【文档说明】高考数学二轮复习课时跟踪检测28不等式选讲 理数（含答案）.doc，共(6)页，78.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测（二十八）不等式选讲1．(2018·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|x－m|＋|x|≥

|(x－m)－x|＝|m|.所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.因为m∈N*，所以m＝1.(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝134α＋1β(α＋β)＝13

5＋4βα＋αβ≥135＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(2018·唐山模拟)设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值

范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|＝2－3x，x<0，2－x，0≤x≤1，3x－2，x>1.当x<0时，由2－3x≤4，得－23≤x<0；当0≤x≤1时，由2－x≤4，得0≤x≤1；当x>1时，由3x－2≤4，得1<x≤2.综上，不等式f(x)≤4

的解集为－23，2.(2)f(x)＝|x|＋2|x－a|＝2a－3x，x<0，2a－x，0≤x≤a，3x－2a，x>a.可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．当x＝a时，f(x

)取得最小值a.若f(x)≥4恒成立，则应a≥4.所以a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解：(1)f(x)＝－3x，x<－12

，x＋2，－12≤x<1，3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.4．(2018·开封模拟)已知函数f(x

)＝|x－m|，m<0.(1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．解：(1)设F(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1

|＝－2x，x<－1，2，－1≤x<1，Gx＝2－x，2x，x≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}．(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.设g(x)＝f(x)＋f(2x)，当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，

则g(x)≥－m；当m<x<m2时，g(x)＝x－m＋m－2x＝－x，则－m2<g(x)<－m；当x≥m2时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－m2.则g(x)的值域为－m2，＋∞，不等式f(x)＋f(

2x)<1的解集非空，即1>－m2，解得m>－2，由于m<0，则m的取值范围是(－2,0)．5．(2018·昆明模拟)设函数f(x)＝|x－a|＋x＋2a(a≠0，a∈R)．(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤5；(2

)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，故f(x)＝2x＋1，x>1，3，－2≤x≤1，－2x－1，x<－2.①当x>1时，由2x＋1≤5，得x≤

2，故1<x≤2；②当－2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R，故－2≤x≤1；③当x<－2时，由－2x－1≤5，得x≥－3，故－3≤x<－2.综上，不等式的解集为[－3,2]．(2)f(x)＝|x－a|＋x＋2a≥

x－a－x＋2a＝a＋2a当且仅当x－ax＋2a≤0时等号成立，所以g(a)＝a＋2a，因为a＋2a＝|a|＋

2a≥2|a|·2a＝22，当且仅当|a|＝2a，即a＝±2时等号成立，所以g(a)min＝22.6．(2018·陕西模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值

域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥3t＋3t.解：(1)依题意，得f(x)＝－3x，x≤－1，2－x，－1<x<12，3x，x≥12，于是f(x)≤3⇔x≤－1，－3x≤3或－1<x<12，2－x≤3或x≥12，3x≤3，解得－1≤x≤1

.故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M＝[3，＋∞)．t2＋1≥3t＋3t等价于t2－3t＋1－3t≥0，t

2－3t＋1－3t＝t3－3t2＋t－3t＝t－t2＋t.∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，∴t－t2＋t≥0，∴t2＋1≥3t＋3t.7．(2018·福州模拟)设函数f(x)＝|x－1|.(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；(2

)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若1，32⊆M，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，所以|x－1|≤3－|x－2|，即|x－1|＋|x－2|≤3，则x<1，3－2x≤

3或1≤x≤2，1≤3或x>2，2x－3≤3，解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0,3]．(2)因为1，32⊆M，所以当x∈1，32时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a

|恒成立，而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|⇔|x－1|－|x|＋|x－a|≤0⇔|x－a|≤|x|－|x－1|，因为x∈1，32，所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1，由题意，知x－1≤a≤x＋1对

于x∈1，32恒成立，所以12≤a≤2，故实数a的取值范围为12，2.8．(2018·郑州模拟)已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0<a<5)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y＝f(x)的最小值

为4，求实数a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝6－3x，x<12，x＋4，12≤x<5，3x－6，x≥5，∴f(x)≥9⇔x<12，6－3x≥9或12≤x<5，x＋4≥9或

x≥5，3x－6≥9.解得x≤－1或x≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)＝－a＋x＋6，x<12，－ax＋4，12≤x≤5a，a＋x－6，x>5a.

∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在12，5a上取得，∵在12，5a上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减，∴0<a≤2，fxmin＝f12＝4或2<a≤

5，fxmin＝f5a＝4.解得a＝2.