【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题10　数学思想 第43练 含答案.doc，共(13)页，165.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第43练函数与方程思想[思想方法解读]1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学

问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当

y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几

何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.体验高考1

.(2015·湖南)已知函数f(x)＝x3，x≤a，x2，x＞a，若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.答案(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数

g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点.①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x>a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分

所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点.③若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与

直线y＝b可能有两个公共点.综上，a<0或a>1.2.(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a＝－3，b＝－

3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案①③④⑤解析令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a

<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要

有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤.3.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1

)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则i＝1m(xi＋yi)等于()A.0B.mC.2mD.4m答案B解析方法一特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝x＋1x，解

得两个点的坐标为x1＝－1，y1＝0x2＝1，y2＝2此时m＝2，所以i＝1m(xi＋yi)＝m，故选B.方法二由题设得12(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，1)对称，则y＝f(

x)的图象关于点(0，1)对称.又y＝x＋1x＝1＋1x，x≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)成对，且关于点(0，1)对称.则i＝1m(xi，

yi)＝i＝1mxi＋i＝1myi＝0＋m2×2＝m，故选B.高考必会题型题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1(2016·天津)已知函数f(x)＝x2＋4a－3x＋3a，x<0，lo

gax＋1＋1，x≥0(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.0，23B.23，34C.13，

23∪34D.13，23∪34答案C解析由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a<1.又由f(x)在R上单调递减，则02＋4a－3·0＋3a≥f0＝1，3－4a2≥0⇒13≤a≤34.如图所示，在同一坐标

系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象.由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解.故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x同样有且仅有一个解.当3a>2，即a>23时，由

x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝34或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即13≤a≤23时，由图象可知，符合条件.综上所述，a∈

13，23∪34.故选C.点评函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝

x2＋2，x∈[0，1，2－x2，x∈[－1，0，且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝2x＋5x＋2，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实根之和为()A.－5B.－6C.－7D.－8答案C

解析g(x)＝2x＋5x＋2＝2x＋2＋1x＋2＝2＋1x＋2，由题意知函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5，1]上的图象如图所示：由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)＝g(x)在x∈[－5，1]上有三个根x

A、xB、xC，xB＝－3，xA＋xC2＝－2，xA＋xC＝－4，∴xA＋xB＋xC＝－7.题型二函数与方程思想在不等式中的应用例2定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式fxex<1的解集为()A.(－∞，0)B.(0，＋∞

)C.(－∞，2)D.(2，＋∞)答案B解析构造函数g(x)＝fxex，则g′(x)＝ex·f′x－ex·fxex2＝f′x－fxex.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝fxex在

R上单调递减.又g(0)＝f0e0＝1，所以fxex<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞).故选B.点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的

数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2已知f(x)＝log2x，x∈[2，16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2＋mx＋4>2m＋4x恒

成立的实数x的取值范围为()A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析∵x∈[2，16]，∴f(x)＝log2x∈[1，4]，即m∈[1，4].不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，设g

(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在[1，4]上恒大于0，所以g1>0，g4>0，即x－2＋x－22>0，4x－2＋x－22>0，解得x<－2或x>2.题型三函数与方程思想在数列中的应用例3已知数列{an}是首项为2

，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等比数列，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋„＋1S2n(其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.解因为a1＝2，a2

3＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.因为Sn＝n(n＋1)，bn

＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋„＋1S2n＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋„＋12n2n＋1＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋„＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3.令f(x)＝

2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)m

ax＝16，所以实数k的最小值为16.点评数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征.第二步

：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)

Sn＜nSn＋1(n∈N*).若a8a7＜－1，则()A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7答案D解析由条件得Snn＜Sn＋1n＋1，即na1＋an2n＜n＋1

a1＋an＋12n＋1，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列.又a8a7＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.题型四函数

与方程思想在解析几何中的应用例4椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP→＝3PB→.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，设c

>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝2，ca＝22，所以a＝1，b＝c＝22.故椭圆C的方程为y2＋x212＝1，即y2＋2x2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，也满足AP→＝3PB→，此时m

＝±12.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋m，2x2＋y2＝1，得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0

，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2.因为AP→＝3PB→，所以－x1＝3x2，所以x1＋x2＝－2x2，x1x2＝－3x22.则3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，即3

·－2kmk2＋22＋4·m2－1k2＋2＝0，整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋2m2－2＝0，当m2＝14时，上式不成立；当m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0

，所以k2＝2－2m24m2－1>0，解得－1<m<－12或12<m<1，综上，所求m的取值范围为－1，－12∪12，1.点评利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程.第二步：求解判别式Δ.第三步：

代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围.第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无

论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练4已知点F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，点P为椭圆上一点

，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是____________.答案33，22解析设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－b

2a2x2代入①式解得x2＝2c2－b2a2c2＝3c2－a2a2c2，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝ca∈33，22.高考题型精练1.关于x的方程3x＝a2＋2a，在

(－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是()A.[－2，－1)∪(0，1]B.[－3，－2)∪[0，1]C.[－3，－2)∪(0，1]D.[－2，－1)∪[0，1]答案C解析当x∈(－∞，1]时，3x∈(0，3]，要使

3x＝a2＋2a有解，a2＋2a的值域必须为(0，3]，即0<a2＋2a≤3，解不等式可得－3≤a＜－2或0＜a≤1，故选C.2.设函数f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e－1B.2－2eC.1＋2e2D.1－

1e答案D解析因为f(x)≤0有解，所以f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0，a≥x3－3x＋3－xex＝F(x)，F′(x)＝3x2－3＋x－1ex＝(x－1)(3x＋3＋e－x)，令G(x)＝3x＋3＋e－x，G′(x)＝3

－e－x，3－e－x＝0，x＝－ln3，G(x)最小值G(－ln3)＝6－3ln3>0，F(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，F(x)的最小值为F(1)＝1－1e，所以a≥1－1e，故选D.3.已知f(x

)＝x2－4x＋4，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，„，fn(x)＝f(fn－1(x))，函数y＝fn(x)的零点个数记为an，则an等于()A.2nB.2n－1C.2n＋1D.2n或2n－1答案

B解析f1(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，有1个零点2，由f2(x)＝0可得f1(x)＝2，则x＝2＋2或x＝2－2，即y＝f2(x)有2个零点，由f3(x)＝0可得f2(x)＝2－2或2＋2，则

(x－2)2＝2－2或(x－2)2＝2＋2，即y＝f3(x)有4个零点，以此类推可知，y＝fn(x)的零点个数an＝2n－1.故选B.4.已知函数f(x)＝lnx－14x＋34x－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立

，则实数b的取值范围为____________.答案－∞，142解析问题等价于f(x)min≥g(x)max.f(x)＝lnx－14x＋34x－1，所以f′(x)＝1x－14－34x2＝4x－x2－3

4x2，令f′(x)>0得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，故函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，

所以f(x)min＝f(1)＝－12.由于函数g(x)＝－x2＋2bx－4，x∈[1，2].当b<1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时；g(x)max＝g(b)＝b2－4；当b>2时，g(x)max＝g(2)＝4b－8.故问题等价于b<1，－12≥2b－5或

1≤b≤2，－12≥b2－4或b>2，－12≥4b－8.解第一个不等式组得b<1，解第二个不等式组得1≤b≤142，第三个不等式组无解.综上所述，b的取值范围是－∞，142.5.满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是_____

___.答案22解析可设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝x1－cos2B，由余弦定理计算得cosB＝4－x24x，代入上式得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12216.由2x＋x>2，x＋2>2x，得22－2<x<22＋2.故

当x＝23时，S△ABC有最大值22.6.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.答案[1，＋∞)解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由y

＝x2，x2＋y－a2＝a，得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，则由题意得a>0，a－1≥0，解得a≥1.7.设函数f(x)＝lnx＋ax－1(a为常数).(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实

数a的值；(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，由f(x)＝lnx＋ax－1得f′(x)＝1x－ax－12，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f

′(2)＝0，即12－a2－12＝0，所以a＝12.(2)因为f′(x)＝1x－ax－12＝x2－2＋ax＋1xx－12，若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点

，令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1.设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1，不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)，若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，即y＝

φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以β>e，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0，解得a>e＋1e－2，所以实数a的取值范围是(e＋1e－2，＋∞).8.已知f(x)＝ex－ax－1

.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.解(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，当a≤0时，f′(x)

>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(lna，＋∞).(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成

立.∵当x∈R时，ex>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].9.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的

面积为103时，求k的值.解(1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得b＝2.所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由y＝kx－1，x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2.所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝21＋k2

4＋6k21＋2k2.又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2.由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.所以k的值为1或－1.10.已

知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn＝an＋log21an，Sn＝b1＋b2＋„＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值.解(1)设等比数列{an}的首项为

a1，公比为q，依题意，有2a1＋a3＝3a2，a2＋a4＝2a3＋2，即a12＋q2＝3a1q，①a1q＋q3＝2a1q2＋4.②由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意.舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，

所以an＝2×2n－1＝2n.(2)bn＝an＋log21an＝2n＋log212n＝2n－n.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋„＋2n－n＝(2＋22＋23＋„＋2n)－(1＋2＋3＋„＋n)＝21－2n1

－2－n1＋n2＝2n＋1－2－12n－12n2.因为Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成

立的正整数n的最小值为10.