x＝0，y＝4与x＝2，y＝0代入，解得4＝b，0＝2k＋b.
得b＝4，k＝－2.∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(2<x≤6)．∴f(x)＝－2x＋4，0≤x≤2，x－2，2<x≤6.8．A，B两地相距150公里，某汽车以每
小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为1
5050＝3(小时)．第72页共220页(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时15060＝2.5(小时)．综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系
为s＝50t，0≤t≤3，150，3<t≤5，450－60t，5<t≤7.5.函数图象如图所示．函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第73页共220页第一课时函数的单调性[新知初探]1．定义域为I的函
数f(x)的增减性[点睛]定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．单调性与
单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[点睛]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”
连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在R上是增函数．()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(
)第74页共220页(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．()答案：(1)×(2)×(3)×2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1
,4]C．[－3,1]D．[－3,4]答案：C3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝1xC．f(x)＝|x|D．f(x)＝2x＋1答案：B4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区
间是________．答案：(－∞，－1][例1]求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1
x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数
f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x
1)>f(x2)．函数单调性的判定与证明第75页共220页∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．利用定义证明函数单调性的4个步骤[活学活用]1．证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(0,
1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2＋1x2＝(x1－x2)＋1x1－1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)1－1x1x2＝
x1－x2－1＋x1x2x1x2.∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0，∴x1－x2－1＋x1x2x1x2>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋1
x在(0,1)上是减函数.[例2]画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．[解]y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－
x＋12＋2，x<0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．求函数的单调区间第76页共220页求函数单调区间的2种方法法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．[活学
活用]2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．答案：[－1.5,3]和[5,6]3．求函数f(x)＝1x－1的单调减区间．解：函数f(x)＝1x－1
的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1x1－1－1x2－1＝x2－x1x1－1x2－1.因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<
0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).题点一：利用单调性比较大小1．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，
则下列关系式一定成立的是()A．f(a)>f(2a)B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a)D．f(a2＋1)<f(a2)解析：选D因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.
题点二：利用单调性解不等式2．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围．解：∵函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6
)，∴2x－3>5x＋6，函数单调性的应用第77页共220页解得x<－3.∴x的取值范围为(－∞，－3)．题点三：已知单调性求参数范围3．已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解：设1<x1<x2，∴x1x2>1.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－x2－ax2＋a2＝(x1－x2)1＋ax1x2<0.∵x1－x2<0，∴1＋ax1x2>0，即a>－x1x2.∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1
，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间
[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．层级一学业水平达标1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.2．下列函数中
，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4解析：选A因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝1x在(0，第78页共220页＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
3．函数y＝1x的单调递减区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C函数y＝1x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝1
x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有()A．a≥12B．a≤12C．a>12D．a<12解析：选D函数f(x)＝(2a－1)
x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<12.故选D.5．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A．(－∞，0]，(－∞，1]B．(－∞，0]，(1，＋∞)C．[0，＋∞)，(－∞，1]D．[0，
＋∞)，[1，＋∞)解析：选C分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.6．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)
(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1<x2均有f(x1)>f(x2)．又∵－1<a2＋1，∴f(－1)>f(a2＋1)．答案：>7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f1
2的实数x的取值范围为________．解析：由题设得－1≤x≤1，x<12，解得－1≤x<12.答案：－1，128．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，
1上是增函数，则实数a的取值范围为________．第79页共220页解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝a－12且在区间12，1上是增函数，∴a－12≤12，即a≤2.答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性
．解：函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－1x1＋1－－1x2＋1＝x1－x2x1x2，由x1
，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，又由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x>1的图象，并指出函数f(
x)的单调区间．解：f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x>1的图象如图所示．由图可知，函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x>1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二应试能力达标
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或减函数D．无法确定单调性解析：选D函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－1x在(0，＋∞)上是第80页共220页
增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()①y＝|x|＋1；②y＝|x|x；③y＝－x2|x|；④y＝x＋x|x|.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C①y＝|x|＋
1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝|x|x＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y＝－x2|x|＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋x|x|＝x
－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．3．已知函数f(x)＝a－3x＋5，x≤1，2ax，x>1是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2]解析：选D依题意得实数a满足
a－3<0，2a>0，a－3＋5≥2a，解得0<a≤2.4．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x1<0，则()A．f(3)<f(2)<f(1)B．f(1)<f(2)
<f(3)C．f(2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(2)解析：选A对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x1<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1
，则f(3)<f(2)<f(1)．故选A.5．若函数y＝－bx在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：设0<x1<x2，由题意知f(x1)－f(x2)＝－bx1＋bx2＝bx1－x2x1x2>0.∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，∴b<0.第81
页共220页答案：(－∞，0)6．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间是________．解析：y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3x，x>0，x2－3x，x≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为0，32.答案：
0，327．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围．解：由题意可知－1<1－a<1，－1<2a－1<1，解得0<a<1.①又f(x)在(－1,1)
上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，∴1－a>2a－1，即a<23，②由①②可知，a的取值范围是0，23.8．设函数f(x)＝x＋ax＋b(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调
区间上的单调性．解：在定义域内任取x1，x2，且使x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋b＝x2＋ax1＋b－x2＋bx1＋ax1＋bx2＋b＝b－ax2－x1x1＋bx2＋
b.∵a>b>0，x1<x2，∴b－a<0，x2－x1>0.只有当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数
．∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．第二课时函数的最大(小)值[新知初探]函数的最大(小)值第82页共220页最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，
都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标[点睛]最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝
x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()答案：(1)×(2)√2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数
的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2C．－1,2D.12，2答案：C3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值答案：D4．函数f(x)＝2x，x∈[2,4]，则f(x
)的最大值为______；最小值为________．答案：112图象法求函数的最值第83页共220页[例1]如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[解]观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(
x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.用图象法求最值的3个步骤[活学活用]1．求函数f(x)＝1x，0<x<1，x，1≤x≤2的最值．解：函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．[例2]已知函数f(x)＝x＋1x.(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x
2＝(x1－x2)·1－1x1x2＝x1－x2x1x2－1x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，利用单调性求函数的最值第84页共220页故(x1－x2)·x1x2
－1x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋
12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y
＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右
端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．[活学活用]2．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．解：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[x2－1
－x1－1]x1－1x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,
6]上的减函数．因此，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.实际应用中的最值第85页共220页[例3]某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，
已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x＞400.其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少
元？(总收益＝总成本＋利润)[解](1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝－12x2＋300x－20000，0≤x≤400，60000－100x，x＞400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，[f(x
)]max＝25000.当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400<25000.∴当x＝300时，[f(x)]max＝25000.即每月生产300台仪器时利润最大，最
大利润为25000元．解实际应用问题的5个步骤(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系．(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．(5
)答：回归实际，明确答案，得出结论．[活学活用]3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？第86页共220页解：设售价为x
元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1000－10x)个，则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000.故当x＝70时，ymax＝9000.即售价为70元时，利润最大值为9000元.[
例4]求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[解]∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝
f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝6－4a，a<2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a>4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f(x)的最大值．解：∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a≤3时，f(x)max＝f(
4)＝18－8a，当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.∴f(x)max＝18－8a，a≤3，6－4a，a>3.2．[变设问]在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值．解：由本例解析知f(x)min＝6－4a，a<2，2－a2，2≤a
≤4，18－8a，a>4.当a＜2时，6－4a＝2，a＝1；当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；当a＞4时，若18－8a＝4，a＝74(舍去)．∴a的值为1.二次函数的最大值，最小值第87页共220页3．[变条件，变设问]本例
条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．解：在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，即a≥f(x)max，x∈[2,4]．由本例探
究1知f(x)max＝18－8a，a≤3，6－4a，a＞3.(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.(2)当a＞3时，a≥6－4a，解得a≥65，此时有a＞3.综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向
、作图．(2)在图象上标出定义域的位置．(3)观察单调性写出最值．层级一学业水平达标1.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为()A．f(2)，f(－2)B．f12，f(－1)C．f12，f－32D．f12，f(0)解析：选C
根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－32时，有最小值f－32；当x＝12时，有最大值f12.2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是()A．10,5B．10,1C．5,1D．以上都不对第88页共220页解析：选B因为y＝x
2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．函数y＝3x＋2(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是()A.37，0B.32，0C.32，37D．最小值为－
14，无最大值解析：选C因为函数y＝3x＋2在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝32，当x＝5时，ymin＝37.故选C.4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0解析：选C由题意知a≠
0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，
1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：选C令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a＜
0.6．函数y＝－1x，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．解析：易证函数y＝－1x在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝13，ymax＝1，所以ymax－ymin＝1－13＝23.答案：237．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(
x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，第89页共220页当x＝1时，函数有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－
x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.答案：18．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是_______
_，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．答案：f(－2)f(6)9．求函数f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取2≤x1
<x2≤5，则f(x2)－f(x1)＝x2x2－1－x1x1－1＝x1－x2x2－1x1－1.因为2≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.所以f(x2)－f(x1)<0.所以
f(x2)<f(x1)．所以f(x)＝xx－1在区间[2,5]上是单调减函数．所以f(x)max＝f(2)＝22－1＝2，f(x)min＝f(5)＝55－1＝54.10．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈
[0,1]时有最大值2，求a的值．解：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a；当0<a<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1；当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a.根据已知条件得，
a≥1，a＝2或0<a<1，a2－a＋1＝2或a≤0，1－a＝2，解得a＝2或a＝－1.层级二应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝1x＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x解析：
选AB、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，第90页共220页即可求得最值，故选A.2．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，x＋7，x∈[－1，1]，则f(
x)的最大值与最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对解析：选A∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2]解析：选Df(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(
1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万
元解析：选C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1922＋30＋1924，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．5．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1
]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：法一：－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大
值为0，∴a≥0.法二：设f(x)＝－x2＋4x＋a，由题意知f0＝a≥0，f1＝－1＋4＋a≥0，解得a≥0.答案：[0，＋∞)6．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值第91页共220页范围是__
______．解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.答案：(1,3]7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单
位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝a
x＋b，由表格得方程组45a＋b＝27，50a＋b＝12，解得a＝－3，b＝162，所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x
∈[30,54]．(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为4
2元时，获得最大的日销售利润．8．已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为[0，a]时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：由于f(x)的对称轴是x＝2，因此要确定f(x)在[0，a]上的单调性，就需要确定对称第
92页共220页轴是否落在该区间上，这就需要对a进行讨论：(1)当0<a≤2时，f(x)在[0，a]上单调递减，∴f(x)min＝f(a)＝3a2－12a＋5，f(x)max＝f(0)＝5.(2)当a>2时，f(x)在[0,2]上单调递减
，在[2，a]上单调递增，因此其最大值为f(0)和f(a)中的较大者，而f(a)－f(0)＝3a2－12a.∴①当2<a≤4时，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－7.②当a>4时，f(x)max＝f(a)＝3a2－12
a＋5，f(x)min＝f(2)＝－7.1．3.2奇偶性[新知初探]函数奇偶性的概念偶函数奇函数定义条件对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于y轴
对称图象关于原点对称[点睛]奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函第93页共220页数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象一定与y轴相交．()(2)奇函数的图象一定通过原点．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[
－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定
答案：C3．下列函数是偶函数的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0,1]答案：B4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝____________.答案：4[例1]
判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x＋1，x>0，－x＋1，x<0.[解](1)∵函数f(x)的定义域
为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－判断函数的奇偶性第
94页共220页x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当
x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f(x)的定义
域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)
＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(2)图象法：①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数．②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数．③若f(x)图象既关于
原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)性质法：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零
)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．[活学活用]1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；第95页共220页(3)f(x)＝1－x2x.解：(1)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2
＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)
为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，又∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．∴f(x)为奇函数.[例2](1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a
＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.[解析](1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f
(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.[答案](1)130(2)0利用奇偶性求参数的常见类型(1
)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．[活学活用]利用函数的奇偶性求参数第96页共220
页2．设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－x＋1－x＋a－x＝－x＋1x＋ax.显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋
(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.答案：－1[例3]若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．[解]当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2
＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝x2－2x＋3，x>0，0，x＝0，－x2－2x－3，x<0.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求f(－2)的值．解：因为f
(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.2．[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；利用函数的奇偶性求解
析式第97页共220页(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．题点一：比较大小问题1．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为()A．f(1)>f(－10)B．f(1)<f(
－10)C．f(1)＝f(－10)D．f(1)和f(－10)关系不定解析：选A∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10
)．题点二：区间内的最值问题2．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有()A．最小值6B．最小值－6C．最大值－6D．最大值6解：选C因为奇函数f(x)在[2,5
]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.题点三：解不等式问题3．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[
0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．解析：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．所以不等式f(1－m)<f(m)等价于1－m>m，－2≤m≤2，－2≤1－m≤2，
解得－1≤m<12.所以实数m的取值范围为－1，12.函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不
等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．函数单调性与奇偶性的综合
第98页共220页层级一学业水平达标1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()解析：选B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是
偶函数．故选B.2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选BF(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．3．函数f(
x)＝1x－x的图象()A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称解析：选C∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－1x－(－x)＝x－1x＝－f
(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．4．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是()A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5解析：选Cf(x)为奇
函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是()A．
f(－π)>f(3)>f(－2)第99页共220页B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)解析：选A∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f
(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)<f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.解析：
由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.答案：－57．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(
x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.答案：－x＋18．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.答案：59．
已知函数f(x)＝x＋mx，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋2x，x≠0.∵f(－x)＝(－x)
＋2－x＝－x＋2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．第100页共220页(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3
)的大小．解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补
充后的图象，易知f(1)>f(3)．层级二应试能力达标1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A．y＝1x2B．y＝1xC．y＝x2D．y＝x13解析：选A易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选
A.2．若f(x)＝(x－a)(x＋3)为R上的偶函数，则实数a的值为()A．－3B．3C．－6D．6解析：选B因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化简得(6－2a)x＝0.因为x∈R，所以6－
2a＝0，即a＝3.3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(－x)>0B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x)D．f(x)>f(－x)解析：选B∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，
第101页共220页∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f13的x的取值范围为()A.13，23B.
13，23C.12，23D.12，23解析：选A由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)<f13，即－13<2x－1<13，解得13<x<23.5.设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f
(x)<0的解集用区间表示为________．解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0
的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．答案：[－6，－3)∪(0,3)6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______
______．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，
＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)7．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．解：原不等式化为f(m－1)<－f(3－2
m)．因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)<f(2m－3)．因为f(x)是减函数，所以m－1>2m－3，所以m<2.又f(x)的定义域为(－1,1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<
m<2且1<m<2，所以1<m<2.第102页共220页综上得1<m<2.故实数m的取值范围是(1,2)．8．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．解：由f(x)在R上是偶
函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减，∵2a2＋a＋1＝2a＋142＋78＞0，2a2－2a＋3＝2a－122＋52＞0，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，∴2a2＋
a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞23，∴a的取值范围为23，＋∞.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U
＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C由已知条件，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,5}，即集合∁U(A∩B)的元素有
3个，故选C.2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是()A．{0,2,3}B．{1,2,3}C．{－3,5}D．{－3,5,9}解析：选D由对应关系可知，当x＝－1时，2x－
1＝－3；当x＝3时，2x－1＝5；当x＝5时，2x－1＝9.故B＝{－3,5,9}．3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为()第103页共220页A．y＝－|x|－1B．y＝|x－1|C．y＝－|x|＋1D．y
＝|x＋1|解析：选C对照题中的函数图象，当x＝0时排除A，当x＝－1时排除B，当x＝1时排除D，故选C.4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－12x，则f(1)＝()A．－32B．－12C.32D.12解析：
选A因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－32.5．函数f(x)＝1＋x2＋x(x>0)的值域是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C.12，1D.0，12解析：选C∵f(x)＝1＋x2＋
x＝x＋2－1x＋2＝1－1x＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)∈12，1.6．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为()A．y＝12xB．y＝24xC．y＝28xD．y＝216x解析：选C正方形的对角线长为24x，从而外接圆半径为y＝12×24x＝28x.
7．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于()A．10B．－10C．－18D．－26解析：选D令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)是奇函数，f(x)＝g(x)－8，f(－2)＝g(－2)
－8＝10，∴g(－2)＝18，∴f(2)＝g(2)－8＝－g(－2)－8＝－26.8．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则()第104页共220页A．f－32<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f
－32<f(2)C．f(2)<f(－1)<f－32D．f(2)<f－32<f(－1)解析：选D由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f－32＝f32，f(－1)＝f(1)．∵1<32<2，∴f(1)>f32>f(2)，即f(2)<f
－32<f(－1)．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．用列举法表示集合：M＝m10m＋1∈Z，m∈Z＝__________
______.解析：由10m＋1∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}10．若集合A＝{x||
x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________，A∪B＝________.解析：A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，解得A∩B＝{x|0≤x≤1}，A∪B＝{x|x≥－1}．答案：{x|
0≤x≤1}{x|x≥－1}11．已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．解析：若a>0，则2a＋2＝0，得a＝－1，与a>0矛盾，舍去；若a≤0，则a＋1＋2＝0，得a＝－3，所以实数a的值等于－3.答
案：－312．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．解析：f(x)的对称轴为直线x＝－1.当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝38；当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.综上，得a＝38
或a＝－3.第105页共220页答案：－3或3813．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.解析：∵f(x)为偶函数且定义域为[a－1,2a]，∴a－1＝－2a，∴a＝13.∴f(x)＝13
x2＋bx＋1＋b.又f(－x)＝f(x)恒成立，∴13x2－bx＋1＋b＝13x2＋bx＋1＋b.∴2bx＝0对x∈R恒成立，∴b＝0.答案：13014．设函数f(x)＝1－x2，x≤1，x2＋x－2，x>1，则f(－2)
＝________，f1f2＝________.解析：f(－2)＝1－(－2)2＝－3.∵f(2)＝22＋2－2＝4，∴f1f2＝f14＝1－142＝1516.答案：－3151615．已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)
的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：(1)当a>0时，由3－ax≥0，得x≤3a，∴f(x)的定义域是－∞，3a.(2)当a>1时，f(x)在区间(0,1]上是减函数，∴f(x)≥0，则f(1)＝
3－aa－1≥0，即3－a≥0，a≤3，∴1<a≤3.当0<a<1时，f(x)为区间(0,1]上的增函数，不合题意，当a＝0时，f(x)＝－3，不合题意；第106页共220页当a<0时，f(x)在区间(0,1
]是减函数．综上所述，a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)－∞，3a(2)(－∞，0)∪(1,3]三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x＋2x－6.(1)判断点(
3,14)是否在f(x)的图象上；(2)当x＝4时，求f(x)的值；(3)当f(x)＝2时，求x的值．解：(1)因为f(x)＝x＋2x－6，所以f(3)＝3＋23－6＝－53，所以点(3,14)不在f(x)的图象上．(2)f(4)＝4＋24－6＝－3.(3)令x＋
2x－6＝2，即x＋2＝2x－12，解得x＝14.17．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，(∁UA)∩B；(2)若A∩
C≠∅，求a的取值范围．解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}．∵∁UA＝{x|x<2或x>8}，∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．(2)∵A∩C≠∅，如图易知，只要a在8的左边即可，∴a<8，
即a的取值范围为(－∞，8)．18．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．解：(1)因为f(x)＝2x＋1x＋1＝2－1
x＋1，第107页共220页所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数．任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1.因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)得，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1,4]上是增函数．最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f(1)＝2×1＋11＋1＝32.19．(本小
题满分15分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．解：(1)若x<0，则－x>0，f(x
)＝f(－x)＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，则f(x)＝－x－22＋2，x≥0，－x＋22＋2，x<0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，
当－2<k<2时，函数y＝f(x)图象与直线y＝k有四个交点，即方程f(x)－k＝0有四个解．20．(本小题满分15分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．第108页共220页解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，将点(0,
3)的坐标代入得a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，所以2a<1<a＋1，所以0<a<12.即实数a的取值范围为0，12.
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，令g(x)＝x2－3x＋
1，x∈[－1,1]，则g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．指数函数2．1.1指数与指数幂的运算[新知初探]1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数
n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在[点睛]根式的概念中要求n＞1，且n∈N*.2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这
里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)第109页共220页①(na)n＝a.②nan＝a，n为奇数，|a|，n为偶数.[点睛](na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而nan中a∈
R.3．分数指数幂的意义分数指幂正分数指数幂规定：amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意
义[点睛]分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．4．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞
0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互
为相反数．()(3)π－42＝4－π.()(4)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘．()(5)0的任何指数幂都等于0.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为()A．a2-5B．a52C．a25D
．.－a52第110页共220页答案：A3．化简2532的结果是()A．5B．15C．25D．.125答案：D4．计算：π0＋2－2×21412＝________.答案：118[例1]化简：(1)nx－πn(x＜π，n∈N*)；(2)64a2－4a＋1a≤12.[解](1)∵
x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，nx－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，nx－πn＝x－π.综上可知，nx－πn＝π－x，n为偶数，n∈N*，x－π，n为奇数，n∈N*.(2)∵a≤12，∴1－2a≥0，∴64a2
－4a＋1＝62a－12＝61－2a2＝31－2a.根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．(2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab＝a·b(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[活学活用
]1．若xy≠0，则使4x2y2＝－2xy成立的条件可能是()A．x＞0，y＞0B．x＞0，y＜0根式的化简与求值第111页共220页C．x≥0，y≥0D．x＜0，y＜0解析：选B∵4x2y2＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B
.2．若2a－12＝31－2a3，则实数a的取值范围为________．解析：2a－12＝|2a－1|，31－2a3＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤12.答案
：－∞，12[例2]用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)13a2；(2)a3·3a2；(3)3b－a2.[解](1)13a2＝12123a＝a2-3.(2)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(3)3b－a2＝b－a213＝b1
3·－1a213＝b13·(－a－2)13＝－b13a2-3根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[活学活
用]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－x＝(－x)12(x＞0)B.6y2＝y13(y＜0)根式与分数指数幂的互化第112页共220页C．x－34＝41x3(x＞0)D．x－13＝－3x(x≠0)解析：选C－x＝－x12(x＞0)；6y2＝[(y)2]16＝－y1
3(y＜0)；x－34＝(x－3)14＝41x3(x＞0)；x1-3＝1x—13＝31x(x≠0)．4．将下列根式与分数指数幂进行互化：①a4-3；②3aa(a＞0)；③a3a·5a4(a＞0)．解：①a4-3＝14a3.②3aa＝a13·a16
＝a12.③原式＝a3·a1-2·a4-5＝a143--25＝a1710.[例3]计算下列各式：(1)2350＋2－2×214－12－0.010.5；(2)0.0641-3－－780＋[(－2
)3]4-3＋16－0.75；(3)141-2·1312332(4)0.1()abab(a>0，b>0)．3-2[解](1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝5
2－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝132244100·a32·a123-2·b3-2·b32＝425a0b0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法指数幂的运算第113页共220页(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时
兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[活学活用]5．计算：(1)0.02713－61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0
；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)23a÷46a·b·3b3.解：(1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)34＋(223)23－13＋1＝0.3
－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－a3c.(3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a11
-36b1-6·3b32＝32a16b43.[例4]已知a12＋a1-2＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解](1)将a12＋a1-2＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9
，∴a2＋a－2＝7.[一题多变]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a
2－a－2＝±35.答案：±35条件求值问题第114页共220页2．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求11221122-abab值．解：11221122-abab＝1122211112222--ababab
（）（）（）＝12+-2-ababab（）（）.①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－63.③将②③代入①，得11221122
-abab＝1212-29-63＝－33.条件求值的步骤层级一学业水平达标1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是()A．(－1)13和(－1)26B．0－2和012C．212和414D．43-2和12－3
解析：选C选项A中，(－1)13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1)13＝3－1－1，(－1)26＝6－12＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，43-2和12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中
，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C.2．已知：n∈N，n＞1，那么2n－52n等于()A．5B．－5C．－5或5D．不能确定第115页共220页解析：选A2n－52n＝2n52n＝5.3．计算8116－1
4的结果为()A.23B.32C．－23D．－32解析：选A8116－14＝324－14＝32－1＝23.4．化简[3－52]34的结果为()A．5B.5C．－5D．.－5解析：选B[3－52]34
＝[(－5)23]34＝512＝5.5．计算(2a－3b－23)·(－3a－1b)÷(4a－4b－53)得()A．－32b2B.32b2C．－32b73D.32b73解析：选A原式＝-4-464abab133-5＝－32b2.6．若x≠0，则|x|－x2＋x2|x|＝_
_______.解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋|x||x|＝1.答案：17．若x2＋2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则(x2017)y＝________.解析：因为x2＋2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，所以x＋12＋y＋32＝|x＋1|＋
|y＋3|＝0，所以x＝－1，y＝－3.∴(x2017)y＝[(－1)2017]－3＝(－1)－3＝－1.答案：－18.614－3338＋30.125的值为________．解析：原式＝522－3
323＋3123＝52－32＋12＝32.答案：329．计算下列各式(式中字母都是正数)：第116页共220页(1)2a23b12－6a12b13)÷－3a16b56；(2)(m14n
－38)8.解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a23＋12－16b12＋13－56＝4ab0＝4a.(2)原式＝(m14)8(n3-8)8＝m2n－3＝m2n3.10．已知4a4＋4b4＝－a－b，求4a＋b
4＋3a＋b3的值．解：因为4a4＋4b4＝－a－B.所以4a4＝－a，4b4＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.层级二应试能力达标1．计算2n＋12·122n＋1
4n·8－2(n∈N*)的结果为()A.164B．22n＋5C．2n2－2n＋6D.122n－7解析：选D原式＝22n＋2·2－2n－122n·23－2＝2122n－6＝27－2n＝122n－7.2.1
120－(1－0.5－2)÷27823的值为()A．－13B.13C.43D.73解析：选D原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73.故选D.3．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是()
A．a23B．a55C．a76D．.a32第117页共220页解析：选Ca2a·3a2＝a2a·a23＝2aa53＝212aa53＝a2·a－56＝a2－56＝a76.4．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为()A.19B.43C．1
D.39解析：选B∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝89＝43.5．如果a＝3，b＝384，那么a[()]ba17n－3＝________.解析：a[()]ba
17n－3＝3384[()]317n－3＝3[(128)17]n－3＝3×2n－3.答案：3×2n－36．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝_______
_.解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案：142157．化简求值：(1)7920.5＋0.1－2＋10272－23－3π0＋3748；(
2)823－(0.5)－3＋13－6×81163-4；(3)383－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝25912＋10.12＋64272-3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2
)823－(0.5)－3＋13－6×81163-4＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×3243-4＝22－23＋33×32－3＝4－8＋27×827＝4.(3)原式＝(－1)－23×383－23＋
1500－12－105－2＋1第118页共220页＝278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a＝3，求11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a的值．解：11
+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a＝2(1+)(1-)aa1144＋21+a12＋41＋a＝21-a12＋21+a12＋41＋a＝4(1-)(1+)aa1122＋41＋a＝41－a＋41＋a＝81－a2＝－1.2．1.2
指数函数及其性质第一课时指数函数及其性质[新知初探]1．指数函数的定义函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.[点睛]指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax
的系数是1.2．指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1第119页共220页图象a＞10＜a＜1性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数[点睛]底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图
象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数．()(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．()(3)指数函数的图象一
定在x轴的上方．()答案：(1)×(2)×(3)√2．函数y＝(3－1)x在R上是()A．增函数B．奇函数C．偶函数D．.减函数答案：D3．函数y＝2－x的图象是()答案：B4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3∞)[例1](1)下列函数：指数函数的概念第120页
共220页①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a>0且a≠1[解析](1)①中，3x的
系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指
数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知a－22＝1，a>0，且a≠1，所以解得a＝3.[答案](1)B(2)C判断一个函数是指数函数的方法(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．(2)看是否具备
指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．[活学活用]1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得a2－3a＋
3＝1，a＞0，且a≠1，解得a＝1或a＝2，a＞0，且a≠1，∴a＝2.答案：2[例2]求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－4；(2)y＝23－|x|；(3)y＝1－12x.[解](1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R
}．∵1x－4≠0，∴21x－4≠1，∴y＝21x－4的值域为{y|y＞0，且y≠1}．指数型函数的定义域和值域第121页共220页(2)定义域为R.∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥3
20＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．(3)由题意知1－12x≥0，∴12x≤1＝120，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0∴12x≤1.又∵
12x＞0，∴0＜12x≤1.∴0≤1－12x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(
x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝fax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[
活学活用]2．求下列函数的定义域、值域：(1)y＝35x－1；(2)y＝12-2-2-3xx.解：(1)由5x－1≥0，得x≥15，所以所求函数的定义域为xx≥15.由5x－1≥0，得y≥1，所以
所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴12x2－2x－3≤12－4＝16.又∵12-2-2-3xx＞0，∴函数y＝12-2-2-3xx的值域为(0,16].题点一：指数型函数过定点问
题1．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此
时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4)题点二：指数型函数图象中数据判断2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()指数型函数图象第122页共220页A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜
a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0解析：选D从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.题点三：作指数型函
数的图象3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.解：如图．(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图
象关于x轴对称．指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，
单调性决定函数图象的走势．层级一学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝12x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝122x－1.A．0个B．1个C．3个
D．4个第123页共220页解析：选B由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝2x－1的定义域是()A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D.(0，＋∞)解析：选C由2x－1≥0，得2x≥2
0，∴x≥0.3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点()A．(0,1)B．(0，－1)C．(－1,0)D.(1,0)解析：选C当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．4．函数f(x)＝ax与
g(x)＝－x＋a的图象大致是()解析：选A当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则()A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1,0＜b＜1解析：选C由图象
知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1.6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______.解析：由指数函数的定义得a2－2a＋2＝1，a＋1＞0，a＋1≠1，解得a＝1.答案：17．已知函数f(x)＝
ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．解析：由已知得a－1＋b＝5，a0＋b＝4，解得a＝12，b＝3，所以f(x)＝12x＋3，所以f(－2)＝
12－2＋3＝4＋3＝7.第124页共220页答案：78．若函数f(x)＝2x，x＜0，－2－x，x＞0，则函数f(x)的值域是________．解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜
0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－1.(2)y＝13x222－2x2－2.解：(1)要使y＝21x－1有意义，需x≠0，则21x＞
0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y＝13x222－的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜132x2－2≤
9，所以函数y＝13x222－的值域为(0,9]．10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值．(2)求函数y＝f(x)(x≥0)
的值域．解：(1)函数图象经过点2，12，所以a2－1＝12，则a＝12.(2)由(1)知函数为f(x)＝12x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜12x－1≤12－1＝2
，所以函数的值域为(0,2]．层级二应试能力达标1．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)解析：选C要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－
4x＜16，即函数y＝16－4x的值域为[0,4)．2．函数y＝2-xx1－1的定义域、值域分别是()A．R，(0，＋∞)B．{x|x≠0}，{y|y＞－1}C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1}D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0}第1
25页共220页解析：选C要使y＝2-xx1－1有意义，只需x－1x有意义，即x≠0.若令u＝x－1x＝1－1x，则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2-xx1－1＞0－1＝－1，∴函数y＝2-xx1－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1
}．3．函数f(x)＝πx与g(x)＝1πx的图象关于()A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．.直线y＝－x对称解析：选C设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝1πx
的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝1πx的图象关于y轴对称，选C.4．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()解析：选C
由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.5．已知函数f(x)是指数函数，且f－32＝525，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝ax(a＞0
，且a≠1)，由f－32＝525得，a-32＝512－2＝5-32，∴a＝5，∴f(x)＝5x.答案：5x6．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a
与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.答案：[1，＋∞)∪{0}7．已知函数f(x)＝13|x|－1.(1)作出f(x)的简图；(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．第126页共220页解：(1)
f(x)＝13x－1，x≥0，3x－1，x＜0，如图所示．(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－13＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝
3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴13≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.第二课时指数函数及其性质的应用(习题课)[例1]
比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.50.3和0.81.2.[解](1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)∵函数y＝
0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.比较指数式大小的三种类型及处理方法[活学活用]利用指数函数的单调性
比较大小第127页共220页1．比较下列各题中两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)1.70.3,0.93.1.解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即
0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1.[例2]求解下列不等式：(1)已知3x≥13－0.5，求实数x的取值范围．(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠
1)，求x的取值范围．[解](1)因为13－0.5＝30.5，所以由3x≥13－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7
，解得x＞－76.②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－76.综上，当0＜a＜1时，x＞－76；当a＞1时，x＜－76.指数型不等式的解法(1)指数型
不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝
a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝1ax(a＞0，且a≠1)等．[活学活用]2．解不等式：12x22－≤2.解：∵12x22－＝(2－1)x22－＝2x22－，∴原不等式等价于2x22－≤21.∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤1，∴x2≥1，即x≥
1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}.[例3]判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域．解简单的指数不等式指数型函数的单调性第128页共220页[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y＝
13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝13xx22－在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝13u，u∈[－1，
＋∞)，∴0＜13u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．[一题多变]1．[变条件]本例中“x∈R”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．解：由本例解析知，又x∈[－1,2]，∴f
(x)＝13x2－2x(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1
)＝13－1＝3，f(－1)＝133＝127.∴函数f(x)的值域为127，3.2．[变设问]在本例条件下，解不等式f(x)＜f(1)．解：∵f(x)＜f(1)，即13x2－2x＜13－1，∴x2－2x＞－1，∴(x－1)2＞0，∴x≠1
，∴不等式的解集为{x|x≠1}．函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)
的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．[例4]某林区2016年木材蓄积量为20
0万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y指数函数的实际应用第129页共220页万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄
积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；„经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(
1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[
活学活用]3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水
面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．答案：19层级一学业水平达标1．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83
C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5解析：选D∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.1
2，＋∞B.0，12C.－∞，12D.－12，12第130页共220页解析：选B由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜12，即实数a的取值范围是0，12.3．若122a＋1＜123－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.12
，＋∞C．(－∞，1)D.－∞，12解析：选B∵函数y＝12x在R上为减函数，∴2a＋1＞3－2a，∴a＞12.4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则()A．f(－2)＞f(－1)
B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D.f(－2)＞f(2)解析：选Af(2)＝a－2＝4，a＝12，f(x)＝12－|x|＝2|x|，则f(－2)＞f(－1)．5．函数y＝121－x的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D.(0,1
)解析：选A定义域为R.设u＝1－x，y＝12u，∵u＝1－x在R上为减函数，y＝12u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝121－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是___
_____．解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.答案：b＜a＜c7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，∴
t＝1或t＝－2.∵t＞0，∴t＝－2舍去．∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.答案：0第131页共220页8．函数y＝3xx22－x的值域为________．解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3
－1＝13，所以函数y＝3xx22－的值域是13，＋∞.答案：13，＋∞9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，
所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝12x，因此g(2x－1)＜g(3x)，即122x－1＜123x，所以2x－1＞3x，解得x＜－1.10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值
为14，求a的值．解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－
1＝14，解得a＝13.综上所述，a＝3或13.层级二应试能力达标1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是()A．a＞0B．a＞1C．a＜1D．0＜a＜1解析：选D∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，又f(x)＝a－x＝
1ax，∴1a－2＞1a－3，∴1a＞1，∴0＜a＜1.2．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上()A．是增函数B．是减函数C．当x＞2时
是增函数，当x＜2时是减函数D．.当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数第132页共220页解析：选A令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值
的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是()A．6B．1C．3D.32解析：选C函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在
[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.4．函数f(x)＝－x＋3a，x＜0，ax，x≥0(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B.13，1C.0，
13D.0，23解析：选B由单调性定义，f(x)为减函数应满足：0＜a＜1，3a≥a0，即13≤a＜1，故选B.5．函数f(x)＝12x21－的单调递增区间为________．解析：由于底数12∈(0,1)，所以函数f(x
)＝12x21－的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝12x21－的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函
数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数．所以函数f(x)＝12x21－的单调递增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________
．解析：∵a2＋a＋2＝a＋122＋74>1，∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．∴x>1－x.即x>12.答案：12，＋∞7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：第133页共220页(1)写出该城
市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)解：(1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y＝100
×(1＋1.2%)3；„x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．8．设函数f(x)＝12－12x＋1，(1)证明函数f(x)是奇函数；(2)证明函数f(x
)在(－∞，＋∞)内是增函数；(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝12－112x＋1＝12－2x2x＋1＝1－2x22x＋1＝－12＋12x＋1＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2
是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝12－12x1＋1－12＋12x2＋1＝2x1－2x22x1＋12x2＋1.因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，所以f
(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝16，第134页共
220页f(x)max＝f(2)＝310.所以函数f(x)在[1,2]上的值域为16，310.对数函数2．2.1对数与对数运算第一课时对数预习课本P62～63，思考并完成以下问题(1)对数的定义是什么？底数
和真数又分别是什么？(2)什么是常用对数和自然对数？(3)如何进行对数式和指数式的互化？[新知初探]1．对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N
叫做真数．[点睛]logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.3．对
数与指数的关系若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；第135页共220页(3)零和负数没有对数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logaN
是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()答案：(1)×(2)×(3)√2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()A．log2M＝aB．logaM＝2C．loga2＝MD．
.log2a＝M答案：B3．log21＋log22＝()A．3B．2C．1D．.0答案：C4．已知log32x－15＝0，则x＝________.答案：3[例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19；(2)
14－2＝16；(3)log1327＝－3;(4)logx64＝－6.[解](1)∵3－2＝19，∴log319＝－2.(2)∵14－2＝16，∴log4116＝－2.(3)∵log1327＝－3，∴13－3＝
27.(4)∵logx64＝－6，∴(x)－6＝64.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对指数式与对数式的互化第136页共220页数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指
数，底数不变，写出指数式．[活学活用]1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1;(4)log1232＝－5；(5)lg0.001＝－3.解：(1)log21128＝－7.(2)log327＝a.(
3)lg0.1＝－1.(4)12－5＝32.(5)10－3＝0.001.[例2]求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x;(4)－lne2＝x.[解](1)x＝(64)-23＝(43)-23＝4－2＝116.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)16＝816＝(23)16＝221＝2.(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.所以x＝－2.求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值；(2)把对数式转化为指数
式；(3)解有关方程，求得结果．[活学活用]2．求下列各式中的x值：(1)logx27＝32；(2)log2x＝－23；对数的计算第137页共220页(3)x＝log2719；(4)x＝log1216.解：(1)由logx27＝32，可得x32＝2
7，∴x＝2723＝()3323＝32＝9.(2)由log2x＝－23，可得x＝2-23.∴x＝1223＝314＝322.(3)由x＝log2719，可得27x＝19，∴33x＝3－2，∴x＝－23.(4)由x＝
log1216，可得12x＝16.∴2－x＝24，∴x＝－4.[例3]求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log3(log4(log5x))＝0.[解](1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x
＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.[一题
多变]1．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.2．[变设问]在本例(3)条
件下，计算625log3x的值．对数的性质第138页共220页解：因为x＝625，则625log3x＝3.3．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3x345log
loglog＝1”，又如何求解x呢？解：由3x345logloglog＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.1．利用对数性质求解的2类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(
logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以
a为底的指数转化为一个实数．层级一学业水平达标1．将13－2＝9写成对数式，正确的是()A．log913＝－2B．log139＝－2C．log13(－2)＝9D．log9(－2)＝13解析：选B根据对数的定义，得log139＝－2，故选B.2．方程2log3x＝14的解
是()A．x＝19B．x＝33C．x＝3D．x＝9解析：选A∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，第139页共220页∴x＝3－2＝19.3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．a＞1
2且a≠1B．0＜a＜12C．a＞0且a≠1D．a＜12解析：选B由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足a＞0，a≠1，－2a＋1＞0，解得0＜a＜12.4．下列指数式与对数式互化不正
确的一组是()A．e0＝1与ln1＝0B．8-13－13＝12与log812＝－13C．log39＝2与912＝3D．.log77＝1与71＝7解析：选C由指对互化的关系：ax＝N⇔x＝logaN可知A、B、D
都正确；C中log39＝2⇔9＝32.5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是()A．1B．0C．xD.y解析：选B由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，
∴logx(yx)＝log2(12)＝0.6．lg10000＝________；lg0.001＝________.解析：由104＝10000知lg10000＝4,10－3＝0.001得lg0.001＝－3.答案：4－37．方程log2(1－2x)＝1的解x＝______
__.解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22，∴1－2x＝2，∴x＝－12.经检验满足1－2x>0.答案：－128．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x-12＝________.第140页共220页解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化
为指数式则有x＝23＝8，128∴x－12＝8－12＝1218＝18＝122＝24.答案：249．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125；(2)4－2＝116；(3)log128＝－3；(4)log31
27＝－3.解：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.(2)∵4－2＝116，∴log4116＝－2.(3)∵log128＝－3，∴12－3＝8.(4)∵log3127＝－3，∴3－3＝127.10．若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．解：∵log12x＝m，∴
12m＝x，x2＝122m.∵log14y＝m＋2，∴14m＋2＝y，y＝122m＋4.∴x2y＝122m122m＋4＝122m－(2m＋4)＝12－4＝16.层级二应试能力达标1．若log
a5b＝c，则下列关系式中正确的是()A．b＝a5cB．b5＝acC．b＝5acD.b＝c5a解析：选A由loga5b＝c，得ac＝5b，∴b＝(ac)5＝a5c.第141页共220页2．方程lg(x2－1)＝lg(2x
＋2)的根为()A．－3B．3C．－1或3D．.1或－3解析：选B由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.3.12.
051log4－＋的值为()A．6B.72C．8D.37解析：选C12.051log4－＋＝12－1·12log412＝2×4＝8.4．若a>0，a23＝49，则log23a等于()A．2B．3C．4D．5解析：选B∵a23＝49，a>0，
∴a＝4932＝233，设log23a＝x，∴23x＝a.∴x＝3.5．使方程(lgx)2－lgx＝0的x的值为________．解析：由lgx(lgx－1)＝0得lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10.答案：1或10
6．计算23＋log23＋32－log39＝________.解析：23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋323log39＝8×3＋99＝25.答案：257．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(
log2y)＝1.求x·y34的值．解：∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，第142页共220页∴y＝24＝16.因此x·y34＝64×16
34＝8×8＝64.8．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．解：(1)∵log189＝a，log1854＝b，∴18a＝9,18b＝54，∴182a－b＝182a18b
＝9254＝32.(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝3.第二课时对数的运算预习课本P64～67，思考并完成以下问题(1)对数具有哪三条运算性质？(2)换底公式是如何表述的？[新知初探]1．对数的运
算性质若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaMN＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．[点睛]对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，
log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．换底公式若c>0且c≠1，则logab＝logcblogca(a>0，且a≠1，b>0)．[小试身手]第143页共220页1．判断(正确的打“√”，错误
的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝log－2blog－2a.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．计算log84＋lo
g82等于()A．log86B．8C．6D．.1答案：D3．计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．.2答案：C4．log48＝________.答案：32[例1]求下列各式的值：(1)log2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg14－2lg7
3＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解](1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg510
0＝lg10015＝15lg100＝15×2＝25.(3)lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.对数运算性质的应用第
144页共220页(4)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，
对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[活学活用]
1．求下列各式的值：(1)lg0.00001；(2)lne.(3)2log32－log3329＋log38－5log53；(4)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27.解：(1)lg0.000
01＝lg10－5＝－5lg10＝－5.(2)lne＝12lne＝12.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(4
)原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg34－3lg3＝115.、[例2]计算(1)log29·log34；(2)log52×log79lo
g513×log734.[解](1)由换底公式可得，log29·log34＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3lg2·2lg2lg3＝4.对数换底公式的应用第145页共220页(2)原式＝log52log513×log79log734＝log132×log349＝lg2lg13×13
lg9lg4＝12lg2－lg3×2lg323lg2＝－32.换底公式的应用技巧(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行
互化，统一成一种形式．[活学活用]2．计算(log43＋log83)×lg2lg3.解：原式＝lg3lg4＋lg3lg8×lg2lg3＝lg32lg2×lg2lg3＋lg33lg2×lg2lg3＝12＋1
3＝56.[例3](1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2000(e为自然对数的底)．(ln3≈1.099)当燃料质量
M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)[解](1)因为v＝ln1＋Mm2000＝2000·l
n1＋Mm，所以v＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.(2)因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝log1845log1836＝log18log18对数的综合应用第146页共2
20页＝log185＋log189log182＋log1818＝a＋b1＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－log189＝a＋b2－a.[一题多变]1．[变设问]若本例(2)条件不变，如何求l
og1845(用a，b表示)?解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋B.2．[变条件]若将本例(2)条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,
9b＝5”，则又如何求解呢？解：因为9b＝5，所以log95＝B.所以log3645＝log945log936＝log95×9log94×9＝log95＋log99log94＋log99＝b＋1a＋1.解对数综合应用问题的3种方法(1)统
一化：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．层级一学业水平达标1.log29log23＝()A.12B．2C.32D.92解析
：选B原式＝log29log23＝log232log23＝2.2．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．.4解析：选C原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.3．若a
＞0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaN第147页共220页B．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．.若M＝N，则logaM2＝logaN2解析：选B在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此
logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN
2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2B．3a－(1＋a
)2C．5a－2D．－a2＋3a－1解析：选A∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.5．计算log225·log322·log5
9的结果为()A．3B．4C．5D．.6解析：选D原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.6．已知a2＝1681(a＞0)，则log23a＝________.解析：由a2＝1681(a＞0)得a＝49，所以log2349＝lo
g23232＝2.答案：27．lg5＋lg20的值是________．解析：lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.答案：18．若logab·log3a＝4，则b的值为________．解析：logab·log
3a＝lgblga·lgalg3＝lgblg3＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案：819．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：第148页共220页(1)lg(xyz)；(2
)lgxy2z；(3)lgxy3z；(4)lgxy2z.解：(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgxy2z＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)lgxy3z＝lg(xy3)－lgz＝lgx＋3lgy－12lgz.(4)lgxy2z＝lgx－l
g(y2z)＝12lgx－2lgy－lgz.10．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(3＋5＋3－5)；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解：(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝1
8，∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.(2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg10＝12.(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2
－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.层级二应试能力达标1．若log513·log36·log6x＝2，则x等于(
)A．9B.19C．25D.125第149页共220页解析：选D由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝125.2．若ab＞0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgab＝lga－lgb；③12l
gab2＝lgab；④lg(ab)＝1logab10.其中一定成立的等式的序号是()A．①②③④B．①②C．③④D．③解析：选D∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴ab＞0
，12lgab2＝12×2lgab＝lgab，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.3．若lgx－lgy＝t，则lgx23－lgy23＝()A．3tB.32tC．tD.t2解析
：选Algx23－lgy23＝3lgx2－3lgy2＝3lgxy＝3(lgx－lgy)＝3t.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y＝()A.13B．3C．－13D．－3解析：选A∵x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴1x＝
1log2.51000＝log10002.5，同理1y＝log10000.25，∴1x－1y＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝lg10lg1000＝13.5.lg3＋2lg2－1lg1.2＝________
.第150页共220页解析：lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg3＋lg22－1lg1.2＝lg12－1lg1.2＝lg1210lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.答案：16．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则xy＝__
______.解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以x＞0，y＞0，x－2y＞0，xy＝x－2y2.由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞
0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则xy＝4.答案：47．计算下列各式的值：(1)log535＋2log122－log5150－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解：(1)原式＝log535＋log55
0－log514＋2log12212＝log535×5014＋log122＝log553－1＝2.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝log6632＋log62·l
og62＋log632÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.8．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋
1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，第151页共220页∴t1＋t2＝2，t1·t2＝12.又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12.∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·lgblga＋lgalgb＝(lga＋lgb)·lgb2＋lga2lga·lgb＝(lga＋lgb)·lga＋lgb2－2lg
a·lgblga·lgb＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.2．2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质预习课本P70～73，思考并完成以下问题(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点
？(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？(3)反函数的概念是什么？[新知初探]1．对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．第152页共220页[点睛]形如y＝2
log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．2．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象a的范围0＜a＜1a＞1性质定义域(0，＋∞)值域R定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0
，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[点睛]底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝ax和对数函
数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)函数y＝l
og2x与y＝x2互为反函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．下列函数是对数函数的是()A．y＝lnxB．y＝ln(x＋1)C．y＝logxeD．y＝logxx答案：A3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是()A
．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D.(－∞，1]答案：B4．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)答案：增第153页共220页[例1]指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝
log6x；(3)y＝logx5;(4)log2x＋1.[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．判断一个函
数是对数函数的方法[活学活用]1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.答案：1[例2]求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x);(2)y＝
log(1－x)5；(3)y＝ln4－xx－3；(4)y＝log0.54x－3.[解](1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需1－x>0，1－x≠1，解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．对数函数的概念求对数型函数的定义域第154页共220页(3)要使函数式有意义，需4－x>0，x－3≠0，解得x<4，且x≠3，所以函数
y＝ln4－xx－3的定义域是{x|x<4，且x≠3}．(4)要使函数式有意义，需4x－3>0，log0.54x－3≥0，解得34＜x≤1，所以函数y＝log0.54x－3的定义域是x34＜x≤1.求对数型函
数定义域的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.[活学活用]2．求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝logx－2(5－
x)．解：(1)要使函数式有意义，需x＋1＞0，1－x＞0，∴x＞－1，x＜1，∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．(2)要使函数式有意义，需5－x＞0，x－2＞0，x－2≠1，∴x＜5，x＞2，x≠3，∴2＜x＜5，且x≠
3.∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).题点一：对数型函数图象的判断1．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()对数型函数的图象问题第155页共220页解析：选Cy＝a－x＝1ax，∵a＞1，∴0＜1a＜1，则
y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.题点二：作对数型函数的图象2．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．解：因为f(－
5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝log5xx＞0，log5－xx＜0.所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．题点三：对数型函数图象的数据分析3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1解析：选B作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)
的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目
常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．层级一学业水平达标1．函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，
＋∞)第156页共220页C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C由题意知1＋x>0，1－x≠0，解得x>－1且x≠1.2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4xB．y＝log1
4xC．y＝log12xD．.y＝log2x解析：选D由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[
1，＋∞)解析：选A∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2(3x＋1)＞0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()解析：选C由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为
增函数)5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB.12xC．log12xD．2x－2解析：选A函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log
ax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知，a2－4a－5＝0，a＞0，
a≠1，解得a＝5.答案：57．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.第157页共220页答案：(4，－1)8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x
∈[1,3]时，f(x)的值域是________．解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.答案：[0,1]9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．(1)求a的值；(2
)求函数的定义域．解：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x
＞－2，所以函数的定义域为{x|x＞－2}．10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．解：(1)由x－2＞0，得x＞2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域
是(2，＋∞)，值域是R.(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.又因为x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝32，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是
32，＋∞.层级二应试能力达标1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．[2，＋∞)D．[3，＋∞)解析：选C当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.2．函数f(x)＝x－4lgx－1的定义域是()A
．[4，＋∞)B．(10，＋∞)C．(4,10)∪(10，＋∞)D．[4,10)∪(10，＋∞)解析：选D由x－4≥0，lgx－1≠0，x＞0，解得x≥4，x≠10，x＞0，∴x≥4且x≠10，第158页共220页∴函数f(x)的定义域为[
4,10)∪(10，＋∞)．故选D.3．函数f(x)＝a－lgx的定义域为(0,10]，则实数a的值为()A．0B．10C．1D.110解析：选C由已知，得a－lgx≥0的解集为(0,10]，由a－lgx≥0，得lgx≤a，又当0＜x≤10时，lgx≤1，所以a＝1，故
选C.4．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为()解析：选C函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)
＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则3－a＞1，a＞1，即1＜a＜2，若f(x)，g
(x)均为减函数，则0＜3－a＜1，0＜a＜1无解．答案：(1,2)6．已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为12，m，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|lo
g12x|的图象(如图)可知f12＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]7．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．第159页共220页解：(1)作出函数y＝log3x的
图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．∴所求a的取值范围为(0,2)．8．求y＝(log12x)2－12log12x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x≤4，所以log122≥log1
2x≥log124，即－1≥log12x≥－2.设t＝log12x，则－2≤t≤－1，所以y＝t2－12t＋5，其图象的对称轴为直线t＝14，所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝132.第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)[例1]比较下列各组数中
两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在
(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函
数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.比较对数值的大小第160页共220页比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3
)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．[活学活用]1．比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8；(2)log0.56，log0.54；(3)log
132与log152;(4)log23与log54.解：(1)因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg6＜lg8.(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log0.54.(3)由
于log132＝1log213，log152＝1log215.又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log213＞log215，∴1log213＜1log215.∴log132＜log152.(4)取中间值1，∵log23＞log
22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.[例2](1)已知loga12＞1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由loga12＞1得loga12＞logaa.①当a＞1时，有a＜12，此时无解．②当0＜a＜1时，有
12＜a，从而12＜a＜1.∴a的取值范围是12，1.(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)求解对数不等式第161页共220页得2x＞0，x－1＞0，2x＞x－1，解得x＞1.∴x的取值范围是
(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的
单调性求解．[活学活用]2．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．解：由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.当a＞1时，y＝logax是增函数，∴3a－1＞1，3a－1＞0，解得a＞23，∴a＞1；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，∴3a－1＜1，3a－
1＞0，解得13＜a＜23.∴13＜a＜23.综上所述，a的取值范围是13，23∪(1，＋∞).[例3]求下列函数的值域．(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log12(3＋2x－x2)．[解](1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2，所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u＞0，所以0＜u≤4.有关对数型函数的值域与最值问题第162页共220页又y＝log12u在(0，＋∞)上为减函数，所以log12u≥log12
4＝－2，所以y＝log12(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参
数时，有时需讨论参数的取值．[活学活用]3．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．解：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2
－3.∵f(x)的定义域为[1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足1≤x≤9，1≤x2≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.∴当x＝3时，y取得最大值，为13.[例4]已知函数f(x)＝loga(1＋x)
，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．[解]∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(
x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga
(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[一题多变]1．[变条件]若f(x)变为loga1＋x1－x(a＞1)：求f(x)的定义域．对数函数性质的综合应
用第163页共220页解：因为f(x)＝loga1＋x1－x，需有1＋x1－x＞0，即1＋x＞0，1－x＞0，或1＋x＜0，1－x＜0，所以－1＜x＜1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f(3)＝2，
求使h(x)＜0成立的x的集合．解：∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，∴1＋x＜1－x，1＋x＞0，1－x＞0，解得
－1＜x＜0.故使h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．层级一学业水平达标1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7]B．(2,7]C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选B∵lg(2x－4)≤1
，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log12m＜log12n＜0，则()A．n＜m＜1B．m＜n＜1C．1＜m＜nD．1＜n＜m解析：选D因为0＜12＜1
，log12m＜log12n＜0，所以m＞n＞1，故选D.3．函数f(x)＝|log12x|的单调递增区间是()A.0，12B．(0,1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选Df(x)的图象如图所
示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．第164页共220页4．已知实数a＝log45，b＝120，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为()A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析：选D由题知，a＝log45＞1，b＝120＝1，c
＝log30.4＜0，故c＜b＜a.5．函数f(x)＝lg1x2＋1＋x是()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数解析：选Af(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg
1x2＋1－x＋lg1x2＋1＋x＝lg1x2＋1－x2＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.6．比较大小：(1)log22______log23；(2)log3π______logπ3.解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞
3，所以log22＞log23.(2)因为函数y＝log3x增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.答案：(1)＞(2)＞7．不等式log13(5＋x)<log13(1－x)的解集为________．解析：由
5＋x>0，1－x>0，5＋x>1－x，得－2<x<1.答案：{x|－2<x<1}8．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.解析：∵a＞1，∴f(x)＝log
ax在[a,2a]上递增，∴loga(2a)－logaa＝12，第165页共220页即loga2＝12，∴a12＝2，a＝4.答案：49．已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．解：设f(x)＝lo
gax(a＞0且a≠1)，因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)⇒log2(2x－3)＞log2x⇒2x－3＞0，x＞0，2x－3＞x⇒x＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
10．求函数y＝log12(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y＝log12(1－x2)有意义，则1－x2＞0，∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝log1
2t减小，∴x∈(－1,0]时，y＝log12(1－x2)是减函数；同理当x∈[0,1)时，y＝log12(1－x2)是增函数．故函数y＝log12(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝lo
g12(1－02)＝0.层级二应试能力达标1．若a＞0，且log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，则实数a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解
析：选C∵log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，∴a2＜a3，即a2(1－a)＜0，∴a＞1，故选C.2．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解析：选D由于b＝
log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.3．关于函数f(x)＝log12(1－2x)的单调性的叙述正确的是()第166页共220页A．f(x)在12，＋∞内是增函数B．f(x)在12，＋∞内是减函数C．f(
x)在－∞，12内是增函数D．.f(x)在－∞，12内是减函数解析：选C由于底数12∈(0,1)，所以函数f(x)＝log12(1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．由1－2x＞0，得x＜12，所以f(x)＝log12(1－2x)的定义域为(－∞，12)．因为y＝1－2x
在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f(x)在－∞，12内是增函数，故选C.4．若函数f(x)＝loga(2x＋1)(a＞0，且a≠1)在区间－12，0内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调减区间是()A.－∞，－12B.
－12，＋∞C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：选B当x∈－12，0时，2x＋1∈(0,1)，所以0＜a＜1.又因为f(x)的定义域为－12，＋∞，y＝2x＋1在－12，＋∞上为增函数，所以f(x)的单调减区间为
－12，＋∞.5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.答
案：(2，＋∞)6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f13＝0，则不等式f(log18x)＞0的解集为________________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]
上为减函数，做出函数图象如图所示．第167页共220页由f13＝0，得f－13＝0.∴f(log18x)＞0⇒log18x＜－13或log18x＞13⇒x＞2或0＜x＜12，∴x∈0，12∪(2，＋∞)．答案：0，
12∪(2，＋∞)7．求函数f(x)＝log2(4x)·log14x2，x∈12，4的值域．解：f(x)＝log2(4x)·log14x2＝(log2x＋2)·－12log2x－1＝－12[]log2x2＋log2x－2.设
log2x＝t.∵x∈12，4，∴t∈[－1,2]，则有y＝－12(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－12，∴它在－1，－12上是增函数，在－12，2上是减函数，∴当t＝－12时，有最
大值，且ymax＝98.当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.∴f(x)的值域为－2，98.8．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．解：(
1)要使函数有意义，则有1－x＞0，x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]
，因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.第168页共220页因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－14＝22.幂函数
预习课本P77～78，思考并完成以下问题(1)幂函数是如何定义的？第169页共220页(2)幂函数的解析式具有什么特点？(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？[新知初探]1．幂函数的概念函数y＝xα叫做幂函数，其
中x是自变量，α是常数．[点睛]幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝1xy＝x12图象定义域RRR{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y
≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝1xy＝x12单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋
∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[点睛]幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函
数y＝x0(x≠0)是幂函数．()(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)．()第170页共220页(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．()答案：(1)√(2)×(3)×2．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝2xD．y＝x－1
答案：C3．已知f(x)＝(m－1)x22mm＋是幂函数，则m＝()A．2B．1C．3D．0答案：A4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点2，22，则f(4)＝________.答案：12[例1]已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．[解
]∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定
义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}．判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自
变量；(3)系数为1.[活学活用]1．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝22xD．y＝x－1解析：选C显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A、B、D中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.幂
函数的概念比较幂值的大小第171页共220页[例2]比较下列各组数中两个数的大小．(1)250.5与130.5；(2)－23－1与－35－1；(3)2334与3423.[解](1)
∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴250.5>130.5.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴－23－1>－35－1.(3)∵函数y1＝23x为R上的减
函数，又34>23，∴2323>2334.又∵函数y2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴3423>2323，∴3423>2334.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底
数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．[活学活用]2．比较下列各组值的大小：(1)
(－0.31)65，0.3565.(2)1.212，1.412，1.42；解：(1)∵y＝x65为R上的偶函数，第172页共220页∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y＝x65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.
35，∴0.3165＜0.3565，即(－0.31)65＜0.3565.(2)∵y＝x12在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴1.212<1.412.又∵y＝1.4x为增函数，且12<2，∴1.412<1.42，∴1.212<1.412<1.42.[例3]已知幂
函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．[解]因为f(x)＝xα的图象过点P2，14，所以f(2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象
如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．解：由本例知，f(x)＝x－2，则f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，∴f
(x)为偶函数．2．[变条件]本例中点P变为8，12，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性，解：∵f(x)的图象过点P8，12，∴8α＝12，即23α＝2－1
，∴3α＝－1，即α＝－13，幂函数的图象与性质第173页共220页∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－13(x≠0)．(1)∵f(－x)＝(－x)－13＝13－x＝－13x＝－f(x)，又f(x)的定义域为(
－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∴f(x)是奇函数．(2)∵－13<0，∴f(x)＝x－13在(0，＋∞)上是减函数．由(1)，知f(x)是奇函数，∴f(x)＝x－13在(－∞，0)上也是减函数．∴f(x)＝x－13在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．幂函数图
象的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．层级一学业水平达标1．在函数①y＝1x，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x-
12中，是幂函数的是()A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥解析：选C幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常
数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点12，2，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．.2解析：选A∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点12，2，∴k＝1，f12
＝12α＝2，即α＝－12，∴k＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()第174页共220页A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D.y＝x13解析：选A所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x
2是偶函数，y＝x－1和y＝x13不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y＝x12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()解析：选By＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数
图象是上升的，函数y＝x12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.5.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()A．n<m<0B
．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0解析：选A由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.6．若y＝ax2a-12是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y＝ax2a-12是幂函数，得a＝1，所以y＝x12，所以y≥0，故该
函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：x112f(x)122则f(x)的单调递增区间是________．解析：因为f12＝22，所以12α＝22，即α＝12，所以f(
x)＝x12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)第175页共220页8．设α∈－1，12，1，3，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xmm21＋－，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0，
∴m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，∴m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.10．比较下列各组数的大小．(1)3-72和3.
2-72；(2)－2323和－π623；(3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y＝x-72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3-72＞3.2-72.(2)－2323＝2323，－π623＝π623，函数y＝x23在(0，
＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以－2323＞－π623.(3)4.125＞125＝1,0＜3.8－43＜1－43＝1，所以4.125＞3.8－43.层级二应试能力达标1．已知函数f(x)＝(a2－a－
1)x-1a2为幂函数，则实数a的值为()第176页共220页A．－1或2B．－2或1C．－1D．1解析：选C因为f(x)＝(a2－a－1)x-1a2为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.2．
下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数解析：
选C当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α＞0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞
，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.3．设a＝1234，b＝1534，c＝1212，则()A．a<b<cB．c<a<bC．b<c<aD．b<a<c解析：选D构造幂函数y＝x34
(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a<c，故c>a>B.4．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为()A．－2，－1
2，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．.2，12，－2，－12解析：选B要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝
xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，第177页共220页所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，12，－12，－2.5．若(a＋1)12＜(3－2a)12，则a
的取值范围是________．解析：函数y＝x12在[0，＋∞)上是增函数，所以a＋1＞0，3－2a＞0，a＋1＜3－2a，解得－1＜a＜23.答案：－1，236．已知函数f(x)＝x-a13在(－∞，0)上是增函数，在(0
，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.解析：取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x-13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x-23满足题意．答案：37．
已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．解：(1)依题意，得(m－1)2＝1
，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.(2)由(1)可知f(x)＝x2.当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，∴A＝[1,4]，B＝
[2－k,4－k]．∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴2－k≥1，4－k≤4⇒0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1]．8．已知幂函数f(x)＝x()mm21－＋(m∈N*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；第178页共220页(2)若该函数还
经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m(m＋1)为偶数．∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f(
x)经过点(2，2)，∴2＝2()mm21－＋，即212＝2()mm21－＋.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.由f(2－a)＞f(a－1)得2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a
－1.解得1≤a＜32.∴实数a的取值范围为1，32.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝x－1·ln(2－x)的定义域为()A．(1,2)B．[1,2)C．(1
,2]D．[1,2]解析：选B要使解析式有意义，则x－1≥0，2－x＞0，解得1≤x＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．2．下列函数中定义域与值域相同的是()A．f(x)＝21xB．f(x)＝lgxC．f(x)＝2x－1D．f(x)＝lgx解析：选CA中，定义域为(0，＋∞)，值
域为(1，＋∞)；B中，定义域为(0，＋∞)，值域为R；C中，由2x≥1，得x≥0，所以定义域与值域都是[0，＋∞)；D中，由lgx≥0，得x≥1，所以定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)．选C.3．下列函数中
，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－x第179页共220页C．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|解析：选CA项，y＝1x是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C、D两项中的两个函数都
是偶函数，但y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.4．设a＝log3π，b＝log13π，c＝π－3，则()A．a＞c＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a解析：选A∵a＝log3π＞1，b＝log13π＜0,
0＜c＝π－3＜1，∴a＞c＞b.故选A.5．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是()A．15B．75C．45D．225解析：选C由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴
a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.6．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上()A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a
－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．综上，函数f(x)在定义域上是增函数．7．已知f(x)＝ax，g(x)＝
logax(a＞0且a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是()解析：选C∵a＞0且a≠1，∴f(3)＝a3＞0，又f(3)·g(3)＜0，∴g(3)＝loga3＜0，∴0＜a＜1，∴f(x)＝ax在R上是减函数，g(x)＝logax在(0，＋∞)
上是减函数，故选C.8．已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x＜2，满足对任意的实数x1≠x2都有fx1－fx2x1－x2＜0成立，则实数a的取值范围为()第180页共220页A．(－∞，2)B.
－∞，138C．(－∞，2]D.138，2解析：选B由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有a－2＜0，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138，选B.二、
填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．函数y＝1－12x的定义域是________．解析：由已知1－12x≥0，则12x≤1＝120，所以x≥0.答案：[0，
＋∞)10．若2a＝6，b＝log23，则2a－b＝________，a＋1b＝________.解析：2a－b＝2a2b＝62log23＝63＝2.a＋1b＝log26＋1log23＝log26＋log22l
og23＝log212log23＝log312.答案：2log31211．已知函数f(x)＝log3x，x＞0，2x，x≤0，则ff19的值为________，f(x)>12的解集为________．解析
：因为19＞0，所以f19＝log319＝log33－2＝－2，所以f(－2)＝2－2＝14.f(x)>12等价于x>0，log3x>12或x≤0，2x>12.解得x>3或－1<x≤0.故
f(x)>12的解集为{x|x>3或－1<x≤0}．答案：14{x|x>3或－1<x≤0}12．若偶函数f(x)＝xa＋53的定义域为[3a，a2＋2]，则实数a的值为________．解析：∵f(x)是偶函数，∴a2＋2＝－3a，即a2＋3a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2.
当a＝－1时，f(x)＝x43＝3x4，∴f(－x)＝3－x4＝3x4＝f(x)，此时f(x)是偶函数；当a＝－2时，f(x)＝x，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，此时f(x)是奇函数．故a＝－1.
第181页共220页答案：－113．已知函数f(x)＝log2(x2＋1＋x)＋12x－1＋1，则f(1)＋f(－1)＝________；如果f(loga5)＝4(a>0，a≠1)，那么flog1a5的值是_______
_．解析：f(1)＋f(－1)＝log2(2＋1)＋2＋log2(2－1)－1＝1.f(x)＋f(－x)＝log2(x2＋1＋x)＋12x－1＋1＋log2(x2＋1－x)＋12－x－1＋1＝12x－1＋2x1－2x＋2＝1.∵log1a5＝－loga5，∴f(loga5)＋f
log1a5＝1，∴flog1a5＝－3.答案：1－314．若函数f(x)＝x－12，x>0，－2，x＝0，x＋312，x<0，且b＝f(f(f(0)))，则b＝________；若y＝xa2－4a－b是偶函数，且在(0，＋∞)上
是减函数，则整数a的值是________．解析：由分段函数f(x)可得b＝f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.由于y＝xa2－4a－b在(0，＋∞)上是减函数，则a2－4a－1<0，解得2－5<a<2＋5，由于a为整数，则a＝0,1,2,3,4.检验：只有当a＝1,3
时，函数y＝x－4为偶函数．故a的值为1或3.答案：11或315．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝log22x，y＝x12，y＝22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．解析：由图象可知，点
A(xA,2)在函数y＝log22x的图象上，所以2＝log22xA，xA＝222＝12.点B(xB,2)在函数y＝x12的图象上，所以2＝(xB)12，xB＝4.所以点C(4，yC)在函数y＝
22x的图象上，所以yC＝224＝14.又xD＝xA＝12，yD＝yC＝14，第182页共220页所以点D的坐标为12，14.答案：12，14三、解答题(本小题满分本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16
．(本小题满分14分)计算：(1)12－1－350＋94－0.5＋42－e4；(2)lg500＋lg85－12lg64＋50×(lg2＋lg5)2.解：(1)原式＝2＋1－1＋23
＋e－2＝23＋e.(2)原式＝lg5＋lg102＋lg23－lg5－12lg26＋50×(lg10)2＝lg5＋2＋3lg2－lg5－3lg2＋50＝52.17．(本小题满分15分)已知函数y＝loga(x＋3)－89(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图
象上，求b的值．解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1－89＝0－89＝－89，所以函数y＝loga(x＋3)－89的图象恒过定点A－2，－89，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－89＝3－2＋b，所以b＝－1.18．(本小题满分15分
)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点22，32.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．解：(1)∵函数g(x)是f(x)＝a
x(a＞0且a≠1)的反函数，∴g(x)＝logax(a＞0且a≠1)．∵g(x)的图象过点22，32，∴loga22＝32，∴a32＝22，解得a＝2.∴f(x)＝2x，g(x)＝log2x.(2)
∵f(0.3)＝20.3＞20＝1，g(0.2)＝log20.2＜0，又g(1.5)＝log21.5＜log22＝1，且g(1.5)＝log21.5＞log21＝0，∴0＜g(1.5)＜1，∴f(0.3)＞g(1.5)＞
g(0.2)．第183页共220页19．(本小题满分15分)已知f(x)＝|log3x|.(1)画出函数f(x)的图象；(2)讨论关于x的方程|log3x|＝a(a∈R)的解的个数．解：(1)函数f(x)＝log3x，x≥1，－log3x，0＜x＜1，对应的函数f(x)的图象如
图所示．(2)设函数y＝|log3x|和y＝a.当a＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个．当a＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解．当a＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解．20．(本小题满分15分)已知定义域为R的函数f(
x)＝b－2x2x＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝
1.经检验a＝1，b＝1符合题意．(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2x12x1＋1－1－2x22x2＋1＝1－2x12x2＋1－1－2x22x1＋12x1＋12x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1.∵x1＜
x2，∴2x2－2x1＞0.又∵(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为R上的减函数．(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)．∴f(x)为奇函数
，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)．∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3t－132－13≥－13.∴k＜－13.故k的取值范围为－∞，－13.第184页共220页函数与方程预习课本P86～88
，思考并完成以下问题(1)函数零点的定义是什么？(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？(3)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？第185页共220页[新知初探]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零
点．[点睛]函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[
a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[点睛]定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f
(b)＜0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()答案：(1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝log2x的零点是()A．1B．2C．3D．4答案：A3．下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案：D4．函数f(x)＝x2－5x的零点是
________．答案：0,5求函数的零点第186页共220页[例1](1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.[解](1)令x＋
3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是x＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x
＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，
若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[活学活用]1．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则
函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0解析：选D当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝12，此时无解．综上所述，函数零点为0.[例2]函数f(x)＝lnx－2
x的零点所在的大致区间是A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e，＋∞)[解析]∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，判断函数零点所在的区间第187页共220页∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－23
＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．[答案]B判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内
无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．[活学活用]2．若函数f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1D．3解析：选Af(x)＝x＋ax(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，
当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.[例3](1)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x＞0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)判断函数f(x)
＝lnx＋x2－3的零点的个数．(1)[解析]当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.∴函数的零点个数为2.[答案]B(2)[解][
法一图象法]函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝
0有一个根，判断函数零点的个数第188页共220页即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．[法二判定定理法]由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2
)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．判断函数存在零点的3种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，
可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的
个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(
a，b)内只有一个零点．[活学活用]3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．答案：04．函数f(x)＝4x－4，x≤1，x2－4x＋3，x＞1的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是_
_______．解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．答案：3层级一学业水平达标1．函数f(x)＝x2－x－1的零点有()第189页共220页A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选CΔ＝(－1
)2－4×1×(－1)＝5＞0∴方程x2－x－1＝0有两个不相等的实根，故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点．2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－12，－1B.12，1C.12，－1D．－12，1解析：选B方程2x2－3x＋1＝
0的两根分别为x1＝1，x2＝12，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是12，1.3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2B．－2C．±2D．3解析：选C因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.4．函数f(x)＝2x－
1x的零点所在的区间是()A．(1，＋∞)B.12，1C.13，12D.14，13解析：选B由f(x)＝2x－1x，得f12＝212－2＜0，f(1)＝2－1＝1＞0，∴f12·f(1)＜0.∴零点所在区间为12，1.5．下列说
法中正确的个数是()①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；④y＝f(x)的零点，即
y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．A．1B．2C．3D．4解析：选B根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数第190页共220页y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点
的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－
5或x＝1或x＝2.答案：37．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴f0＜0，
f1＞0.∴b＜0，1＋b＞0.∴－1＜b＜0.答案：(－1,0)8．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．解析：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有一
个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．答案：19．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝
log3(x＋1)．解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，方程4x＋
5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是
否有解，为什么？解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，第191页共220页而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x
)＝0在区间[－1,0]内有解．层级二应试能力达标1．函数f(x)＝x3－4x的零点为()A．(0,0)，(2,0)B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)C．－2,0,2D．0,2解析：选C令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2
)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.2．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()A．a＞0B．a≤0C．a≥0D．a＜0解析：选B函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[
a，b]内()A．至少有一个实根B．至多有一个实根C．没有实根D．有唯一实根解析：选Df(x)＝－x－x3的图象在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)＜0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．4．方程log3x＋x＝
3的解所在的区间为()A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选C令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log323＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．5．已知函数f(x)是定义
域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2
)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：306．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；第192页共220页④在(－∞，＋∞)内没有实数根
．其中正确的有________．(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．答案：①②
③7．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点．(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.故b
的取值范围为(4，＋∞)．8．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即
4＋12(1－m)＞0，可解得m＜43；由Δ＝0，可解得m＝43；由Δ＜0，可解得m＞43.故当m＜43时，函数有两个零点；当m＝43时，函数有一个零点；当m＞43时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝
1.第193页共220页函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型预习课本P95～101，思考并完成以下问题(1)函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？图象的变化
规律是什么？(2)函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度有什么不同？[新知初探]第194页共220页指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1
)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就
有logax<xn<ax(a>1，n>0)．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立．()答案：(1)×(2)×2．下列函
数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x2D．y＝e－x答案：A3．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________________________．答案
：y＝－14x＋50(0＜x＜200)[例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×10
9y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长
的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，几类函数模型增长差异的
比较第195页共220页可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案]y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a
>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数
增长之间．[活学活用]1．有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝
2t－2解析：选C从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.[例2]某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行
奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该
校的要求？函数模型的选择问题第196页共220页[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y
＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平
缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学应用]2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76
万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是()A．y＝0.2xB．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：选C对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x
＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；
x＝3时，y≈0.6＜0.7，相差较大，不符合题意.[例3]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．指数函数、对数函数与幂函数模型的比较第197页共220页(2)结
合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2016)，g(2016)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(
10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，所以f(2016)＞g(2016)．又因为
g(2016)＞g(6)，所以f(2016)＞g(2016)＞g(6)＞f(6)．[一题多变]1．[变条件]若将本例中“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解(1)呢？解：由图象的变化趋势以及指数函
数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.2．[变设问]本例条件不变，(2)中结论若改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2015)，g(2015)的大小．解：因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g
(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜8＜x2，2015＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(8)＜g(8)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，所以f(2015)＞g(201
5)．又因为g(2015)＞g(8)，所以f(2015)＞g(2015)＞g(8)＞f(8)．由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函
数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．层级一学业水平达标1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接
近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋bx解析：选B在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.2．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是
()第198页共220页A．y＝50B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11000ex解析：选D指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，
调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析：选D由于一次函数、二次函数、指数函数的增长
不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．4．有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)解析：选C通过
所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y
3＞y2D．y2＞y3＞y1解析：选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
6．小明2015年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．解析：三年后的价格为7200×23×23×23＝64003元．答案：640037．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区
间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．答案：y＝x2第199页共220页8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别
为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有1＝a×0.5＋b，1.5＝a×0.25＋b，解得
a＝－2，b＝2.∴y＝－2×(0.5)x＋2.当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．答案：1.759．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞
)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x)．10．燕子每年秋天都要从北方飞向南
方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中所给公式可得
：0＝5log2Q10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度
为15m/s.层级二应试能力达标1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()第200页共220页解析：选D设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104
)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.2．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y252924521891
9685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数
函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2
,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log
2xD．f4(x)＝2x解析：选D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.4．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞loga
xC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax解析：选D对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当
0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．第201页共220页5．以下是三个变量y1，y2，
y3随变量x变化的函数值表：x12345678„y1248163264128256„y21491625364964„y3011.58522.3222.5852.8073„其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长
速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y16．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应____
__；B对应_____；C对应______；D对应______．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故
水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．答案：(4)(1)(3)(2)7．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．解：
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x12，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<
e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；第202页共220页当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．8．某地区今
年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分
别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？解：依题意，得a·12＋b·1＋c＝52，a·22＋b·2＋c＝54，a·32＋b·3＋c＝58，即a＋b＋c＝52，4a＋2b＋c＝54，9a＋3b＋c＝58，解得a＝1，b＝－1
，c＝52，所以甲：y1＝x2－x＋52，又p·q1＋r＝52①，p·q2＋r＝54②，p·q3＋r＝58③，②－①，得p·q2－p·q1＝2，④③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤⑤÷④，得q＝2.将q＝2代入④式，得p＝1.将q＝2，p＝1代入①式，得r
＝50，所以乙：y2＝2x＋50.计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；当x＝5时，y1＝72，y2＝82；当x＝6时，y1＝82，y2＝114.可见，乙选择的模型较好．第203页共220页3．2.2函数模型的应用实例预习课本P101～106，思考并完成以下问题(1)一、二次函数
的表达形式分别是什么？(2)指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中待定系数有哪些限制条件？(3)解决实际问题的基本过程是什么？[新知初探]几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模
型y＝kx＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝ax＋b2a2＋4ac－b24aa≠0指数函数模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0对数函数模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0幂函数模型y＝axn
＋ba≠0，n≠1第204页共220页[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．()答案：(1)√(2)√2．某自行
车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0
≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案：C3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，„„现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A．y＝2
xB．y＝2x－1C．y＝2xD．y＝2x＋1答案：D4．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为_____
___℃.答案：8[例1]某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给坐标系
中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．二次函数模型第205页共220页[解](1
)如图：设f(x)＝kx＋b，则60＝30k＋b，30＝40k＋b，解得k＝－3，b＝150.所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500，30≤x≤50.因为对称轴x＝－2
402×－3＝40∈[30,50]，所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大．二次函数模型应用题的4个步骤(1)审题：理解题意，设定变量x，y.(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域．(3)
解模：运用二次函数相关知识求解．(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案．[活学活用]1．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数
；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利
润？解：(1)由题可设y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.解得a＝110.所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25)．(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－()0.1x2－3x＋40＝－0.1(x－
23)2＋12.9(10≤x≤25)．第206页共220页因为x＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.[例2]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大
桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的
一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解](1)
由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式
为v(x)＝60，0≤x≤20，13200－x，20＜x≤200.(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200－x，20＜x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函
数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003≤100003，当且仅当x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x
)在区间(20,200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.分段函数模型第207页共220页即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大
值约为3333辆/小时．构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．[活学活用]2．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据
监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最
佳？解：(1)依题意得y＝6t，0≤t≤1，－23t＋203，1＜t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－23t1＋203＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.设
第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t2＋203－23(t2－4)＋203＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的
药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t3－4)＋203－23(t3－9)＋203＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.[例3]一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素
的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解](1)最初的质量为500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；指数、对数型函数模型第208页共220页经过2年，w＝5
00×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，∴t＝lg0.5lg0.9≈6.6.即这种放射性元素的半
衰期为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[活学活用]3．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p
%.(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.层级一学业水平达标1．一家旅社
有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天定价20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使收入每天达到最高，则每间应定价为()A．20元B．18
元C．16元D．14元解析：选C每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元)．2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解
析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)第209页共220页解析：选D由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜
10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴2x＞y，y＝20－2x，解得x＞5，∴5＜x＜10，故选D.3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝4x，1≤x≤10，x∈N，2x＋10，10＜x＜100，x∈N，1.5x，x≥1
00，x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．130解析：选C若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则
x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．4．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为()A．300只B．4
00只C．500只D．600只解析：选A由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的
生产成本(单位：万元)为C(x)＝12x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．22万件C．18万件D．9万件解析：选C∵利润L(x)＝20x－
C(x)＝－12(x－18)2＋142，∴当x＝18时，L(x)取最大值．6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应
给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：由题意可知，第一年产量为a1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝12n(n＋1)(2n＋1)－12n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2
≤150，得1≤n≤52⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．第210页共220页答案：77．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种
货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________．解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．∵原价为a，∴进价为a(1－25%)．依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，化简得b＝54a，∴y＝b×20%·x＝54a×20%·x，即y
＝a4x(x∈N*)．答案：y＝a4x(x∈N*)8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每
月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)400＋4－x0.5×40＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以
x＝6时，y取得最大值．答案：69．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)
40.037.0桌子高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠
0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得40k＋b＝75，37k＋b＝70.2，所以k＝1.6，b＝11，所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是
配套的．10．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．(1)当每辆车的月租金定为3900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车
的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，第211页共220页所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(
100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，y＝(3000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，其中x∈[0,100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3120x＋284000＝－60(x－26)
2＋324560，当x＝26时，y＝324560，即最大月收益为324560元．此时，月租金为3000＋60×26＝4560(元)．层级二应试能力达标1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按
一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费()A．1.00元B．0.90元C．1.20元D．0.80元解析：选By＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x＞0)，令x＝55
060，故[x]＝10，则y＝0.9.故选B.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．3100元B．3000元C．2900元D．2800元
解析：选B设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，函数图象过点(1,8000)，(2,13000)，则k＋b＝8000，2k＋b＝13000，解得k＝5000，b＝3000，∴y＝5000x＋3000，当x＝0时，y＝3000，∴营销人员没
有销售量时的收入是3000元．3．用长度为24的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3B．4C．6D．12解析：选A设隔墙长度为x，如图所示，x则与隔墙垂直的第212页共220页边长为24－4x2＝12－2
x，∴矩形面积S＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x,0＜x＜6，∴当x＝3时，Smax＝18.4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已
知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为()A．125B．100C．75D．50解析：选C由已知，得49a＝a·e－50k，∴e－k＝49150.设经过t1天后，一个新丸体积变为827a，则827a＝a·e-1kt，∴827＝(e－k)t1
＝49150t，∴t150＝32，t1＝75.5．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为__
______元；(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．解析：(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话
费6元．(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则3k＋b＝3.6，5k＋b＝6，解得k＝1.2，b＝0.故y
关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．答案：(1)3.6(2)6(3)y＝1.2t(t≥3)6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln
1＋Mm.当燃料质量是火箭质量的第213页共220页________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v＝12000时，2000·ln1＋Mm＝12000，∴ln1＋Mm＝6，∴Mm＝e6－1.答案：e6－17．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积
每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为a2.已知到今年为止，森林面积为22a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)由题意得a(1－p%)10＝a2，即(1－p%)10＝12，解得p%＝1－12110.(2)设经过m年森林面积变为22a，则a(1－p%)
m＝22a，即1210m＝1212，m10＝12，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．8．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：时间第4天第32天第60天第90天价格(千
元)2330227(1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场的第x天，x∈N*)；(2)销售量g(x)与时间x的函数关系式为g(x)＝－13x＋1093(1≤x≤100，x∈N*)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高
为多少千元？解：(1)当0＜x≤40时，设f(x)＝kx＋b，则有4k＋b＝23，32k＋b＝30⇒k＝14，b＝22，∴f(x)＝14x＋22(0＜x≤40，x∈N*)．同理可得f(x)＝－12x＋52(4
0＜x≤100，x∈N*)，故f(x)＝14x＋22，0＜x≤40，－12x＋52，40＜x≤100其中x∈N*.第214页共220页(2)设日销售额为S(x)千元，则当0＜x≤40，x∈N*时，S(x)＝f(x)g(x)＝14x＋22－13x＋1093＝－
112(x＋88)(x－109)．其图象的对称轴为x＝109－882＝10.5，∴当x＝10,11时，S(x)取最大值，S(x)max＝808.5.当40＜x≤100，x∈N*时，S(x)＝－12x＋52
－13x＋1093＝16(x－104)(x－109)．其图象的对称轴为x＝104＋1092＝106.5，∴当40＜x≤100，x∈N*时，S(x)＜S(40)＝736＜808.5.综上可得，该产品投放市场第10天和第11天的销售额最高，最高销售额为808.5
千元．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题40分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝lg|x|的零点是()A．(1,0)B．(1,0)和(－1,0)C．1D．1和
－1解析：选D由f(x)＝0，得lg|x|＝0，所以|x|＝1，x＝±1.故选D.2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析
：选B因为f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．3．以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是()A．S＝RxB．S＝2Rx(x＞0
)C．S＝Rx(0＜x≤R)D．S＝πR2解析：选CS△PAB＝12·AB·PD＝Rx，又0＜PD≤R，∴S＝Rx(0＜x≤R)．4．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()第215页共
220页解析：选C把y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C中图象与x轴无交点．5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元
/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A
．[5,6)B．(5,6]C．[6,7)D．(6,7]解析：选B若按x千米(x∈Z)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．6．设函数f(x)＝lnx－12x2＋1(x＞0)
，则函数y＝f(x)()A．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点解析
：选Af1e＝ln1e－12×1e2＋1＜0，f(1)＝ln1－12＋1＞0，f(2)＝ln2－2＋1＜0，故选A.7．若函数f(x)唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，1，32内，则与f(0)符号相同的是()A．f(4)B．f(2)C．f
(1)D．f32解析：选C由函数零点的判断方法可知，f(2)，f(4)与f(0)符号相反，f(1)与f(2)符号相反，故f(1)与f(0)符号相同，故选C.8．已知函数f(x)＝13x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值为
()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：选A∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0<x1<x0，∴f(x1)>0.二、填空题
(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确第216页共220页答案填在题中横线上)9．若f(x)为R上的奇函数，且1是该函数的一个零点，则f(0)＋f(－1)＝________.解析：由题意可知f(0)＝f(1)＝0.又f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(0
)＋f(－1)＝0.答案：010．2015年年底某市人口数达到54.8万，若人口的年平均增长率为x%，设2036年年底人口数为y(万)，那么y与x的函数解析式为________．解析：由题意，2016年年底人口数
为54.8(1＋x%)，2017年年底人口数为54.8(1＋x%)2，„，故2036年年底人口数为54.8(1＋x%)21.答案：y＝54.8(1＋x%)2111．已知函数f(x)＝x2－4x，x≥1，lg|x－1|，x<1，则f(f(－9))＝_______
_，f(x)的零点个数为________．解析：∵f(－9)＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－3.令f(x)＝0，则x＝0或x＝4，∴f(x)有两个零点．答案：－3212．设函数f(x)＝x12，0≤x≤c，x
2＋x，－2≤x<0，其中c>0，则函数f(x)的零点为________；若f(x)的值域是－14，2，则c的取值范围是________．解析：令f(x)＝0，得x＝－1或x＝0.由图可知，若f(x)的值域是－14，2，则
c的取值范围是0<c≤4.答案：－1和0(0,4]13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长
x＝________，y＝________.解析：由三角形相似，即24－y24－8＝x20，得x＝54·(24－y)，所以S＝xy＝－54(y－12)2＋180，故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：1512第217页共220页14．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠
1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.解析：∵2<a<3<b<4，∴f(2)＝loga2＋2－b<1＋2－b＝3－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>1＋3
－b＝4－b>0，即f(2)·f(3)<0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，且x0∈(2,3)，∴n＝2.答案：215．设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3，2，则此函数
解析式f(x)＝____________；当函数f(x)的定义域为[0,1]时，其值域为________．解析：因为f(x)的两个零点分别是－3,2，所以f－3＝0，f2＝0，即9a－3b－8－a－ab＝0，4a＋2b－8－a－
ab＝0，解得a＝－3，b＝5，f(x)＝－3x2－3x＋18.因为f(x)＝－3x2－3x＋18的对称轴x＝－12，函数开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，f(x)的最大值f(0)＝18，最小值f(1)＝12，所以值域为[12,18]．答案：－3x
2－3x＋18[12,18]三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4
有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.(2)由题意知Δ＞0，－m＞－1，f－1＞0，即m2－3m－4＞0，m＜1，1－2m＋3m＋4＞0
.∴－5＜m＜－1，∴m的取值范围为(－5，－1)．17．(本小题满分15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出
部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．第218页共220页(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意知y＝0.15x，0≤x≤10，1.
5＋2log5x－9，x＞10.(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.所以老江的销售利润是34万元．18．(本小题满分15分)定
义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log14x)≥0的x的取值集合．解：∵－12是函数的一个零点，∴f－12＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当lo
g14x≤0，即x≥1时，若f(log14x)≥0，则log14x≥－12，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当log14x＞0时，12≤x＜1.综上所述，x的取值范围为12，2.19．(本小题
满分15分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量am3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超
过部分每1m3付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一个家庭某年第一季度的用水量和支付费用如下表：月份用水量/m3水费/元1992151932233根据上表中的数据，求a，b，c的值．解：设每月用水量为xm3，支付水费为y元，第219页共220页则y＝8＋c，
0＜x≤a，①8＋bx－a＋c，x＞a.②由题意知0≤c≤5，∴8＋c≤13.故用水量15m3,22m3均大于最低限量am3.将x＝15，y＝19和x＝22，y＝33分别代入②中，得19＝8＋b15
－a＋c，33＝8＋b22－a＋c，解得b＝2.∴2a＝c＋19.③不妨设1月份用水量也超过最低限量，即9＞a.这时，将x＝9代入②中得9＝8＋2×(9－a)＋c，解得2a＝c＋17，与③矛盾，∴9≤a，则有
8＋c＝9，∴c＝1，a＝10.20．(本小题满分15分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数
关系式为s(t)＝－5t(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)
的函数解析式；(2)在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.即小张家距离景点150km，小张的车在景点逗留时间为16
－8－3＝5(h)．∴当3<t≤8时，s(t)＝150，小张从景点回家所花时间为15060＝2.5(h)，故s(10.5)＝2×150＝300.∴当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.综上所述，
这天小张的车所走的路程s(t)＝－5tt－13，0≤t≤3，150，3<t≤8，60t－330，8<t≤10.5.(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60得t2－13t＋12＝0，解得t＝1或t＝12(舍去)，第220页共
220页当8<t≤10.5时，令60t－330＝2×150－60＝240，解得t＝192.所以小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．
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