【文档说明】高考数学（理科）考前抢分必做 压轴大题突破练（二）含答案.doc，共(4)页，71.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1.(2016·浙江)如图，设椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线

段为AM，由y＝kx＋1，x2a2＋y2＝1，得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－2a2k1＋a2k2，因此|AM|＝1＋k2|x1－x2|＝2a2|k|1＋a2k2·1＋k2.(2

)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝2a2|k1|1＋k211＋a2k21，|AQ|＝2a2|k2|1＋k221＋a2k22，故2a2

|k1|1＋k211＋a2k21＝2a2|k2|1＋k221＋a2k22，所以(k21－k22)[1＋k21＋k22＋a2(2－a2)k21k22]＝0.由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k21＋k22＋a2(2－a2)

k21k22＝0，因此1k21＋11k22＋1＝1＋a2(a2－2).①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞2.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤2，由e＝

ca＝a2－1a，得0<e≤22.所求离心率的取值范围是(0，22].2.已知过点Mp2，0的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA→·OB→＝－3，其中O为坐标原点.(1)求p的值；(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程

.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋p2.联立x＝my＋p2，y2＝2px消去x，得y2－2pmy－p2＝0.∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.∵OA→·OB→＝－3，∴x1x2＋y1y2＝－3.又x1x2＝y212p·y222p＝p24，∴p24－

p2＝－3⇒p2＝4.∵p>0，∴p＝2.(2)由抛物线定义，得|AM|＝x1＋p2＝x1＋1，|BM|＝x2＋p2＝x2＋1，∴|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥24x1x2＋5＝9，当且仅当x1＝4x2时取等号.

将x1＝4x2代入x1x2＝p24＝1，得x2＝12(负值舍去).将x2＝12代入y2＝4x，得y2＝±2，即点B12，±2.将点B代入x＝my＋1，得m＝±24.∴直线l的方程为x＝±24y＋1，即4x±2y－4＝0.3

.已知动点S(x，y)到直线l：x＝22的距离是它到点T(2，0)的距离的2倍.(1)求动点S的轨迹C的方程；(2)设轨迹C上一动点P满足：OP→＝λOM→＋2μON→，其中M，N是轨迹C上的点，直线OM与ON的斜率之积为－12，若Q(λ，μ)为一动点，E1(－32，0)，E2(32，

0)为两定点，求|QE1|＋|QE2|的值.解(1)点S(x，y)到直线x＝22的距离，是到点T(2，0)的距离的2倍，则|x－22|＝2(x－2)2＋y2，化简得x24＋y22＝1.所以轨迹C的方程为x24＋y22＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则OP

→＝λOM→＋2μON→，即x＝λx1＋2μx2，y＝λy1＋2μy2，因为点P，M，N在椭圆x24＋y22＝1上，所以x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，x2＋2y2＝4，故x2＋2y2＝λ2(x21＋2y21)＋4μ2(x2

2＋2y22)＋4λμ(x1x2＋2y1y2)＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x1x2＋2y1y2)＝4，设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，kOM·kON＝y1y2x1x2＝－12，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，所以点

Q是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，而E1，E2恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE1|＋|QE2|＝2.4.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(－1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(－4，0)作斜率为

k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.①证明：k·kON为定值；②是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解由已知可得：曲线C是以两定点F1(－1，0)和F2(1，0)

为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a＝2，c＝1⇒b＝a2－c2＝3，故曲线C的方程为x24＋y23＝1.(2)证明设过点M的直线l的方程为y＝k(x＋4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)(x2>x1).①联立方程组y＝k(x＋4

)，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，则x1＋x2＝－32k24k2＋3，x1x2＝64k2－124k2＋3.故xN＝x1＋x22＝－16k24k2＋3，yN＝k(xN＋4

)＝12k4k2＋3.所以kON＝－34k，所以k·kON＝－34为定值.②解若F1N⊥AC，则kAC·kF1N＝－1，因为F1(－1，0)，kF1N＝12k4k2＋3－16k24k2＋3＋1＝4k1

－4k2，因为A(－2，0)，kAC＝y2x2＋2，故y2x2＋2·4k1－4k2＝－1，代入y2＝k(x2＋4)得x2＝－2－8k2，y2＝2k－8k3，而x2≥－2，故只能k＝0，显然不成立，所以这样的直线不存在.