【文档说明】福建省宁德市2020届高三普通高中毕业班5月质量检查 数学（理）（含答案）.doc，共(14)页，735.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）理科数学本试卷共23题，共150分，共6页．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用

2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5

分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|ln0}Axx，{|1}Bxx，则ABRIð=A．{|11}xxB.{|01}xxC.{|11}xxD.{|1}xx2．设等差数列{}na的前n项和为nS，若33a，713a，则9SA．36B

．70C．72D．1443．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学

家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为A.己巳B.庚午C.壬戌D.癸亥4．5112xx的展开式中，3x的系数是A．50B．30C．50D．30开始输入N是否1ii输出x60x结束1i360*xNi六十干支表（

部分）567戊辰己巳庚午585960辛酉壬戌癸亥5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．9C．12D．366．已知,02，且3sin2cos21，则cosA．0B．12C．32D．0或3

27．在复平面内O为坐标原点，复数1i(3i)z，123izz对应的点分别为1Z，2Z，则12ZOZ的大小为A．512B．12C．712D．11128．函数()ln0fxaxx()aÎR恒成立的一个充分不必要条件是A．1,ea

B．0,aC．1,aD．(,e]a9．已知O为坐标原点，AB是:C22(3)(4)1xy的直径．若点Q满足2OQ，则QAQB的最小值为A．2B．3C．8D．1510．方程22:2

(1)(3)eexxxxy的曲线有下列说法：①该曲线关于2x=对称；②该曲线关于点(2,1)对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A．②③B．①④C．②④D．①③11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形

EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为A．16B．12C．8D．612．双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，

O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在12FPF外角平分线上，且20FMPMuuuuvuuuv．若2OFM恰为顶角为120o的等腰三角形，则该双曲线的离心率为A．23B．433C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．1

3．若抛物线经过点11,2，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________．14．记nS为正项数列{}na的前n项和，212nnnaaa．若11a，37S，则5a___________．

4正视图侧视图33俯视图EDCBAF54nm65336515．宁德市中学生篮球比赛中，右图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用,mn标注）.目前得知这组数据的平均值为58，则方差2S最大时mn的值为_________．16

．已知函数12,0,(),0.21xxexfxxxx„若关于x的不等式2()2()20fxafxa的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算

步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，33AB，3CD，1cos7BDC，3C.（1）求sinDBC；（2）求AD的长.18．（12分

）如图，在棱柱''''ABCDABCD中，底面ABCD为平行四边形，'4,DDCD2AD,3BAD,且'D在底面上的投影H恰为CD的中点.（1）过DH作与BC垂直的平面，交棱BC于点N，试确

定点N的位置，并说明理由；（2）若点P满足DPDC，试求的值，使二面角PBHA为34.19．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，12,FF分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，12P

FF面积的最大值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）直线2PF与椭圆C的另一个交点为Q，点22,0A，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称.20．（12分）已知函数2()ln(1)2afxxxax（aR）．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）求证：

3226(1ln)23501xxxxx．21．（12分）某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景

区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布2(,3.2)N，其中近似为样本平均数x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）.(1)若

2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；(2)现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出”．若nP表示A的概率，1231(3,

,4nnnnPaPPbPnab为常数），且1210PPP.（i）求3P，4P及a，b；（ii）判断并证明数列nP从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．(参考数据：()0.6826PX，(22)0.9544PX

，(33)0.9973)PX(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲

线1C的参数方程为cos,sinxy为参数．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为1,2，直线l的极坐标方程为cos2sin80．(1)求A的直角坐标和l的直角坐标方程；(2)把曲线1C上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐

标伸长为原来的3倍，得到曲线2C，B为2C上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1,fxxmxmN.若存在实数x使得()3fx成立.(1)求m的值；(2)若,0

，411m，求的最小值.2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与

本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三

、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．B2．C3．A4．D5．A6．A7．B8．C9．C10．D11．B12．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．22xy14．1615．16．{1,3}三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础

知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（1）因为1cos7BDC，22sincos1BDCBDC，所以43sin7BDC.……………………………………2分在BDC中，,3CDBCCBDC=，所

以sinsin()DBCBDCC…………………………………………………………3分sincoscossinBDCCBDCC……………………………………………………4分4311333727214.……………………………

……………………………5分（2）在BDC中，由正弦定理得sinsinCDBDDBCC，…………………………………6分即3333142BD，解得7BD.…………………………………………………………8分因为2ABDDBC，33sin14DBC，所以cosABD3314，…

…………9分在ABD中，33AB，根据余弦定理，2222cosADABBDABBDABD…10分2233(33)723374914解得7AD．…………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识

，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解：解法一：（1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，………1分下面给出证明.分别连结NH，ND.在HNC中，222cos33NHNCCHNCCH所以222HCNCHN

，因此2HNC，即NHBC，…………2分因为'D在底面上的投影H恰为CD的中点，所以DH平面ABCD，又BC平面ABCD，所以DHBC，…………………3分又NHBC，DHNHH，,DHNH平面DHN,所以BC平面DHN,因此，点N即为所求，平面DHN即为

.…………………5分（2）证明：由题（1）知可得HNBC,//HNDB,//ADBC，所以ADBD,…………………6分分别以,DADB为,xy轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，23HD，(0,0,0

)D，(1,3,0)H，(0,23,0)B，(1,3,23)D，(2,23,0)C，(3,33,23)C，.…………………7分ABCDHA'B'C'D'N所以(2,23,0)(2,23,0)DPDC易得平面AHB的一

个法向量为(0,0,1)m.……………8分(1,3,0),(0,0,23)HBHD，(2,23,23)HPHDDP设(,,)nxyz为平面PBH的一个法向量，则：00nHBnHP，即得30223230xyxyz

，令3x，得(3,1,2)n，.…………………10分因为二面角PBHA为34，所以3|cos,||cos|4mn，即||2||||||2mnmn，所以2|2|2244，又因为二面角PBHA的大小为钝角，故1..………………12分解法二

：（1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，.…………………1分下面给出证明.分别连结NH，ND，BH.因为'D在底面上的投影H恰为CD的中点，所以DH平面ABCD，又BC平面ABCD，所以DHBC

..…………………2分在HBC中，2,3HCBCHCB,故HBC为等边三角形，又点N为棱BC的中点，所以NHBC，.…………………3分又DHBC，DHNHH，,DHNH平面DHN,所以BC平面DHN

,因此，点N即为所求，平面DHN即为..…………………5分（2）证明：连结HA，在平行四边形ABCD中，zyxD'C'B'A'HDCBAN因为22,,33ADDHHCBCHCBADH,所以,

63DHABHC，故2AHB，即HAHB,…………………6分分别以,,HAHBHD为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系Hxyz，23HD，(0,0,0)H，(23,0,0)A，(0,2,0)B，(0,0,23)D，(23,2,23)C

，(23,2,0)(23,2,0)DPDC……7分易得平面AHB的一个法向量为(0,0,1)m……8分设(,,)nxyz为平面PBH的一个法向量，则：00nHBnHP，

即20232230yxyz，令1x，得(1,0,)n，…………………9分因为二面角PBHA为34，所以3|cos,||cos|4mn，即||2||||||2mnmn，所以2||

221，又因为二面角PBHA的大小为钝角，解得1.……………12分（其他正确建系方法酌情相应给分）19．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题

的能力，满分12分．解：（1）因为椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，所以22cea，即222ca，又222abc，所以bc，……………………………1分因为12MFF面积的最大值为2，所以1222cb，即2cb，又因为bc，所以2bc

，24a，………………………………3分ABCDHA'B'C'D'xyzN故椭圆C的方程为22142xy.………………………………4分（2）由（1）得2(2,0)F，当直线l的斜率为0时，符合题意，…………………5分当直线l的斜率

不为0时，设直线l的方程为2xty，代入22142xy消去x整理得：…………………6分22(2)2220tyty，易得222(22)8(2)16160ttt，…………………7分设1122(,),(,)Pxy

Qxy，则12212222222tyytyyt，…………………8分记直线,PAQA的斜率分别为,PAQAkk，则12121212121212221222()222222(2)(2)44()

220(2)(2)PAQAyyyytyyyykkxxtytytytytttttyty……………11分所以PAQAkk，因此直线PA与直线QA关于x轴对称．………………………………12分20．

本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解:（1）定义域为(0,)，21(1)1

(1)(1)()(1)axaxaxxfxaxaxxx.……………………………1分当0a时，10ax，所以函数()fx的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)；…………………………2分当0a时，令()0fx，得1x或

1xa，………………………………………3分当1a时，2(1)()0xfxx恒成立，所以函数()fx的单调递增区间为(0,)，无减区间；…………………………………4分当1a时，101a，所以函数()fx的

单调递增区间为10,a和(1,)，单调递减区间为1,1a；………5分当01a时，11a，所以函数()fx的单调递增区间为0,1和1,a，单调递减区间为11,a．………6分综上所述，当0a时

，函数()fx的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)；当1a时，函数()fx的单调递增区间为(0,)，无减区间；当1a时，函数()fx的单调递增区间为10,a和(1,)，单调递减区间为1,1a；当01

a时，函数()fx的单调递增区间为0,1和1,a，单调递减区间为11,a．(2)设32()6(1ln)235hxxxxx，22()666ln666(ln)hxxxxxxx，…………………………………7分

由（1）可知，当2a时，2()lnfxxxx，且()fx的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)，所以()hx的单调递增区间为(1,)，递减区间为(0,1)，…………………………………8分

故()(1)0hxh，所以()hx在(0,)上单调递增.…………………………………9分又(1)6(1ln1)2350h，所以当01x时，()0hx，1x时，()0hx；…………………………………10分又当

01x时，210x，1x时，210x，…………………………………11分所以3226(1ln)23701xxxxx..………………………………………12分21．本小题主要考查频率分布直方图、平

均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．满分12分．解：（1）直方图可得0.012540.0580.1375

120.375160.12520411.8x……………2分∵11.8x，3.2，218.2∴旅游费用支出不低于1820元的概率为1(22)10.9544(2)0.022822PxPx，……………3分∴5000.0

2211.4，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．……………4分（2）（i）317188P，………………………………………………………………5分4211311616P，……………………………………………………………………6分所以3210432

11,41,4PaPPbPPaPPbP即71,841371,1684abab………………7分解得1,21.8ab………8分（i）数列nP从第三项起单调递减.……………9分123111(3)248nnnnPPPPn

，故1nnPP12123111111248248nnnnnnPPPPPP12311112488nnnnPPPP12312311111112248488nnnnnnPPPPPP3116n

P又0nP，所以31016nP，………………………………10分即从第三项起数列}{nP单调递减.由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小.(即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件).…………………

12分22．选修44；坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力．满分10分．（1）因为点A的极坐标为1,2，直线l的极坐标方程为cos2sin80

，由cossinxy，………………………………………………………………………………2分得点A的直角坐标为0,1，…………………………………………………………………3分直线l的直角坐标方程为280xy．……………………………

………………………4分解法一：（2）设(,)Bxy，则由条件知点(,)23xy在曲线1C上，所以……………………6分cos2sin3xy，即2cos3sinxy，…………………………………………………………7分又因为P为AB中点，所以3s

in1cos,2P，……………………………………8分则点P到直线l距离为72sincos3sin7655，…………………………9分当sin16时，72sin6

取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值为5．………………………………………………………………………………………10分解法二：（2）设(,)Bxy，则由条件知点(,)23xy在曲线1C上，…………………………6分cos2sin3xy，即2cos3sin

xy，…………………………………………………………7分则点A到直线l的距离为028655，…………………………………………………8分点B到直线l距离为84sin2cos23sin8655，当sin16时，84sin6

取得最小值4，故点B到直线l距离的最小值为45，……………………………………………………9分又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为5．………………………10分23．选修45：不等式选讲本小题考查含绝对值、参数

的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）存在实数x使得3fx成立等价于存在实数x使得12xmx成立，而111xmxxmxm

，…………………………………………………2分故存在实数x使得3fx成立等价于13m，………………………………………3分解得42m，……………………………………………………………

………………4分又因为*mN，则1m……………………………………………………………………5分（2）由（1）得1m，故4111，所以1141，…………………………………………………………………………6分由,0，故14104141

，所以14，1，………………………………………………………………………7分111511591241441444144，…………

……9分当且仅当33,42时取最小值94.……………………………………………………10分解法二：（1）同解法一；（2）由4111，得440，即1114，…………………………………

……………………………………………7分由,0，所以1115912444444……………………………9分当且仅当33,42时取最小值94

.……………………………………………………10分欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org