【文档说明】高考数学二轮复习课时跟踪检测11“专题三”补短增分综合练 理数（含答案）.doc，共(8)页，219.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测（十一）“专题三”补短增分（综合练）A组——易错清零练1．(2018·洛阳模拟)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为()A.823πB.833πC.863πD．1623π解析：选A将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，

因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为22.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长22，则球O的体积V＝43πR3＝823π，故选A.2.(2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在

同一个球面上，则该球的表面积为()A．4πB．16πC．24πD．25π解析：选C由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝22＋22＋42＝2

6，则R＝6，故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C.3．(2018·陕西模拟)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2B．4＋2

2C．4＋42D．4＋62解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝2，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋22)×2＝

4＋42，故选C.4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图，设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体P­ABC的边长为a2＋a2＝2a，则其表面积为S2＝4×12×2a×

2a×sin60°＝23a2.所以正方体与正四面体的表面积之比为S1∶S2＝6a2∶23a2＝3∶1.答案：3∶1B组——方法技巧练1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．6B．8C．10D．12解析：选D根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图所示．该几何

体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3,2,2的长方体，所以该几何体的体积为2×2×3＝12，故选D.2．(2018·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为12L

2，则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是()A.0，12B．12，1C.0，22D．22，1解析：选D设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝12L2sinθ，而0<sinθ≤1，所以当sinθ＝1，即截面为等腰直

角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L>r≥Lcos45°＝22L，所以22≤rL<1.3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于______

__．解：如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1­ABC的高，AD1＝CD1＝5，AC＝22，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝AD21－AO2＝3.设点B到平面D1AC的距离为h，则由VB­D1AC＝VD1­ABC，即13S△D1AC·h＝13S△ABC·D1D，又S△

D1AC＝12D1O·AC＝12×3×22＝6，S△ABC＝12AB·BC＝12×2×2＝2，所以h＝63.答案：634.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，

点B在线段ED上．(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABC­A1B1C1表面积的最小值．解：(1)由于三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱

，则AA1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．在平行四边形ACDE中，因为AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°.过B作BH⊥AC于H，则BH＝3.若AB⊥BC，

有BH2＝AH·CH.由AC＝4，得AH＝1或3.两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．(2)三棱柱ABC­A1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．显然三棱柱ABC­A1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值

，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可．过B作BH⊥AC于H，则BH＝3.令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[x2＋3＋3＋－x2]．其中x2＋3

＋3＋－x2可以表示动点(x,0)到定点(0，－3)和(4，3)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×12×4×3＋42＋4×27＝43＋87＋16.5.(2018·石家庄模拟)如图，已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底

面ABCD，过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3.(1)证明：PB∥平面ACE；(2)当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．解：(1)证明：由题知四边形ABC

D为正方形，∴AB∥CD，∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD.又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，∴EF∥AB，∴EF∥CD.由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PD，PC的中点．如图，连接BD交AC于点G，则G

为BD的中点，连接EG，则EG∥PB.又EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)∵PA＝2，AD＝AB＝1，∴AC＝2，AE＝12PD＝52，∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PA

D，∴CD⊥PD.在Rt△CDE中，CE＝CD2＋DE2＝32.在△ACE中，由余弦定理知cos∠AEC＝AE2＋CE2－AC22AE·CE＝55，∴sin∠AEC＝255，∴S△ACE＝12·AE·CE·sin∠AEC＝34.设点F到

平面ACE的距离为h，连接AF，则VF­ACE＝13×34×h＝14h.∵DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA＝A，∴DG⊥平面PAC.∵E为PD的中点，∴点E到平面ACF的距离为12DG＝24.又F为PC的中点，∴S△ACF＝12S△ACP＝22，∴VE­ACF＝13

×22×24＝112.由VF­ACE＝VE­ACF，得14h＝112，得h＝13，∴点F到平面ACE的距离为13.C组——创新应用练1．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和

b的线段，则a＋b的最大值为()A．22B．23C．4D．25解析：选C本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为7的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为6，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有x2＋y2＋z2

＝7，x2＋y2＝6，x2＋z2＝a2，y2＋z2＝b2⇒a2＋b2＝8.所以a2＋b22≥a＋b22⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故a＋b的最大值为4.2．(2018·昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳

，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A．63πB．72πC．79πD．99π解析：选A由三视图得，凿去部分是一个半球

与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为12×43π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π.故选A.3．(2018·沈阳质检)在《九章算术》

中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()解析：选A如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则

由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD，PQ⊥QR.设AB＝BD＝CD＝1，CP＝x(0≤x≤1)，则CPAC＝x3＝PQ1，即PQ＝x3，又QR1＝BQBC＝APAC＝3－x3，所以QR＝3－x3，所以PR＝PQ2＋QR2＝x32＋3－x32＝3

32x2－23x＋3，又由题知PR⊥BD，所以f(x)＝362x2－23x＋3＝66x－322＋34，结合选项知选A.4．(2018·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________

．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝9－r2，所以圆锥的体积V＝13πr2h＝13πr29－r2＝13π9r4－r6.设f(r)＝9r4－r6(r>0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝6

，所以当0<r<6时，f′(r)>0，f(r)单调递增，当r>6时，f′(r)<0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f(6)＝108，所以Vmax＝13π×108＝23π.答案：23π5．(2018·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图

中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P­ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝27，PA2＋y2＝102，(27)2＋PA2＝x2，所以xy＝x102－[x

2－72]＝x128－x2≤x2＋－x22＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.答案：646．(2019届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱

台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.(1)证明：直线BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝3，三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝233，求该组合体的体积．解：(1)

证明：由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC＝A，∴BD⊥平面MAC.(2)设刍童ABCD­A1B1

C1D1的高为h，则三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝13×12×2×2×h＝233，∴h＝3，故该组合体的体积V＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋733＝1736.