【文档说明】2020高考数学刷题首秧专题突破练7概率与其他知识的交汇 (文数)含解析.doc，共(13)页，189.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题突破练(7)概率与其他知识的交汇一、选择题1．(2018²太原五中测试)在区间[1，5]上随机地取一个数m，则方程4x2＋m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是()A．15B．14C．35D．34答案

B解析由方程4x2＋m2y2＝1，即x214＋y21m2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得14<1m2，即m2<4，而1≤m≤5，则1≤m＜2，则所求概率为2－15－1＝14．故选B．2．(2018²湖南六

校联考)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．11

2B．18C．16D．524答案C解析设AB＝2，则BG＝1，AG＝5，故多边形AEFGHID的面积S＝(5)2³2＋12³2³2＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝ABAG＝25，所以S阴影部分＝12³AE³AB³sin∠EAB＝2，故所求概率P＝

212＝16．故选C．3．(2018²石家庄一模)函数f(x)＝2x(x<0)，其值域为D，在区间(－1，2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是()A．12B．13C．14D．23答案B解析因为函数f(x)＝2x(x<0)的值域为(0，1)，即D＝(0

，1)，则在区间(－1，2)上随机取一个数x，x∈D的概率P＝1－02－－1＝13．故选B．4．(2018²广东三校联考)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取一个数，

则该函数有两个极值点的概率为()A．79B．13C．59D．23答案D解析将a记为横坐标，b记为纵坐标，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9个基本事件，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实

根．因为f′(x)＝x2＋2ax＋b2，满足题中条件为Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以满足条件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6个基本事件，所以所求的概率为P＝69＝23．故选D．5．(2018²湖北

部分重点中学联考二)已知实数a，b是利用计算机产生的0～1之间的均匀随机数，设事件A为“(a－1)2＋b2>14”，则事件A发生的概率为()A．π16B．1－π16C．π4D．1－π4答案B解析分别以a，b为横轴和纵轴建立平面直角坐标系，则符合题意的实数对(a

，b)表示的平面区域为边长为1的正方形及其内部，其中使得事件A不发生的实数对(a，b)表示的平面区域为以(1，0)为圆心，半径为12的四分之一个圆及其内部，则事件A发生的概率为1－π4³1221＝1－π16．故选B．6．(20

18²江西重点中学盟校联考一)如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M，N分别为OA，OB的中点，在M，N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是()A．1－2

πB．12－1πC．2－4πD．1π答案B解析设以OA，OB为直径的两个圆相交于点C，由题意，OA的中点是M，则∠CMO＝90°，设扇形OAB的半径为OA＝r，则S扇形OAB＝14πr2，S半圆OAC＝18πr2，S△OMC＝

12³r2³r2＝r28，所以能够同时收到两个基站信号部分的面积为212S半圆OAC－S△OMC＝πr28－r24，所以所求概率为πr28－r2414πr2＝12－1π．故选B．7．(2018²山西考前适应训练)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内

某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A．18B．14C．38D．58答案C解析设甲、乙到达约会地点的时刻分别是x，y，则取值范围为7：00≤x≤7：20，7：05≤y≤7：20，对应区域是以20和15为边长

的长方形，其中甲至少需等待乙5分钟满足y－x≥5，对应区域是以15为直角边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示)，则所求概率为12³15³1520³15＝38．故选C．二、填空题8．(201

9²成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲>x乙的概率是________．答案25解析乙的综合测评成绩为86，87，91，92，94，x乙＝86＋87＋91＋92＋945＝90，污损处可取数

字0，1，2，„，9，共10种，而x甲>x乙发生对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x甲>x乙的概率为410＝25．9．(2018²安徽联考)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y

＝3平行的概率为P1，不平行的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝6572的内部，则实数m的取值范围是________．答案－16<m<13解析由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，满足条件的(a，b)为(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6³6＝36

种，∴P1＝112，P2＝1112，∴112－m2＋11122<6572，解得－16<m<13．10．(2018²福州毕业质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的

扇形的半径都为1．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是________．答案6－3π6解析由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积，此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积，从而所求概率

为P＝2³12³2³2sin60°－π³122³12³2³2sin60°＝6－3π6．三、解答题11．(2018²湖北八市联考)我们经常听到这种说法：“如果数学学得好，物理就没有什么大的问题了”，为了验证这句话的科学性，某班甲

、乙两位同学根据高中所学的统计知识，用两种不同的方案对班上学生的数学、物理成绩进行了统计和分析，请补充完成他们的工作．(1)甲调查了班上6名同学某次考试的数学和物理成绩，得到下面的表格：123456数学成绩x130120109959080物理成绩y918576686355甲通过画

出散点图和计算相关系数发现，y与x有一定的线性相关关系，并设回归直线方程为y^＝a^x＋b^，且根据表中数据求得a^＝0．714，求出b^的值；若从参与调查数学成绩不低于90分的同学中随机抽取两名，则他们的物理成绩均超过

70分的概率为多少？(2)乙同学统计全班60名学生的数学、物理成绩情况，了解到班上数学成绩好的同学有36人，物理成绩好的有30人，数学和物理都好的有24人，填写下列2³2列联表，并判断有没有99%的把握认为物理

成绩的好与不好和数学成绩有关？物理成绩好物理成绩不好总计数学成绩好数学成绩不好总计附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(n＝a＋b＋c＋d)．P(K2≥k0)0．0500．0250．0100．0050

．001k03．8415．0346．6357．87910．828解(1)通过计算易得x＝104，y＝73，回归直线y^＝a^x＋b^一定经过点(x，y)，又a^＝0．714，代入可得b^＝－1．256；记参与调查的6名同学中5名数学

成绩不低于90分的同学从左到右依次为a，b，c，d，e，从中随机抽取2名有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种情况，而同

时物理成绩均超过70分的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种情况，故所求概率为310．(2)填写2³2列联表如下：物理成绩好物理成绩不好总计数学成绩好241236数学成绩不好61824总计303060由公式可得K2＝60³24³18－12

³6236³24³30³30＝10>6．635，故有99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关．12．(2018²湖南雅礼中学月考八)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市

场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2018年4月份的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有

采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆

进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限车型1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使

用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的均值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：∑6i＝1(xi－x)(yi－y)＝35，∑6i＝1(xi－x)2＝17．5．参考公式：回归直线方程为

y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2，a^＝y－b^x．解(1)由题意，x＝3．5，y＝16，b^＝3517.5＝2，a^＝y－b^x＝16－2³3．5＝9，

∴y^＝2x＋9，当x＝7时，y^＝2³7＋9＝23，即预测M公司2018年4月份(即x＝7时)的市场占有率为23%．(2)由频率估计概率，每辆A款车可使用1年、2年、3年、4年的概率分别为0．2，0．35，0．35，0．1．∴每

辆A款车的利润均值为(500－1000)³0．2＋(1000－1000)³0．35＋(1500－1000)³0．35＋(2000－1000)³0．1＝175(元)；每辆B款车可使用1年、2年、3年、4年的概率分别为0．1，0．3

，0．4，0．2，∴每辆B款车的利润均值为(500－1200)³0．1＋(1000－1200)³0．3＋(1500－1200)³0．4＋(2000－1200)³0．2＝150(元)，∵175>150，∴应该采购A款车．•第三部分数学思想专练•函数与方程思想专练一、选择题1．椭圆x

24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝()A．32B．3C．72D．4答案C解析如图，令|F1P|＝r1，|F2P|＝r2，那么r1＋r2＝2a＝4，r22－r21＝2c2＝12⇒

r1＋r2＝4，r2－r1＝3⇒r2＝72．故选C．2．(2018²湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()

A．14B．18C．－78D．－38答案C解析依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78．故选C．3．设a>1，若对于任意的

x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1<a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}答案B解析依题意得y＝a3x，

当x∈[a，2a]时，y＝a3x∈12a2，a2⊆[a，a2]，因此有12a2≥a，又a>1，由此解得a≥2．故选B．4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0答案B解析原不等式可变形为2

x－5－x≤2－y－5y．即2x－15x≤2－y－15－y．故设函数f(x)＝2x－15x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0．故选B．5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，B

C的长度大于1米，且AC比AB长0．5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为()A．1＋32米B．2米C．(1＋3)米D．(2＋3)米答案D解析由题意，设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，则AB＝AC－0．5＝(

t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC²BCcos60°，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝x2－0.25x－1(x>1)，即t＝x－1＋0.75x－1＋2，因x>1，故t＝x－1＋0.75x－1＋2≥2＋3当且

仅当x＝1＋32时取等号，此时t取最小值2＋3．故选D．二、填空题6．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．答案(－∞，－22]∪[22，＋∞)解析由S5S6＋15＝0得(5a1

＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－22或d≥22．7．若存在两个正实数x，y，使得等式x3eyx－ay3＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最小值为_______

_．答案e327解析由题意知a＝eyxyx3，设yx＝t(t>0)，则令f(t)＝ett3，则f′(t)＝ett－3t4，当t>3时，f′(t)>0，当0<t<3时，f′(t)<0，所以f(t)min＝f(3)＝e327，则a≥e327，即amin＝e327．8．满

足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．答案22解析可设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝x1－cos2B，由余弦定理计算得cosB＝4－x24x，代入上式得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12

216．由2x＋x>2，x＋2>2x，得22－2<x<22＋2．故当x＝23时，S△ABC最大值为22．三、解答题9．在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，AB＝6，AD＝32，AC＝4．(1)利用正弦定理证明

：ABAC＝BDDC；(2)求BC的长．解(1)证明：由正弦定理知，在△ABD中，ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，①在△ADC中，ACsin∠ADC＝DCsin∠DAC，②由∠ADB＋∠ADC＝π，∠BAD＝∠DAC，得sin∠ADB＝sin∠ADC，sin∠B

AD＝sin∠DAC，①÷②得ABAC＝BDDC．(2)由(1)知BDDC＝ABAC＝32，设BD＝3x，DC＝2x(x>0)，则BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知9x2＋18－36182x＋4x2＋18－16122x＝0，解得x＝1，所以BC＝5

．10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5＝20，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn为数列1anan＋1的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥

0成立，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{an}的公差为d，则5a1＋5³42d＝20，a1＋2d2＝a1a1＋6d，即a1＋2d＝4，2d2＝a1d，又因为d≠0，所以a1＝2，d＝1，

所以an＝n＋1．(2)因为1anan＋1＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，所以Tn＝12－13＋13－14＋„＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋2．因为存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，所以存在n∈N*，使得n2n＋2－λ(

n＋2)≥0成立，即存在n∈N*，使λ≤n2n＋22成立．又n2n＋22＝12n＋4n＋4，且12n＋4n＋4≤116(当且仅当n＝2时取等号)，所以λ≤116．即实数λ的取值范围是－∞，116．11．设函数f(

x)＝lnx＋ax－1(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1

，＋∞)，由f(x)＝lnx＋ax－1得f′(x)＝1x－ax－12，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f′(2)＝0，即12－a2－12＝0，所以a＝12．(2)因为f′(x)＝1x－ax－12＝x

2－2＋ax＋1xx－12，若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1．设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1，不妨设β>α，则α∈(0，1)

，β∈(1，＋∞)，若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，即y＝φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以β>e，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0，解得a>e＋1e－2，所以实数a的取值范围是e＋1e－2，＋∞．12．(2018²

河南联考)在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数22，记M的轨迹为T．(1)求轨迹T的方程；(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在

轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数22，得x＋12＋y2|x＋2|＝22，整理得x22＋y2＝1，∴轨迹T的方程为x

22＋y2＝1．(2)假设存在直线m，设直线m的方程为x＝ky－1，由x＝ky－1，x22＋y2＝1消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2kk2＋2，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－4k2＋2，∴线段AB的中点H的

坐标为－2k2＋2，kk2＋2．∵PQ⊥AB，∴直线PQ的方程为y－kk2＋2＝－kx＋2k2＋2，令y＝0，解得x＝－1k2＋2，即P－1k2＋2，0．设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称，∴－2k2＋

2＝12x0－1k2＋2，kk2＋2＝12(y0＋0)，解得x0＝－3k2＋2，y0＝2kk2＋2，即Q－3k2＋2，2kk2＋2．∵点Q在椭圆上，∴－3k2＋22＋22kk2＋22＝2，解

得k2＝12于是1k2＝2，即1k＝±42，∴直线m的方程为y＝42x＋42或y＝－42x－42．