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刷题小卷练17平面向量的基本定理及坐标表示小题基础练⑰一、选择题1．[2019·昆明调研]已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝()A.2B．2C.10D．10答案：C解析：由已知，易

得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝－32＋12＝10.故选C.2．[2019·桂林模拟]下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，

e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34答案：B解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，故选B.3．

如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1

μ2.④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②答案：B解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于

③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.4．[2019·天津红桥区模拟]若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b的坐标为()A．(1,5)B．(1,1)C．(3,1)D．(3,5)答案：A解析：∵向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，∴a＋b＝(

1,5)．故选A.5．[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案：A解析：作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→

＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.6．[2019·吉林一中等五校模拟]已知向量a＝13，tanα，b＝(cosα，1)，α∈π2，π，且a∥b，则sin

α－π2＝()A．－13B.13C.223D．－223答案：C解析：因为向量a＝13，tanα，b＝(cosα，1)，且a∥b，所以13＝tanαcosα＝sinα.因为α∈π2，π，所以sinα－π2＝－cosα＝1－sin2α＝22

3.故选C.7．[2019·宜昌模拟]已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB→同方向的单位向量是()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.

－45，35答案：A解析：因为AB→＝(3，－4)，所以与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.8．若A，B，C，D四点共线，且满足AB→＝(3a,2a)(a≠0)，CD→＝(2，t)，则t等于()A.34

B.43C．3D．－3答案：B解析：因为A，B，C，D四点共线，所以AB→∥CD→，故3a·t＝2a·2，t＝43.故选B.二、非选择题9．在平面直角坐标系xOy中，已知a＝(3，1)，若将向量－2a绕坐标原点O逆时针旋转120°得到向量b，则b的

坐标为________．答案：(23，－2)解析：因为a＝(3，1)，所以－2a＝(－23，－2)，如图所示，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a绕坐标原点O逆时针旋转120°得到向量b，由图可知，b在第四象限，且与x轴正半轴的夹角β＝3

0°，所以b＝(23，－2)．10．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________________.答案：－6解析：由题意知－2m－12＝0，m＝－6.11．设向量a，b满

足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案：(－4，－2)解析：因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，所以设a＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a|＝25.所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a＝(－4，－2)．12．已

知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，AP→＝AB→＋tAC→(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．答案：(－5，－3)解析：设点P(x，y)，则由AP→＝AB→＋tAC→(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(

1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以x－2＝1＋t，y－1＝4＋t，解得x＝3＋t，y＝5＋t，由点P在第二象限，得x＝3＋t<0，y＝5＋t>0，解得－5<t<－3，所以实数t的取值范围为(－5，－3)．课时增分练⑰一、选择题1

．已知向量a＝(－3，－4)，则下列能使a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)成立的一组向量e1，e2是()A．e1＝(0,0)，e2＝(－1,2)B．e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)D．e1＝

－12，1，e2＝(1，－2)答案：C解析：作为基底，其应该满足的条件为不共线向量．A中，零向量与任意向量共线；B中，e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)共线；C中，e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)不共线；D中，

e1＝－12，1，e2＝(1，－2)共线．2．已知向量AB→与向量a＝(1，－2)反向共线，|AB→|＝25，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为()A．(1,0)B．(0,1)C．(5，－8)D．(－8,5)答案：A解析：依题意，设AB→＝λa，

其中λ<0，则有|AB→|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，∴λ＝－2，AB→＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，故选A.3．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上

，则向量a可用基底e1，e2表示为()A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2答案：B解析：由题意可取e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，设a＝xe1＋ye2＝x(1

,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，则x－y＝－3，y＝1，解得x＝－2，y＝1，故a＝－2e1＋e2.4．[2019·重庆第八中学适应性考试(一)]已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)∥b，

则m＝()A．－23B.23C．－8D．8答案：A解析：由题意得a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)∥b，所以43＝m－2－2，解得m＝－23.故选A.5．[2019·湖南省五校联考]已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中OA→·OB→＝0，存在实数λ，μ满足OC→＋λOA→

＋μOB→＝0，则实数λ，μ的关系为()A．λ2＋μ2＝1B.1λ＋1μ＝1C．λμ＝1D．λ＋μ＝1答案：A解析：解法一取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时易得λ＝μ＝22，只有A符合．故选A.解法二依题意得|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝1，－OC→＝λOA→＋

μOB→，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A.6.如图，OC→＝2OP→，AB→＝2AC→，OM→＝mOB→，ON→＝nOA→，若m＝38，那么n等于()A.12B.23C.34D.45答案：C解析：因为AB

→＝2AC→，所以C为AB中点，故OC→＝12OA→＋12OB→＝2OP→，所以OP→＝14OA→＋14OB.由OM→＝mOB→，ON→＝nOA→，所以OB→＝1mOM→，OA→＝1nON→，所以OP→＝14mOM→＋14nON→，因为M，P，N三点共线，故14m＋14n＝1，当m＝38时

，n＝34.故选C.7．[2019·安徽淮南模拟]已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC分别交于点M，N，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x，y>0)，则3x＋y的最小值是()A.83B.72C.52D.43＋233答案：D解析

：如图．AC→＝1yAN→，AB→＝1xAM→，又∵AG→＝13AB→＋13AC→，∴AG→＝13xAM→＋13yAN→，又∵M，G，N三点共线，∴13x＋13y＝1.∵x>0，y>0，∴3x＋y＝(3x＋y)13x＋13y＝1＋13＋y3x＋xy≥43＋2

33.当且仅当y＝3x时取等号．故选D.8．[2019·福建质量检测]正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的关系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5

－12.下列关系中正确的是()A.BP→－TS→＝5＋12RS→B.CQ→＋TP→＝5＋12TS→C.ES→－AP→＝5－12BQ→D.AT→＋BQ→＝5－12CR→答案：A解析：由题意，知BP→－TS→＝TE→－TS→＝SE→，R

SSE＝PTAT＝5－12，所以SE→＝5＋12RS→，故A正确；CQ→＋TP→＝PA→－PT→＝TA→＝5＋12ST→，故B错误；ES→－AP→＝RC→－QC→＝RQ→＝5－12QB→，故C错误；因为AT→＋BQ→＝SD→＋RD

→，5－12CR→＝RS→＝RD→－SD→，若AT→＋BQ→＝5－12CR→成立，则SD→＝0，不合题意，故D错误．故选A.二、非选择题9.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD→＝a，AB→＝b，若AB→＝2DC→，则AO→＝________(用向量a和b表示)．答案

：23a＋13b解析：由AB→＝2DC→知，AB∥DC且|AB→|＝2|DC→|，从而|BO→|＝2|OD→|.所以BO→＝23BD→＝23(AD→－AB→)＝23(a－b)，所以AO→＝AB→＋BO→＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.10．[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a＝(1,2)，b＝(

2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.答案：12解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.11．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零

向量，AB→＝2e1＋e2，BE→＝－e1＋λe2，EC→＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求BC→的坐标；(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABC

D四点构成平行四边形，求点A的坐标．解析：(1)AE→＝AB→＋BE→＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得AE→＝kEC→，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.∵e1，e

2是平面内两个不共线的非零向量，∴1＋2k＝0，λ＝k－1，解得k＝－12，λ＝－32.BC→＝BE→＋EC→＝－3e1－12e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(2)∵ABCD四点构成平行四边形，∴AD→＝BC→.设A

(x，y)，则AD→＝(3－x,5－y)，又BC→＝(－7，－2)，∴3－x＝－7，5－y＝－2，解得x＝10，y＝7，点A(10,7)．