【文档说明】高考理数考前20天终极冲刺攻略： 直线与圆 含答案解析.doc，共(11)页，828.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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核心考点解读——直线与圆直线的倾斜角与斜率（II）直线与方程（II）直线的位置关系（II）圆与方程（II）直线与圆、圆与圆的位置关系（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般在选择题、填空题中出现

，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.3.从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与

圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想.1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：[0,π).直线的斜率：πtan()2k；过两点1112

22(,),(,)PxyPxy的直线的斜率为1212yykxx.(2)掌握ππtan([0,)(,π))22k的图象，能够通过倾斜角表示斜率，也能够利用斜率求倾斜角.(3)当π[0,)2时，越大，直线的斜率也越大；当π(,π)2时，越大，直线的斜率也越大.(4

)所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.2.直线与方程(1)点斜式：00()yykxx；斜截式：ykxb；两点式：112121yyxxyyxx；截距式：1(0)xyabab；一般式：0AxByC.(2)能够根据

条件选用合适的直线方程形式表示直线，知道点斜式、斜截式、两点式、截距式的适用条件，并由此考虑特殊情况下的直线是否存在,如在点斜式中，斜率不存在时直线表示为0xx等.3.两条直线的位置关系(1)两条直线的位置关系：相交、平行、重合.能够从直线的斜截式、一般式的角度，结合直线的斜率和截距进行判断；能

够通过联立方程，通过解方程组的角度进行判断.(2)理解直线系方程已知直线:0lAxByC，则与l平行的直线系方程为0()AxBymmC；与l垂直的直线系方程为0BxAyn.已知直线1111:0lAxByC与2222:0lAxByC相交，则过这两条直线的交点的

直线系方程为1112220AxByCAxByC（其中不包括直线2220AxByC）.通过待定系数的方式求解相关直线方程.(3)点到直线的距离已知点111222(,),(,)PxyPxy，则22121212()()PPxxy

y.已知点00(,)Pxy，直线:0lAxByC，则点P到直线l的距离为0022AxByCdAB.理解并掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能作简单的应用.4.圆与方程(1)圆的标准方程：22200()()xxyyr；(2)

圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF.注意：能够从圆的定义理解、推理得到圆的方程.根据圆的标准方程可以直接确定圆的圆心和半径，标准方程与一般方程可以进行互化，知道220xyDxEyF不一定是圆的方程，必须满足条件2240DEF.5.直线与

圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离.(2)判断直线与圆的位置关系的方法：几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r进行比较判断.若dr，则相离；若dr，则相切；若dr，则相交.代数法：将圆的方程与直线的方程联立，消元后，得到关于x或y的方程，通过判别式进行判

断.若0，则相交；若0，则相切；若0，则相离.(3)直线与圆相交所得的弦长i)利用圆心到直线的距离、半径与弦长的一半构造直角三角形求解；ii)将直线的方程与圆的方程联立，结合弦长公式计算.弦长公式：2121221(1)(1)ABkxxyyk.6.圆与圆的位置关

系设两圆心之间的距离为d，两圆半径分别为,Rr，若dRr，则两圆外离；若dRr，则两圆外切；若RrdRr，则两圆相交；若dRr，则两圆内切；若dRr，则两圆内含.1.(2016高考新课标I，理4)圆2228130xyxy的圆心到直线10axy

的距离为1，则a=A．43B．34C．3D．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4xy，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得24111ada，解得43a，故选A．【名师点睛

】直线与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．[KS5UKS5U](2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)

的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有

两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．2.(2016高考新课标III，理16)已知直线l：330mxym与圆2212xy交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于

C，D两点，若23AB,则||CD_________________.【答案】4【解析】因为||23AB，且圆的半径为23r，所以圆心(0,0)到直线330mxym的距离为22||()32ABr，则由2|33|31mm，解得33m，代入直线l的方程，得

3233yx，所以直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，||||4cos30ABCD．【名师点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧

密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．3．（2017高考新课标II，理20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM．（1）求点P的轨迹方程；（2）

设点Q在直线3x上，且1OPPQ．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【解析】（1）设00,,,PxyMxy，设0,0Nx，00,,0,NPxxyNMy．由2NPNM得002,2xxyy．因为00,Mxy在C上，所

以22122xy．因此点P的轨迹方程为222xy．（2）由题意知1,0F．设3,,,QtPmn，则3,,1,,33OQtPFmnOQPFmtn，,,3,OPmnPQmtn．由1OPPQ得2231mmtnn，

又由（1）知222mn，故330mtn．所以OQPF0，即OQPF．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：

直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点

P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．4．（2017高考新课标III，理20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在

圆M上；（2）设圆M过点4,2P，求直线l与圆M的方程.【解析】由22,2xmyyx可得2240ymy，则124yy.又221212,22yyxx，故2121244yyxx

.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1212414yyxx，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.（2）由（1）可得21212122,424yymxxmyym.故圆心M的坐标为22,mm，圆M的半径2222rmm

.由于圆M过点4,2P，因此0APBP，故121244220xxyy，即1212121242200xxxxyyyy，由（1）可得1212

4,4yyxx.所以2210mm，解得1m或12m.当1m时，直线l的方程为20xy，圆心M的坐标为3,1，圆M的半径为10，圆M的方程为223110xy.当12m时，直线l的方程为240xy，圆心M的坐标为91,42

，圆M的半径为854，圆M的方程为2291854216xy.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系

时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部.5．(2016年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M

:221214600xyxy及其上一点A(2，4).（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P

和Q，使得,TATPTQ求实数t的取值范围.【解析】圆M的标准方程为22(6)(7)25xy，所以圆心M(6，7)，半径为5.（1）由圆心N在直线x=6上，可设0(6,)Ny.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以007y，于是圆N的半径为0y，从而0075y

y，解得01y.因此，圆N的标准方程为22(6)(1)1xy.（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为40220.设直线l的方程为y=2x+m，即2x−y+m=0，则圆心M到直

线l的距离2675.55mmd因为222425,BCOA而222(),2BCMCd所以2(5)2555m，解得m=5或m=−15.故直线l的方程为2x−y+5=0或2x−y−15=0.（3）设1122(,),(,).PxyQxy因为(2,4),(,0),AT

tTATPTQ，所以212124xxtyy，①因为点Q在圆M上，所以2222(6)(7)25.xy②将①代入②，得2211(4)(3)25xty.于是点11(,)Pxy既在圆M上，又在圆22[(4)](3)25xt

y上，从而圆22(6)(7)25xy与圆22[(4)](3)25xty有公共点，所以2255[(4)6](37)55,t解得22212221t.因此，实数t的取值范围是[2221,2221].6．(2015高考新课标

II，理7)过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则||MNA.26B.8C.46D.10【答案】C【解析】由已知得321143ABk，27341CBk，所以1

ABCBkk，所以ABCB，即ABC△为直角三角形，所以其外接圆圆心为(1,2)，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25xy，令0x，得262y，所以46MN，故选C.【

名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC△是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN的长，属于中档题．7．(2015高考新课标I，理14)一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，

则该圆的标准方程为.【答案】22325()24xy【解析】一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上.可知椭圆的右顶点坐标为（4，0），上、下顶点坐标（0，±2）.设圆心为(a，0)，则半径为4a，所以222(4)2

aa，解得32a，故圆的方程为22325()24xy.【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点(或右顶点)，由圆的性质知，圆心在x轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，求出圆心坐标，即可写出圆的方

程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.1．（【全国市级联考】广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试数学试题）已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为A．B．C．或D．或2．（云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷（七）数学试题

）若直线平分圆，则的最小值为A．B．2C．D．3．（辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学试题）若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为A．B．C．D．4．（云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统））已知直

线:3lyxm与圆22:36Cxy相交于A、B两点，若22AB，则实数m的值等于A．−7或−1B．1或7C．−1或7D．−7或15．（辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考）已知以点C2,tt（tR，且0t）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于

点O，B，其中O为坐标原点．（1）求证：OAB△的面积为定值；（2）设直线24yx与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程．1．过点(31)P,作圆22:(2)(2)4Cxy的弦，其中最

短的弦长为．2．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线41:32lyx被圆M所截的弦长为3，且圆心M在直线l的下方．（1）求圆M的方程；（2）设(0,),(0,6)(52)AtBtt，若圆M是ABC△的内切

圆，求ABC△的面积S的最大值和最小值．名校预测1．【答案】D【解析】圆的方程整理为标准方程为，作于点，由圆的性质可知△ABC为等腰三角形，其中，则，即圆心到直线的距离为，据此可得：，即，解得：或.故选D．2．【答案】C【解析】将化为，因为直线平分圆，所以，又，则（当且仅当，即时取等号

）.故选C．3．【答案】C【解析】若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C．4．【答案】C【解析】由圆22:36Cxy可知，圆心坐标为0,3，圆半径为6,22,22ABrAB，由勾股定理可知，圆心到直线:3lyxm的距离

为362213m，解得1m或7m.故选C．5．【解析】（1）因为圆C过原点O，所以半径22224||rOCtt，设圆C的方程是222224xtyttt，令0x，得10y，24yt；令0y，得10x，22xt，所以1142422AOBS

OAOBtt△，即OAB△的面积为定值4．（2）因为OMON，CMCN，所以OC垂直平分线段MN．因为2MNk，所以12OCk，所以212tt，解得2t或2t．当2t时，圆心C的坐标为2,1，5OC，此时点C到直线24yx的距离155

d，圆C与直线24yx相交于两点，符合题意；当2t时，圆心C的坐标为2,1，5OC，此时点C到直线24yx的距离955d，圆C与直线24yx不相交，所以2t不符合题意，舍去．所以所求圆C的方程为

22215xy．专家押题1．【答案】22【解析】由题设可知点)1,3(P在圆C内,故当直线PCl时,所求弦长最短,由于211PC,所以所求弦长为24222．故应填22．2.【解析】（1）设圆心(,0)Ma，由已知得圆心M到直线:8630lxy

的距离为22311()22，∴2283128(6)a，又∵圆心M在直线l的下方，∴830a，∴835,1aa．故圆M的方程为22(1)1xy．（2）由题意设AC的斜率为1,kBC的斜率为2k，则直线AC的方程为1

ykxt，直线BC的方程为26ykxt．由方程组126ykxtykxt，得C点的横坐标为0126xkk．∵||66ABtt，∴12121618||62Skkkk

，由于圆M与AC相切，所以121||11ktk，∴2112tkt；同理，221(6)2(6)tkt，∴21223(61)6ttkktt，∴2226(6)16(1)6161

ttStttt，∵52t，∴231t，∴28614tt，∴maxmin1151276(1),6(1)4284SS，∴ABC△的面积S的最大值为152，最小值为274．