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刷题小卷练37推理与证明小题基础练○37一、选择题1．[2019·重庆马蜀中学月考]用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c，d中恰有一个偶数”时正确的假设为()A．自然数a，b，c，d都是奇数B．自然数a，b，c，d都是偶数C．

自然数a，b，c，d中至少有两个偶数D．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数答案：D解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数．2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合

理的是()A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法答案：B解析：综合法一般由已知条件和某些定义、定理等入手开始证明，分析法是从所要证明的结论入手寻找使其成立的条件，反证法一般先假设原命题不成立，然后得出矛盾

，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，知本题的证明适合采用分析法．3．[2019·洛阳模拟]下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数B．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提—

—π是无限不循环小数，结论——π是无理数C．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数D．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数答案：B解析：A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，

故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.4．[2019·渭南市一模]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1,3,6,10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这

些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为()A．45B．55C．65D．66答案：B解析：由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3＝1＋2个，第3个图中黑点有6＝1＋2＋3个，第4个图中黑点有

10＝1＋2＋3＋4个，„故第10个图中黑点有a10＝1＋2＋3＋„＋10＝10×112＝55个．故选B.5．[2019·大连调研]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2

,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21B．34C．52D．55答案：D解析：由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55

.故选D.6．[2019·安徽省名校联考]某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()

A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇答案：C解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再

根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32

)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为()A．435B．465C．478D．496答案：B解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5

＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表

，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()2017201620152014„„654321403340314029„„

„„11975380648060„„„„„„201612816124„„„„„„„„362820„„„„„„„„„„A．2017×22016B．2018×22015C．2017×22015D．2018×22016答案：B解析：由题意知第1行的最后一个数为2×

2－1，第2行的最后一个数为3×20，第3行的最后一个数为4×21，„„第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2018×22015.二、非选择题9．[2019·潍坊市一模]观察式子1

＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74„，则可归纳出1＋122＋132＋„＋1n＋12<________.答案：2n＋1n＋1(n≥1)解析：根据题意，每个不等式的右边的分母是n＋1.不等式右边的分

子是2n＋1，∴1＋122＋132＋„＋1n＋12<2n＋1n＋1(n≥1)．10．[2019·吉林长春质检]有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张

老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“

哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．答案：8月4日解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知

道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．11．[2019·河北省五校联考]在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,

9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，„，则在这个红色子数列中，由1开始的第2018个数是

________．答案：3972解析：由题意可设第1组的数为1，第2组的数为2,4，第3组的数为5,7,9，„„所以第1组有1个数，第2组有2个数„„根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有nn＋1

2个数．由于2016＝6363＋12<2018<6464＋12＝2080，因此，第2018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9„„第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数为632,632＝396

9，第64组为偶数组，其第1个数为3970，第2个数为3972.12．[2019·河南商丘实验中学模拟]如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S

2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．答案：S1sinα1＝S2sinα2＝S3sinα3解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想S1sinα1＝S2sinα

2＝S3sinα3成立．课时增分练○37一、选择题1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x

)答案：D解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．2．[2019·山东菏泽模拟]设m，n，t都是正数，则m＋4n，n＋4t，t＋4m三个数()A．都大于4B．都小于4C．至少有一个大于4D．至少有一个不小于4答案：D解析：依题意，令m＝n＝t＝

2，则三个数为4,4,4，排除A，B，C选项，故选D.3．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的答案：A解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.4．[

2019·荆州质检]若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；„„按照这样的规

律，则2018所在等式的序号为()A．29B．30C．31D．32答案：C解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，„，2n＋1，其前n项和Sn＝n[3＋2n＋1]2＝n(n＋2)，所以S31＝1023，则第31个等式中最后一个偶数是1023×2＝2046，且第3

1个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2018在第31个等式中．5．[2019·长春调研]分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”，则索的因应是

()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：C解析：要证b2－ac<3a，需证b2－ac<3a2，因为a＋b＋c＝0，所以即证(a＋c)2－ac<3a2，即证a2＋2a

c＋c2－ac－3a2<0，即证－2a2＋ac＋c2<0，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故选C.6．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：

“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案：A解析：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，

故选A.7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆的面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝()A.18

B.19C.164D.127答案：D解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为，故V1V2＝127.8．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，且方程x2＋ax＋b＝0有两个根，求证：方程x

2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根的绝对值不都小于1.以下结论正确的是()A．①与②的假设都错误B．①的假设正确，②的假设错误C．①与②的假设都正确D．①的假设错误，②的假设正确答案：D解析：

对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；易知②中的假设正确，故选D.二、非选择题9．[2019·四川成都七中模拟]如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的，n∈N*，则在第n个图形中共有__

______个顶点．(用n表示)答案：(n＋2)(n＋3)解析：第n个图形是在第(n＋2)边形的基础上每条边加上n＋2个顶点，因此顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．10．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f

(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，„„根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝_____

___.答案：x2n－1x＋2n解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，„，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，„，故其通项公式为bn＝2n.所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(

x))＝x2n－1x＋2n.11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos21

2°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三

角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°

－α)－sinα·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34co

s2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)

－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos60°－2α2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝1

2－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.