【文档说明】高考二轮复习数学(文)通用版：专题检测18 高二选修4-5_不等式选讲 含解析.doc，共(5)页，79.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题检测（十八）选修4-5不等式选讲1．(2019届高三·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋

1|≤16，求证：f(x)<1.解：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，即x≥12，2x－1<x＋1或0<x<12，1－2x<x＋1或x≤0，1－2x<－x＋1，得12≤x＜2或0＜x＜12或无解．故不等式f(x)<|x

|＋1的解集为{x|0<x<2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56<1.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|

x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1<x<1，2，x≥1.故不等式f(x)>1的解集为

x|x>12.(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；若a>0，则|ax－1|<1的解集为x|0<x<2a，所以2a≥1，故0<a≤2.综

上，a的取值范围为(0,2]．3．设不等式0<|x＋2|－|1－x|<2的解集为M，a，b∈M.(1)证明：a＋12b<34.(2)比较|4ab－1|与2|b－a|的大小，并说明理由．解：(1

)证明：记f(x)＝|x＋2|－|1－x|＝－3，x≤－2，2x＋1，－2<x<1，3，x≥1，所以由0<2x＋1<2，解得－12<x<12，所以M＝－12，12，所以a＋12b≤|a|＋12|b|<12＋12×12＝34.(

2)由(1)可得a2<14，b2<14，所以(4ab－1)2－4(b－a)2＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|4ab－1|>2|b－a|.4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.(1)求2a＋1b的最小值．(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式|x－1|＋|2x－3|≥2a

＋1b成立，求实数x的取值范围．解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，又因为2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)＝4ba＋ab＋4，由a，b∈(0，＋∞)可知4ba＋ab＋4≥24ba·ab＋4＝8，当且仅当a＝

2b时取等号，所以2a＋1b的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x－1|＋|2x－3|≥8，①x≤1，1－x＋3－2x≥8，所以x≤－43.②1<x<32，x－1＋3－2x≥8，无解，③x≥32，x－1＋2x－3≥8

，所以x≥4.综上，实数x的取值范围为－∞，－43∪[4，＋∞)．5．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x

)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解：(1)f(x)＝－3x，x<－12，x＋2，－12≤x<1，3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为

3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.6．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1

时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得23<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x|23<x<

2.(2)由题设可得f(x)＝x－1－2a，x<－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，所以△ABC

的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．7．(2018·郑州二检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤1m＋1n(a>0)恒成立，求实数a的取

值范围．解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.当x<－23时，即－3x－2－x＋1<4，解得－54<x<－23；当－23≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，解得－23≤x<12；当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

综上所述，x∈－54，12.(2)1m＋1n＝1m＋1n(m＋n)＝1＋1＋nm＋mn≥4，当且仅当m＝n＝12时等号成立．令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝2x＋2＋a，x<－23，－4x－2＋a，－23≤x≤a，－2x－2－a，x>a.

所以x＝－23时，g(x)max＝23＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝23＋a≤4，即0<a≤103.所以实数a的取值范围是0，103.8．已知函数f(x)＝|x－a|＋2|x＋b|(a>0，b>0)的最小值为

1.(1)求a＋b的值；(2)若m≤1a＋2b恒成立，求实数m的最大值．解：(1)f(x)＝－3x＋a－2b，x≤－b，x＋a＋2b，－b<x<a，3x－a＋2b，x≥a.则f(x)在区间(－∞，－b]上单调递减，在区间[－b，＋∞)上单调递增，所以f(x)min

＝f(－b)＝a＋b，所以a＋b＝1.(2)因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以1a＋2b＝(a＋b)1a＋2b＝3＋ba＋2ab，又3＋ba＋2ab≥3＋2ba·2ab＝3＋22，当且仅当ba＝2ab时，等号成立，所以当a

＝2－1，b＝2－2时，1a＋2b有最小值3＋22.所以m≤3＋22，所以实数m的最大值为3＋22.