【文档说明】高考数学二轮复习课时跟踪检测24导数的简单应用小题练 理数（含答案）.doc，共(8)页，111.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测（二十四）导数的简单应用（小题练）A级——12＋4提速练一、选择题1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝3，则a＝()A.193B.163C.133D．3解析：选D∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－

6，∵f′(－1)＝3，∴3a－6＝3，解得a＝3.故选D.2．(2018·合肥模拟)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，其中e为自然对数的底数，则实数a的值是()A．eB．2eC．1D．2解析：选

C∵y＝aex＋x，∴y′＝aex＋1，设直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切的切点坐标为(m，n)，则y′|x＝m＝aem＋1＝2，得aem＝1，又n＝aem＋m＝2m＋1，∴m＝0，a＝1，故选C.3．(2018·成都模拟)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f

′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值

点，故选A.4．(2018·重庆调研)若函数f(x)＝(x＋a)ex在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(－1,0)D．[－1，＋∞)解析：选Af′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x

＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．0B．－5C．－10D．－37解析：选D由题意知，f′(x)＝6x2－

12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.6．(2018

·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)解析：选D由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，

f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝3x20＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且3x20＋2ax0＝－1，x0＋x30＋ax20＝0，解得a＝±2，x0＝－a2.所以当x0＝1，a＝－2时，点P的坐标为(1，－1)；当x0＝－1，a＝2时，点

P的坐标为(－1,1)，故选D.7．(2018·昆明检测)若函数f(x)＝e2x＋ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－2，＋∞)解析：选C∵

f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(x)＝2e2x＋a，∴f′(x)＝2e2x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥－2e2x在(0，＋∞)上恒成立，又x∈(0，＋∞)时，－2e2x＜－2，∴a≥－2.8．(2018·陕西模拟)设函数f

(x)＝x3－12x＋b，则下列结论正确的是()A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点

解析：选C对于选项A，B，根据函数f(x)＝x3－12x＋b，可得f′(x)＝3x2－12，令3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，故函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b

＝－6时，f′(－2)＝0，f(－2)＝10，故函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10，选项C正确；对于选项D，当b＝0时，f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16，故直线y＝10

与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D错误．故选C.9．已知定义在0，π2上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)cosx－1＝lnx－f(x)sinx，则下列不等式成立的是()A.2fπ3<fπ4B．3fπ3<f

π6C.3fπ4<2fπ6D.3fπ3>fπ6解析：选D令g(x)＝fxcosx，则g′(x)＝fxx－fx－sinxcos2x＝1＋lnxcos2x，由0<x<π2，gx，解得1e<x<π2；由

0<x<π2，gx，解得0<x<1e.所以函数g(x)在0，1e上单调递减，在1e，π2上单调递增．因为π3>π6>1e，所以gπ3>gπ6，所以fπ3cosπ3>fπ6cosπ6，即3fπ3>fπ6，

B错，D正确．同理因为π4>π6>1e，所以gπ4>gπ6，所以fπ4cosπ4>fπ6cosπ6，即3fπ4>2fπ6，C错．因为π3>π4>1e，所以gπ3>gπ4，所以f

π3cosπ3>fπ4cosπ4，即2fπ3>fπ4，A错．故选D.10．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝lnx－m2xm>22，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，则m的值为()A

．1B．2C．eD．e2解析：选C∵f(x)在R上是奇函数，当x∈[－2,0)时，f(x)的最小值为3，∴f(x)在(0,2]上的最大值为－3.∵当x∈(0,2]时，f′(x)＝1x－m2，令f′(x)＝0，解得x＝m－2；由m>22知0<m－2<2.当x∈(0，m－2)时，f′(x)>

0，f(x)单调递增，当x∈(m－2,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝m－2时，f(x)在(0,2]上取得最大值－3.∴f(m－2)＝lnm－2－m2·m－2＝lnm－2－1＝－3，解得m＝e.故选C.11．

已知函数f(x)＝－lnx＋ax，g(x)＝(x＋a)ex，a<0，若存在区间D，使函数f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，则a的取值范围是()A.－∞，－12B．(－∞，0)C.－

1，－12D．(－∞，－1)解析：选Df(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1x＋a＝ax－1x.由a<0可得f′(x)<0，即f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减．g′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋

1)ex，令g′(x)＝0，解得x＝－(a＋1)，当x∈(－∞，－a－1)时，g′(x)<0，当x∈(－a－1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a

－1，＋∞)．因为存在区间D，使f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，所以－a－1>0，即a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)，选D.12．(2018·张家界模拟)已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若方程f′(x)

＝0无解，且f[f(x)－2017x]＝2017，若g(x)＝sinx－cosx－kx在－π2，π2上与f(x)在R上的单调性相同，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[－1，2]D．[2，＋∞)解析：选A若方程f′(x)＝0无解，则f′(x

)>0或f′(x)<0恒成立，∴f(x)为R上的单调函数．若∀x∈R，都有f[f(x)－2017x]＝2017，则f(x)－2017x为定值，设t＝f(x)－2017x，则f(x)＝t＋2017x，易知f(x)为R上的增函数．∵g(x

)＝sinx－cosx－kx，∴g′(x)＝cosx＋sinx－k＝2sinx＋π4－k.又g(x)在－π2，π2上与f(x)在R上的单调性相同，∴g(x)在－π2，π2上单调递增，则当x∈－π2，π2时，g′(x)≥0恒成立，则k≤2s

inx＋π4min.当x∈－π2，π2时，x＋π4∈－π4，3π4，sinx＋π4∈－22，1，2sinx＋π4∈[－1,2]，故k≤－1，选A.二、填空题13．(2018

·福州四校联考)已知曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线为l，则由C，l以及直线x＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝2x＋2，所以曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，所以切线方程为y＝2

x，所以由C，l以及直线x＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝01(x2＋2x－2x)dx＝01x2dx＝x33|10＝13.答案：1314．(2018·太原二模)若函数f(x)＝sinx＋ax为R上的减

函数，则实数a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝cosx＋a，由题意可知，f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]15．(2018·全国卷

Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－316．已知定义在(0，＋

∞)上的单调函数f(x)，对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－log3x]＝4，则函数f(x)的图象在x＝1ln3处的切线的斜率为________．解析：由题意，设f(x)－log3x＝m>0，则f(x)＝log3x＋m，由f[f(x)－log3x]＝4可得f(m)＝log3m＋m＝4，

即m＝34－m，解得m＝3，所以f(x)＝log3x＋3，f′(x)＝1xln3，从而f′1ln3＝1，即所求切线的斜率为1.答案：1B级——难度小题强化练1．(2018·西安八校联考)已知函数f(

x)＝lnx－ax2，若f(x)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为()A.12e，＋∞B．12e，＋∞C.0，12eD.0，12e解析：选C函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2ax＝1－2ax2x.当a≤0时，f′(x)>

0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)不存在两个不同的零点．当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝12a，当0<x<12a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x>12a时，f′(x)<0，函

数f(x)单调递减，所以f(x)的最大值为f12a＝ln12a－a12a2＝－12ln2a－12，于是要使函数f(x)恰有两个不同的零点，则需满足－12ln2a－12>0，即ln2a<－1，所以0<2a<1e，即0<a<12e，所以a的取值范围是0，12e，故

选C.2．已知f′(x)为f(x)(x∈R)的导函数，当x≠0时，f′(x)＋fxx>2，则方程f(x)＋1x＝x的根的个数为()A．1B．1或2C．0D．0或1解析：选C由题意知，方程f(x)＋1x＝x

的根，即为xfx－x2＋1x＝0的根．记g(x)＝xf(x)－x2＋1，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－2x.当x≠0时，由f′(x)＋fxx>2得xfx＋fx－2xx>0，故当x>0时，xf′(x)＋f(x)－2x>0，即g′(x)>0，当x<0时，xf′(x)＋f(x

)－2x<0，即g′(x)<0.所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0×f(0)－02＋1＝1.故函数g(x)＝xf(x)－x2＋1没有零点，即方程f(x)＋1x＝x无根．故选C.3．已

知函数f(x)的定义域为R，其导函数为y＝f′(x)，当x≠1时，f′(x)－f－xx－1>0，若函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称，a＝－12f12，b＝－3f(－2)，c＝2f(3

)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．b<c<aC．a<c<bD．c<a<b解析：选C由函数y＝f(x＋1)的图象关于原点对称可得函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(2－x)＝－f(x)．设g(x)＝(x－1)f(x)，则g(2－x)＝[(2－x)－1]f(2－x)

＝(1－x)[－f(x)]＝(x－1)f(x)＝g(x)，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．由已知当x≠1时，f′(x)－f－xx－1>0可得f′(x)＋fxx－1>0，即x－fx＋fxx－1>0，即gxx－1>0.当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．而

a＝g12，b＝g(－2)，c＝g(3)．由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称可得a＝g12＝g32，b＝g(－2)＝g(4)，因为32<3<4，所以a<c<b.故选C.4．(2018·胶州模拟)若方程ln(x＋1)＝x2－32x＋a在区间[0,2]

上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.ln3－1，ln2＋12B．[ln2－1，ln3－1)C．[ln2－1，ln2]D.0，ln2＋12解析：选A令f(x)＝ln(x＋1)－x2＋32x－a，则f′(

x)＝1x＋1－2x＋32＝－x＋x－x＋.当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．由于方程ln(x＋1)＝x2－32x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根，即f(x)＝0在区间[0,2

]上有两个不同的实数根，则f＝－a≤0，f＝ln2＋12－a>0，f＝ln3－1－a≤0，解得ln3－1≤a<ln2＋12.所以方程ln(x＋1)＝x2－32x＋a在区间[0,2]上有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是ln3－1，ln2＋12.5．已知函数f

(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝lnx－ax＋x1x－a＝lnx－2ax＋1，令f′(x)＝lnx

－2ax＋1＝0，得lnx＝2ax－1，因为函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，所以f′(x)＝lnx－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示，过点(0，－1)作曲线y＝l

nx的切线，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝1x0，所以切线方程为y＝1x0x－1，又切点在切线上，所以y0＝x0x0－1＝0，又切点在曲线y＝lnx上，则lnx0＝0，解得x0＝1，所以切点为(1,0)，所以切线方程为y＝x－1.

再由直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx有两个交点，知直线y＝2ax－1位于两直线y＝－1和y＝x－1之间，其斜率2a满足0<2a<1，解得实数a的取值范围是0，12.答案：0，126．已知函数g(x)＝a－x21e≤x≤

e，e为自然对数的底数与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．解析：因为函数g(x)＝a－x21e≤x≤e，e为自然对数的底数与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，

所以方程a－x2＝－2lnx，即－a＝2lnx－x2在1e，e上有解．令f(x)＝2lnx－x2，则f′(x)＝2x－2x＝－x＋xx，因为1e≤x≤e，所以f(x)在x＝1处有唯一的极大值点．因为f1e＝－

2－1e2，f(e)＝2－e2，f(x)的极大值为f(1)＝－1，且f(e)<f1e，故方程－a＝2lnx－x2在1e，e上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，故实数a的取值范围是[1，e2－2]．答案：[1，e2－2]