【文档说明】高考数学（理）刷题小卷练： 19 Word版含解析（含答案）.doc，共(8)页，136.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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刷题增分练19平面向量的数量积及应用刷题增分练⑲小题基础练提分快一、选择题1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题：①AB→＋BA→＝0；②0·AB→＝0；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正确命题的个数是()

A．1B．2C．3D．4答案：A解析：①∵AB→＝－BA→，∴AB→＋BA→＝－BA→＋BA→＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b

|，∴该命题错误；④当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A.2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥

(a－c)，则c＝()A.118，3316B.－118，3316C.118，－3316D.－118，－3316答案：A解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和

平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(

1－x)＝0.②联立①②，解得x＝118，y＝3316，所以c＝118，3316.故选A.3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．

0答案：B解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a＝(2,1)，b＝(m，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝()A.5B．5C.1

0D．10答案：C解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1)·(m，－2)＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b＝(1，－2)，∴a－b＝(1,3)，则|a－b|＝1＋9＝10，故选C.5．[2019·长郡中学选考]在菱形A

BCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则BA→·AC→＝()A．5B．－5C．－10D．－102答案：B解析：设菱形ABCD的对角线交于点M，则BA→＝BM→＋MA→，BM→⊥AC→，MA→＝－12AC→，又AC→＝(3，－1)，所以BA→·AC→＝(BM→＋MA→)·AC→＝－12A

C→2＝－5.6．[2019·沈阳质量检测]已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，3)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为()A．－23B．23C．43D．63答案：B解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－3)·(1，3)＝－3＋3x－

3＝0，即3x＝6，解得x＝23，故选B.7．已知AB→＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A．－322B．－35C.322D．35答案：C解析：因为点C(－1,0)，D

(4,5)，所以CD→＝(5,5)，又AB→＝(2,1)，所以向量AB→在CD→方向上的投影为|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.8．[2019·泰安质检]已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为()A.7

7B.78C.714D.5714答案：D解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－12，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52，又|a|＝1，|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝

7，所以a与2a－b夹角的余弦值为a·2a－b|a|·|2a－b|＝521×7＝5714.二、非选择题9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝23，则|b|＝________.答案：4解析

：∵|2a＋b|＝23，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.10

．[2019·长春质量监测]已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.答案：2解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，

可得夹角均为2π3，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos2π3＋2×1×3×cos2π3＋2×1×3×cos2π3＝4，所以|a＋b＋c|＝2.11．[2019·益阳市、湘潭

市调研]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，3)，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________.答案：－15解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，3)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝

1＋3，∴a·b＝－12，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝－14，∴sinθ＝1－－142＝154，∴tanθ＝sinθcosθ＝－15.12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量m满足m·a＝m·b＝

1，则|m|＝________.答案：213解析：如图，设OA→＝a，OB→＝b，A(1,0)，B(－1，3)．设m＝(x，y)，由m·a＝m·b＝1，得x＝1，－x＋3y＝1，解得x＝1，y＝233.∴|m|＝12＋2332＝

213.刷题课时增分练⑲综合提能力课时练赢高分一、选择题1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()A.35B．±35C．±45D．±925答案：B解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb)·(a－λ

b)＝0，整理可得a2－λ2·b2＝0，即λ2＝|a|2|b|2＝3252＝925，所以λ＝±35，选B.2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→＝()A．5B．4C．3D．2答案：A

解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD→·AC→＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm

＋n)，则实数t的值为()A．3B．－3C．2D．－2答案：B解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，∴cos〈m，n〉＝12.又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×12＋

|n|2＝t3|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故选B.4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC中，G为重心，记a＝AB→，b＝AC→，则CG→＝()A.13a－23bB.13a＋23bC.23a－13bD.23a＋13b答案：A解析：∵G为△ABC的重心，∴AG→＝13(A

B→＋AC→)＝13a＋13b，∴CG→＝CA→＋AG→＝－b＋13a＋13b＝13a－23b.故选A.5．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形ABC中，BC＝3，BN→＝2BM→＝23BC→，则AM→·AN→＝()A．4B.389C．5D

.132答案：D解析：根据题意，AM→·AN→＝AB→＋13BC→AC→＋13CB→＝AB→·AC→＋13AB→·CB→＋13AC→·BC→－19BC→2＝|AB→|·|AC→|cosπ3＋13BC→·(AC→－AB→)－19BC→2＝92＋29BC→2＝13

2.故选D.6．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()A．－1B．2C．1D．－2答案：A解析：根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－

b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.7．[2019·上饶模拟]已知向量OA→，OB→的夹角为60°，|OA→|＝|OB→

|＝2，若OC→＝2OA→＋OB→，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：根据题意，由OC→＝2OA→＋OB→，可得OC→－OB→＝BC→＝2OA→，则|BC→|＝2|

OA→|＝4，由AB→＝OB→－OA→，可得|AB→|2＝|OB→－OA→|2＝OB→2－2OA→·OB→＋OA2＝4，故|AB→|＝2，由AC→＝OC→－OA→＝(2OA→＋OB→)－OA→＝OA→＋OB→，得|AC→|

2＝|OA→＋OB→|2＝OA→2＋2OA→·OB→＋OB→2＝12，可得|AC→|＝23.在△ABC中，由|BC→|＝4，|AB→|＝2，|AC→|＝23，可得|BC→|2＝|AB→|2＋|AC→|2，则△ABC为直角三角形．故选C.8．[2019·

福州四校联考]已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－12，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A．1B.12C.34D.32答案：D解析：解法一∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t

∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－12，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥34，∴|a＋c|≥32，∴|a＋c|的最小值为32，故选D.解法二∵向量a，b为单位向

量，且a·b＝－12，∴向量a，b的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝－12，32，则a＋b＝12，32.∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t1

2，32(t∈R)，∴a＋c＝1＋t2，32t，∴|a＋c|＝1＋t22＋3t24＝t2＋t＋1≥32，∴|a＋c|的最小值为32，故选D.二、非选择题9.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB→·AD→＝________.答案：6

解析：解法一由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，∴AB→·AD→＝AB→·(AC→＋CD→)＝AB→·AC→＋AB→·CD→＝|AB|·|AC→|cos45°＋|AB→|·|CD→|＝cos45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.解法二建立如

图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，∴AB→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB→·AD→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.10．[2019·安徽皖西高中教学联盟模拟]平面向量a满足

(a＋b)·b＝7，|a|＝3，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．答案：π6解析：∵(a＋b)·b＝7，∴a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－4＝3，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝323＝32

，〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝π6.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝sinA2，cosA2，n＝cosA2，－cosA2，且2m·n＋|m|＝22，AB→·

AC→＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积S.解析：(1)因为2m·n＝2sinA2cosA2－2cos2A2＝sinA－(cosA＋1)＝2sinA－π4－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝2sinA－π4＝22，即sinA－π

4＝12.因为0<A<π，所以－π4<A－π4<3π4，所以A－π4＝π6，即A＝5π12.(2)cosA＝cos5π12＝cosπ6＋π4＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4＝6－24，因为AB→·AC→＝bccosA＝1，所以bc＝6＋2.又sinA＝si

n5π12＝sinπ6＋π4＝6＋24，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.