【文档说明】高考数学二轮复习课时跟踪检测27坐标系与参数方程 理数（含答案）.doc，共(6)页，70.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测（二十七）坐标系与参数方程1．(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x＝t，y＝2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方

程为ρ2＋2ρsinθ－3＝0.(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.解：(1)由x＝t，y＝2t消去t得，y＝2x，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，所以直

线l的极坐标方程为sinθ＝2cosθ.(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝55，所以|AB|＝24－d2＝2955.2．(2018·益阳、湘潭模拟)在平面

直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝sinα(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＋π3＝12.直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的直角坐标方程；

(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．解：(1)由ρcosθ＋π3＝12得ρcosθcosπ3－ρsinθsinπ3＝12，即12ρcosθ－32ρsinθ＝12，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线l的直角坐标方程为x－3y－1＝0.(2

)由x＝2cosα，y＝sinα(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为x＝32t＋1，y＝12t(t为参数)，将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋43t－12

＝0，∴t1·t2＝－127，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝127.3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3＋2cosα，y＝2＋2

sinα(α为参数)，直线C2的方程为y＝33x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．解：(1)曲线C1的普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－23x－

4y＋3＝0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2－23ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.∵直线C2的方程为y＝33x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcosθ－4ρsinθ

＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.4．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x＝tcosα，y＝sinα(α为参数，t>0)．在以O

为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ－π4＝2.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为62＋2，求t的值．解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcosθ－

π4＝2，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.因为x＝tcosα，y＝sinα(α为参数，t>0)，所以曲线C的普通方程为x2t2＋y2＝1(t>0)，由x＋y＝2，x2t2＋y2＝1，消去x得，(1＋t2)y2－4

y＋4－t2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，又t>0，解得0<t<3，故t的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l的方程为x＋y－2＝0，故曲线C上的点(tcosα，sinα)到l的距离d＝|tcosα＋sinα－2|2，故dmax＝t2＋1＋22＝6

2＋2，解得t＝±2.又t>0，∴t＝2.5．(2018·重庆模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＋π4＝32.(1)求曲线C1的普通

方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．解：(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为x29＋y23＝1，由ρcosθ＋π4＝32，得ρcosθ－ρsinθ＝6，∴曲线C2的直角坐标方

程为x－y－6＝0.(2)设点M的坐标为(3cosβ，3sinβ)，点M到直线x－y－6＝0的距离d＝|3cosβ－3sinβ－6|2＝23sinβ－π3＋62＝6＋23sinβ－π32，当sinβ－π3＝－1时，|MN|有最小

值，最小值为32－6，此时点M的直角坐标为332，－32.6．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲

线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)由题意知直线l的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝

1＋tsinα(t为参数)，因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C

的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>34，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3.不妨令|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，所以|PQ|＝|t1－t2|，因为|PQ|2＝

|AP|·|AQ|，所以(t1－t2)2＝|t1|·|t2|，则(t1＋t2)2＝5t1t2，得(－4cosα)2＝5×3，解得cos2α＝1516，满足cos2α>34，所以sin2α＝116，tan2α＝115，所以k＝tanα＝±1515.7．(2019届高三·湘东五校联考)平面直角坐标系x

Oy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜

角α的值．解：(1)直线l的参数方程为x＝－2＋tcosα，y＝－4＋tsinα(t为参数)，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)把直线l的参数方程代入

y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝2cosα＋8sinαsin2α，t1t2＝20sin2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·

|MB|＝|t1t2|＝20sin2α＝40，得α＝π4或α＝3π4.又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α>0，所以α＝π4.8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为

x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l

与⊙O交于两点需满足21＋k2<1，解得k<－1或k>1，即α∈π2，3π4或α∈π4，π2.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋

tsinαt为参数，π4<α<3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨

迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4.