【文档说明】河北武邑中学2020届高三年级下学期期中考试 理科数学（含答案）.doc，共(17)页，1.157 MB，由MTyang资料小铺上传

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·1·武邑中学2019—2020学年高三年级下学期期中考试数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。3

．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。1．已知集合,|20Axyxy，,|

10Bxyxmy．若AB，则实数mA．2B．12C．12D．22．设复数z满足1izz（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（x，y），则A.yxB.yxC.2

2111xyD.22111xy3．已知两个单位向量12,ee，若1212eee，则12,ee的夹角为A．B．C．D．4．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为A.35B.12C.25D.310

5．已知点,Pxy满足不等式3205050xyxyx，点,Qxy是函数2()1fxx的图像上任意一点，则两点P，Q之间距离的最小值为A．5212B．131C．4D．522

6．若331231loge,2e,abc，则A．abcB．cabC．acbD．cba7．若tan3cos()2，则cos2A．1B．79C．0

或79D．1或79·2·8.若函数sin2fxx的图象向右平移116个单位得到的图象对应的函数为gx，则下列说法正确的是A.gx的图象关于12x对称B.gx在0，上有2个零点C.gx在区间536，上单调递减D.gx在02，

上的值域为302，9.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n的值为10.则输出i的值为A.5B.6C.7D.810．已知椭圆22221x

yab（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为12PFF的内心，且1122IPFIFFIPFSSS，若椭圆的离心率为e，则A.1eB.2eC.eD.2e11．已知双曲线2

222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为20xy，,AB是C上关于原点对称的两点，M是C上异于,AB的动点，直线,MAMB的斜率分别为12,kk，若112k„„，则2k的取值范围为A．11,84B．11,42C．11,48D．11,2

412．若函数lnxfxaxe有极值点，则实数a的取值范围是A．,eB．1,eC．1,D．0,第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在

答题卡上相应位置。13．已知函数f(x)=aex+x+b,若函数f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+3,则ab的值为______.·3·14．41(1)(12)xx展开式中x2的系数为______.15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机

构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为____

__．16．平行四边形ABCD中，ABD是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD，现将ABD沿BD折起，使二面角ABDC大小为23，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为______.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤。17．（本小题满分12分）数列).13(21}{321nnnaaaaa满足：（1）求}{na的通项公式；（2）若数列.T}{,3}{n项和的前求满足：nbabnbannnn18．（本小题满分12分）如图，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，APBAC

B90，点E,F分别是棱AB,PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF//平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角BAPC的余弦值.19．（本小题满分12分）已知点P到直线y＝﹣3的距离比点P到点A（0，1）的距离多2．（1）求点

P的轨迹方程；（2）经过点Q（0，2）的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．·4·20．（本小题满分12分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公

司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80

)[80,100)频数1039040018812（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布245,15N.若该市总人口为450万人，试估计有多少市

民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分.将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期

望.附：若2~,xN，则()0.6826pX，(22)0.9544px，(33)0.9973p21．（本小题满分12分）已知函数()lnxefxxxx.（1）

求()fx的最大值；（2）若1()()1xfxxebxx恒成立，求实数b的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

已知直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3,xtyt（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为212cos．（1）写出1C的普通方程和2C的直

角坐标方程；（2）设点P为2C上的任意一点，求P到1C距离的取值范围．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数2fxxmx（mR），不等式20fx的解集为4，.（1）求m

的值；（2）若0a，0b，3c，且22abcm，求113abc的最大值.·5·武邑中学2019—2020学年高三年级下学期期中考试数学试题（理科）答案第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四

个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。1．已知集合,|20Axyxy，,|10Bxyxmy．若AB，则实数mA．2B．12C．12D．2【答案】C．【解析】因为AB，所以直线20xy与直线10xmy平行，所以

12m.故选C.2．设复数z满足1izz（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A.yxB.yxC.22111xyD.22111xy【答案】B【解析】设(,)zxyixyR，∵1izz

，∴1xyixyii，即2222(1)(1)xyxy，化简得yx．故选：B.3．已知两个单位向量12,ee，若1212eee，则12,ee的夹角为A．B．C．D．【答案】B．【解析】因为1212eee，所以12120

eee，所以11222eee，所以12cos,ee12，又因为12,0,ee，所以12,ee，故选B.4．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为A.35B.12C.25D.310【答案】D【解析】所求概率为C13C35＝31

0，故选D.5．已知点,Pxy满足不等式3205050xyxyx，点,Qxy是函数2()1fxx的图像上任意一点，则两点P，Q之间距离的最小值为（）·6·A．5212B

．131C．4D．522【答案】A【解析】如图所示，点P在平面区域内任一点P，点Q在半圆221(01)xyy上，过点O作直线的垂线，垂足为P，交半圆于Q，此时PQ取最小值，求得min52||12PQ.6．若331231loge,2e,ab

c，则A．abcB．cabC．acbD．cba【答案】B．【解析】213032221a，1311331e2eac，所以1ac，33logelo

g31b，故cab.故选B.7．若tan3cos()2，则cos2A．1B．79C．0或79D．1或79【答案】D．【解析】由tan3cos()2得sin23coscos2

,所以cos3cossin,所以cos0或sin31,故2cos22cos11或2cos21279sin.故选D.8.若函数sin2fxx的图象向右平移116个单位得到的图象对应的函数

为gx，则下列说法正·7·确的是（）A.gx的图象关于12x对称B.gx在0，上有2个零点C.gx在区间536，上单调递减D.gx在02，上的值域为302，【答

案】B【解析】由题意1111()sin2()sin(2)sin(2)633gxxxx，1()sin()12632g不是函数的最值，12x不是对称轴，A错；由()si

n(2)03gxx，2()3xkkZ，26kx，其中5,36是[0,]上的零点，B正确；由3222232kxk得71212kxk，kZ，因此(

)gx在7(,)312是递减，在75(,)126上递增，C错；[,0]2x时，22[,]333x，3()[1,]2gx，D错．故选：B．9.“角谷定理”的内容为对于每一个正整

数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n的值为10.则输出i的值为A.5B.6C.7D.8·8·【答案】B【解析】10．已知椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点分别

为1F，2F，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为12PFF的内心，且1122IPFIFFIPFSSS，若椭圆的离心率为e，则（）A.1eB.2eC.eD.2e【答案】A【解析】设12PFF内切圆的半

径为r·9·则1112IPFSrPF，2212IPFSrPF，121212IFFSrFF.1122IPFIFFIPFSSS，112211222rPFrFFrPF整理得1212FFPFPF，∵P为椭圆上

的点，22ca，解得1e.故选：A11．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为20xy，,AB是C上关于原点对称的两点，M是C上异于,AB的动点，直线,MAMB的斜率分别为12,kk，若112k„„，则2k的取值范围为A．11,84B．

11,42C．11,48D．11,24【答案】A．【解析】∵双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为20xy，∴2ab，则双曲线的方程为：

22221(0)4xybbb,设11,Axy，00,Mxy，则11,Bxy,所以22112222002214,14xybbxybb1010101010102210101,44xxxxyyyy

yyyyxxxxbb，即1214kk，∵112k„„，∴211,84k.故选A.12．若函数lnxfxaxe有极值点，则实数a的取值范围是A．,eB．1,eC．1,D．

0,【答案】D【解析】·10·第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。13．已知函数f(x)=aex+x+b,若函数f(x)在(0,f

(0))处的切线方程为y=2x+3,则ab的值为______.【答案】2【解析】14．41(1)(12)xx展开式中x2的系数为______.【答案】56【解析】15．勒洛三角形是具有类似圆的“定

宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形

中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，则小勒洛三角形的面积为2122323462aaaS，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所·1

1·以大勒洛三角形的面积为2222392aaS，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为1219SSP．16．平行四边形ABCD中，ABD是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD，现

将ABD沿BD折起，使二面角ABDC大小为23，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】20【解析】由题意，取AD，BC的中点分别为1O，2O，过1O作面ABD的垂线与过2O作面BCD的垂线

，两垂线交点O即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结1OE，2OE，则12OEO即为二面角ABDC的平面角，又由121OEOE，连接OE，在1RtOOE中，则13OO，在1RtOOA中，1

2OA，得5OA，即球半径为5ROA，所以球面积为2420SR.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）数列).13(21}{321nnnaaaaa满足：（1）求}{na的通项公式；（2）若

数列.T}{,3}{n项和的前求满足：nbabnbannnn【解】·12·6分………………………7分9分………………………10分………………………12分18．（本小题满分12分）如图，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，

APBACB90，点E,F分别是棱AB,PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF//平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，求二面角BAPC的余弦值.【解】·13·19．（本小题满分12分）已

知点P到直线y＝﹣3的距离比点P到点A（0，1）的距离多2．（1）求点P的轨迹方程；（2）经过点Q（0，2）的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解】（1）根据题意，|PA|

的距离与P到直线y＝﹣1的距离相等，故P的轨迹为以A为焦点，y＝﹣1为准线的抛物线，所以方程为x2＝4y；（2）根据抛物线的对称性知，若点存在一定在y轴上，设R（0，r），由∠MRQ＝∠NRQ得kNQ+kMQ＝0，设M（x1，y1），N（

x2，y2），则，由题意显然l的斜率存在，设l为：y＝kx+2，·14·由，得x2﹣4kx﹣8＝0，得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，由2k2k，故r＝﹣2，所以存在定点R（0，﹣2）．20．（本小题满分12分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出的一项惠民工程.

持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)频数103904001

8812（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布245,15N.若该市总人口为450万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内

会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分.将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.附：若2~,xN，则()0.6826pX，(22)0.9544

px，(33)0.9973p【解】（1）设样本的中位数为x，则40103904000.510001000100020x，解得45x=，所得样本中位数为（百元）.…………2分

（2）45，15，275，旅游费用支出在7500元以上的概率为2Px1(22)10.95440.022822Px，0.022845010.26，估计有10.26万市民旅游费用支出在7500元以上.…………6分（3）由表格知一

年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X可能取值为3，4，5，6·15·32835125PX，2133236455125PXC，223325

4555125PXC，332765125PX，故其分布列为X3456P812536125541252712583654272434561251251251255EX.………12分21．（本小题

满分12分）已知函数()lnxefxxxx.（1）求()fx的最大值；（2）若1()()1xfxxebxx恒成立，求实数b的取值范围.【解】(1)()lnxefxxxx，定义域(0,)，221(1)

(1)()()1xxexxxefxxxx，由1xexx，()fx在(0,1]增，在(1,)减，max()(1)1fxfe(2)1()()e1xfxxbxxeelne1xxxxxxbxxxlne10xxxxbxeln1xxxxb

xmineln1(),xxxxbx令eln1()xxxxxx，2ln()xxexxx令2()lnxhxxex，()hx在(0,)单调递增，0,()xhx

，(1)0he()hx在(0,1)存在零点0x，·16·即02000()ln0xhxxex0001ln2000000ln1ln0(ln)()xxxxxexxeexx，由于xyxe在(0,)单调递增，故0001ln

ln,xxx即001xex()x在0(0,)x减，在0(,)x增，000000min00eln111()2xxxxxxxxx所以2b.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将

所选题号后的方框涂黑。22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3,xtyt（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为212cos．（1）写出1C的普

通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P为2C上的任意一点，求P到1C距离的取值范围．【解】（1）1C的普通方程为3xy，即30xy．································2分2C的直角坐标方程为2212xyx，即

2212xy．··············5分（2）由（1）知，2C是以1,0为圆心，半径2r的圆，圆心2C1,0到1C的距离1032222d＞，·······················7分所以直线1C与圆2C相离，P到1C距离的最小值为2

222dr；·····························8分最大值为22dr232，····························9分所以P到1C距离的取值范围

为2,32．··································10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数2fxxmx（mR），不等式20fx

的解集为4，.（1）求m的值；（2）若0a，0b，3c，且22abcm，求113abc的最大值.【解】（1）∵2fxxmx，2222fxxmx

，所以不等式20fx的解集为4，,·17·即为不等式20xmx的解集为4，，∴2xmx的解集为4，,即不等式222xmx的解集为4，，化简

可得,不等式2220mmx的解集为4，，所以242m,即6m.（2）∵6m，∴212abc.又∵0a，0b，3c，∴12231132abcabc

333122311211232232323abcabc，当且仅当1223abc,212abc等号成立,即3a，1b，7c时，等号成立，∴113abc的最大值为32.