【文档说明】高考数学二轮复习课时跟踪检测18圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练 理数（含答案）.doc，共(9)页，104.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-75717.html

以下为本文档部分文字说明：

课时跟踪检测（十八）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过E3，32.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1―→

＝λF1B―→，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)由2a＝|EF1|＋|EF2|，a2＝b2＋c2，c＝1，解得a＝2，c＝1，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23

＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，联立方程y＝kx＋，x24＋y23＝1，整理得3k2＋4y2－6ky－9＝0，Δ＝144k2＋144>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2

＝6k3＋4k2，y1y2＝－9k23＋4k2，又AF1―→＝λF1B―→，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝－λ－λ2(y1＋y2)2，则－λ2λ＝43＋4k2，λ＋1λ－2＝43＋4k2，因为2≤λ<3，所以12≤λ＋1λ－2<43，即12≤43＋4k2<43

，且k>0，解得0<k≤52.故直线l的斜率k的取值范围是0，52.2．(2018·陕西模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为3，面积为3

3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．解：(1)由已知条件，得b＝3，且2a＋2c2×3＝33，∴a＋c＝3.又a2－c2＝3，∴a＝2，c＝1，∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)显然直线的斜率不能为0

，设直线的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程x24＋y23＝1，x＝my－1，消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9＝0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．∴y1＋y2＝6m3m2＋4，y1y2＝－93m

2＋4.∴S△F2AB＝12|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝12m2＋1m2＋2＝4m2＋1m2＋1＋132＝41m2＋1＋23＋1m2＋，令t＝m2＋1≥1，设f(t)＝t＋19t，易知t∈0

，13时，函数f(t)单调递减，t∈13，＋∞时，函数f(t)单调递增，∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f(t)取得最小值，f(t)min＝109，此时S△F2AB取得最大值3.3．(2018·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：

y2＝2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为17.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(

x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)．∵Fp2，0，∴|CF|＝p2＋12＋－2＝17，解得p＝6.∴抛物线E的方程为y2＝12x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由y2＝12x，x＝my＋t，得y2－12my－12t＝0，Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)>0，∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，由OA⊥OB，得OA―→·OB―→＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，整理可得

t2－12t＝0，∵t≠0，∴t＝12，满足Δ>0，符合题意．∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，此时kCP＝1－0－1－12＝－113，得m＝11

3，此时直线l的方程为x＝113y＋12，即13x－y－156＝0.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－12；(2)设F为C的右焦点，P为C上一

点，且FP―→＋FA―→＋FB―→＝0.证明：|FA―→|，|FP―→|，|FB―→|成等差数列，并求该数列的公差．证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1.两式相减

，并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m.①由题设得0<m<32，故k<－12.(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1

，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.又点P在C上，所以m＝34，从而P1，－32，|FP―→|＝32，于是|FA―→|

＝x1－2＋y21＝x1－2＋31－x214＝2－x12.同理|FB―→|＝2－x22.所以|FA―→|＋|FB―→|＝4－12(x1＋x2)＝3.故2|FP―→|＝|FA―→|＋|FB―→|，即|FA―→|

，|FP―→|，|FB―→|成等差数列．设该数列的公差为d，则2|d|＝||FB―→|－|FA―→||＝12|x1－x2|＝12x1＋x22－4x1x2.②将m＝34代入①得k＝－1，所以l的方程为y＝－x＋74，代入C

的方程，并整理得7x2－14x＋14＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得|d|＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B卷——深化提能练1．(2018·胶州模拟)已知椭圆Ω：x2a

2＋y2b2＝1(a>b>0且a，b2均为整数)过点2，62，且右顶点到直线l：x＝4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆Ω交于点A，B，l2与椭圆Ω交于点C，D.求四边形

ACBD面积的最小值．解：(1)由题意，得2a2＋32b2＝1，且|4－a|＝2，若a＝2，则b2＝3；若a＝6，则b2＝2717(舍去)，所以椭圆Ω的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知，点F的坐标为(1,0)．当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB|＝4，|

CD|＝3或者|AB|＝3，|CD|＝4，此时四边形ACBD的面积S＝12×4×3＝6.当l1，l2的斜率均存在时，设直线l1的斜率为k，则k≠0，且直线l2的斜率为－1k.直线l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1k(x－1)．联立y＝kx－，x24＋y2

3＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.由直线l1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2.|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1

＋x22－4x1x2＝1＋k2·8k23＋4k22－4×4k2－123＋4k2＝k2＋3＋4k2.以－1k代替k，得|CD|＝k2＋4＋3k2.所以四边形ACBD的面积S＝12|AB|·|CD|＝k2＋2＋4k2

＋3k2≥k2＋2＋4k2＋＋3k222＝k2＋2k2＋22＝28849，当且仅当k2＝1，即k＝±1时等号成立．由于28849<6，所以四边形ACBD面积的最小值为28849.2．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，定义椭圆C的“相关圆”

方程为x2＋y2＝a2b2a2＋b2.若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．证

明：∠AOB为定值．解：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c＝1.又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b＝c＝1，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1，“相关圆”E的方程为

x2＋y2＝23.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x＝63，A63，63，B63，－63，则∠AOB＝π2.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋m，x22＋y2＝

1，得x2＋2(kx＋m)2＝2，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)>0，即2k2－m2＋1>0，x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－21＋2k2.因为直线l

与“相关圆”E相切，所以|m|1＋k2＝m21＋k2＝23，即3m2＝2＋2k2，所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋k2m2－1＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2＝3m2－2k2－21＋2k2＝0，所以OA―→⊥OB―→，所以∠AOB＝π2.综上

，∠AOB＝π2，为定值．3．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b≥1)的离心率为22，其右焦点到直线2ax＋by－2＝0的距离为23.(1)求椭圆C1的方程；(2)过点P0，－13的直线l交椭圆C1于A，B两点．证明：以AB为直径的圆恒过定点．解：(1)由题意，

e＝ca＝22，e2＝a2－b2a2＝12，a2＝2b2.所以a＝2b，c＝b.又|2ac－2|4a2＋b2＝23，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，故椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)证明：当AB⊥

x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y＋132＝169，由x2＋y2＝1，x2＋y＋132＝169，可得x＝0，y＝1，由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1)．下证Q(0

,1)符合题意．当AB不垂直于坐标轴时，设直线AB方程为y＝kx－13，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x22＋y2＝1，y＝kx－13，得(1＋2k2)x2－43kx－169＝0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝4k＋2k2，x1x2＝－16＋2k2，∴Q

A―→·QB―→＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋kx1－43kx2－43＝(1＋k2)x1x2－43k(x1＋x2)＋169＝(1＋k2)－16＋2k2－43k·4k＋2k2＋169＝－16－16k2－16k

2＋＋2k2＋2k2＝0，故QA―→⊥QB―→，即Q(0,1)在以AB为直径的圆上．综上，以AB为直径的圆恒过定点(0,1)．4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若

△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝24，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的

取值范围．解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的方程为x225＋y216＝1.(2)由x2a2＋y2b2＝1，y＝24x，得b2＋18a2x2－a2b

2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝－a2b2b2＋18a2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为F2A―→＝(x1－3，y1)，F2B―→＝(x2－3，y2)，所以F2A―→·F2B

―→＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝1＋18x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有－a2b2b2＋18a2＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，所以离心率e＝32.(3)由(2)的结论知，椭圆方程

为x212＋y23＝1，由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝y0－y1x0－x1，k2＝y0＋y1x0＋x1，所以k1k2＝y20－y21x20－x21，又y20－y21x20－x21＝31－x2012－31－x2112x20－x21＝－14

，即k2＝－14k1，由－2<k1<－1可知，18<k2<14.即直线PB的斜率k2∈18，14.