【文档说明】江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学（文）（含答案）.doc，共(12)页，166.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-67953.html

以下为本文档部分文字说明：

南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学文科注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号

写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上）1．

已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝▲．2．若z＝a1＋i＋i(i是虚数单位)是实数，则实数a的值为▲．3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为1

25的样本，则从男学生中抽取的人数为▲．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为▲．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为▲．6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值为▲．7．已知数列{an}为等比数列．若

a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列，则{an}的前n项和为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为▲．9．若正方体ABCD－A1B1C

1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为▲．Oxy22（第6题图）－π3错误！未找到引用源。2π3错误！未找到引用源。（第4题图）S←0ForiFrom1To4S←S＋iEndForPrintS10．已知函数f(x)＝x＋2，x≤

0，f(－x)，x＞0，g(x)＝f(x－2)．若g(x－1)≥1，则x的取值范围为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且OA→⊥OB→．若A，B两点到直线l：3x＋4y－10＝0的距离分别为d1，

d2，则d1＋d2的最大值为▲．12．若对任意a∈[e，＋∞)(e为自然对数的底数)，不等式x≤eax＋b对任意x∈R恒成立，则实数b的取值范围为▲．13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足AP→＝λAB→＋μAC→，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D．若BD＝2DC，则PA→·

PB→的值为▲．14．在△ABC中，∠A＝π3，D是BC的中点．若AD≤22BC，则sinBsinC的最大值为▲．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．

内．15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．16．(本小题满分14分)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，

－sinx)，函数f(x)＝m·n＋12．（1）若f(x2)＝1，x∈(0，π)，求tan(x＋π4)的值；（2）若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sinβ＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．FEPBDCA(第15题图)17．(本小题满分14分)如

图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径85海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝2013海里，tan∠AOB＝23，cos∠AOD＝55．现一艘科考船以105海里/小时的速度从O出发沿OD方

向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．18．(本小题

满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(－2，0)和(1，32)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C的左顶点

，求点M的坐标；（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．AOD东北B(第17题图)(第18题图)AOMxyB19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝exx2－ax＋a(a∈R)，其中e为自然对数的底数．（1

）若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；（3）证明：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20．(本小题满分16分)若数列{an}满足n≥2，n∈N*时，an≠

0，则称数列{anan＋1}(n∈N*)为{an}的“L数列”．（1）若a1＝1，且{an}的“L数列”为{12n}，求数列{an}的通项公式；（2）若an＝n＋k－3(k＞0)，且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若an＝1＋pn－1，其中

p＞1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn＜Sn＜cn＋1成立，并证明你的结论．南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1

．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超

过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，

计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x|1＜x＜4}2．23．604．105．236．37．2n＋1－28．629．8310．[2，4]11．612．[－2，＋∞)13．－9414．38二、解答题（本大

题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以GF∥BC，GF＝12BC．因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC，······························································2分所以GF∥DE，G

F＝DE，所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG．·············································································4分又因为E

F平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD．······································································6分(2)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD

∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．···································································10分因为PA平面PAD，所以CD⊥PA．··········

········································12分又因为PA⊥PD，PD平面PCD，CD平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD．因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面

PCD．··································14分16．(本小题满分14分)解：(1)因为向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，所以f(x)＝m·n＋12＝cos2x－sin2x＋12＝cos2x＋12

．···································2分因为f(x2)＝1，所以cosx＋12＝1，即cosx＝12．又因为x∈(0，π)，所以x＝π3，·························································4分所

以tan(x＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tanπ3＋tanπ41－tanπ3tanπ4＝－2－3．·······························6分(2)若f(α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π

2)，所以sin2α＝－1－cos22α＝－45．········8分因为sinβ＝7210，β∈(0，π2)，所以cosβ＝1－sin2β＝210，······················10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2

αsinβ＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．·····12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，BEACODxy所以2α＋β的值为7π4．·······

······························································14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy．因为OB＝2013，tan∠AOB＝23，OA＝10

0，所以点B(60，40)，且A(100，0)．····························································2分(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C，

则OC＝105(t＋2)，AC＝50t．因为OA＝100，cos∠AOD＝55，所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，即(50t)2＝1002＋[105(t＋2)]2－2×100×105(t＋2)×55．化得t2＝4，解得t

1＝2，t2＝－2（舍去），···············································4分所以OC＝405．因为cos∠AOD＝55，所以sin∠AOD＝255，所以C(40，80)，所以直线AC的方程为y＝－43(x－100)，即4x＋3y－

400＝0．·······················6分因为圆心B到直线AC的距离d＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B的半径r＝85，所以d＜r，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险．答

：若快艇立即出发有触礁的危险．·······················································8分(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E．设直线AE的方程为y＝k

(x－100)，即kx－y－100k＝0．因为直线AE与圆B相切，所以圆心B到直线AC的距离d＝|60k－40－100k|12＋k2＝85，即2k2＋5k＋2＝0，解得k＝－2或k＝－12．·······················

·····················10分由（1）可知k＝－12舍去．因为cos∠AOD＝55，所以tan∠AOD＝2，所以直线OD的方程为y＝2x．由y＝2x，y＝－2(x－100)，解得x＝50，y＝100，所以E(50，100)，所以AE＝505，OE

＝505，······························································12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x≥5－5－2＝3－5．答

：x的最小值为(3－5)小时．····························································14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过

点(－2，0)和(1，32)，所以a＝2，1a2＋34b2＝1，解得b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．··························································2分(2)因为B为左顶点，所以

B(－2，0)．因为四边形AMBO为平行四边形，所以AM∥BO，且AM＝BO＝2．···········4分设点M(x0，y0)，则A(x0＋2，y0)．因为点M，A在椭圆C上，所以x024＋y02＝1，(x0＋2)24＋y02＝1，解得x0＝－1，y0＝

±32，所以M(－1，±32)．········································································6分(3)因为直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方

程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2．······

··············································8分因为平行四边形AMBO，所以OM→＝OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)．因为x1＋x2＝－8km1＋4k2，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·－8km1

＋4k2＋2m＝2m1＋4k2，所以M(－8km1＋4k2，2m1＋4k2)．·································································10分因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程，化得4m2＝

4k2＋1．①········································································12分因为A，M，B，O四点共圆，所以平行四边形AMBO是矩形，且OA⊥OB，所以OA→·OB

→＝x1x2＋y1y2＝0．因为y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝m2－4k21＋4k2，所以x1x2＋y1y2＝4m2－41＋4k2＋m2－4k21＋4k2＝0，化得5m2＝4k2＋4．②·················14分由①②解得k2＝114

，m2＝3，此时△＞0，因此k＝±112．所以所求直线AB的斜率为±112．·····················································16分19．(本小题满分16分)解：(1)当a＝1时，f(x)＝exx

2－x＋1，所以函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex(x－1)(x－2)(x2－x＋1)2．令f'(x)＜0，解得1＜x＜2，所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)．····························

·······················2分(2)由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．··························································4分方法1由

f(x)＝exx2－ax＋a，得f'(x)＝ex(x－a)(x－2)(x2－ax＋a)2．①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．②当0＜a＜2时，因为当a＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，所以f(a)＞f(2)，不符题意．····

························································6分③当2＜a＜4时，因为当2＜x＜a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递

减，所以f(a)＜f(2)，满足题意．综上，a的取值范围为(2，4)．·························································8分方法2由f(2)＞f(a)，得e24－a＞eaa．因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2

＞eaa(4－a)．设函数g(x)＝exx(4－x)－e2，0＜x＜4．··················································6分因为g'(x)＝ex·－(x－2)2x2≤0恒成立，所以g(x)在(

0，4)上单调递减．又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．所以，a的取值范围为(2，4)．··············································

·············8分(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则f'(x0)＝ex0(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2，所以切线方程为y－ex0x02－ax0＋a＝ex0(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(x－x0

)．由0－ex0x02－ax0＋a＝ex0(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(0－x0)，化简得x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0．·······································

············10分设h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h'(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a．因为△＝4

(a＋3)2－36a＝4(a－32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x)＝0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1＜x2．因为x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)h’(x)＋0－0＋h(x)增极大

减极小增所以函数h(x)最多有三个零点．························································12分因为a∈(2，4)，所以h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a＞0，所以h(

0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．····································

········16分20．(本小题满分16分)解：(1)因为{an}的“L数列”为{12n}，所以anan＋1＝12n，n∈N*，即an＋1an＝2n，所以n≥2时，an＝anan－1·an－1an－2·„·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·„·2·1＝2(n-1)＋(n－

2)＋…＋1＝2n(n－1)2．又a1＝1符合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n(n－1)2，n∈N*．···················2分(2)因为an＝n＋k－3(k＞0)，且n≥2，n∈N*时，an≠0，所以k≠1．方法1设bn＝an

an＋1，n∈N*，所以bn＝n＋k－3(n＋1)＋k－3＝1－1n＋k－2．因为{bn}为递增数列，所以bn＋1－bn＞0对n∈N*恒成立，即1n＋k－2－1n＋k－1＞0对n∈N*恒成立．·············································4分

因为1n＋k－2－1n＋k－1＝1(n＋k－2)(n＋k－1)，所以1n＋k－2－1n＋k－1＞0等价于(n＋k－2)(n＋k－1)＞0．当0＜k＜1时，因为n＝1时，(n＋k－2)(n＋k－1)＜0，不符合题意．············6分当k

＞1时，n＋k－1>n＋k－2>0，所以(n＋k－2)(n＋k－1)＞0，综上，k的取值范围是(1，＋∞)．·························································8分方法2令

f(x)＝1－1x＋k－2，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k，＋∞)上单调递增．当0＜k＜1时，f(1)＝1－1k－1＞1，f(2)＝1－1k＜1，所以b2＜b1，不符合题意．··············

······6分当k＞1时，因为2－k＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{bn}单调递增，符合题意．综上，k的取值范围是(1，＋∞)．·········································

················8分(3)存在满足条件的等差数列{cn}，证明如下：因为akak＋1＝1＋pk－11＋pk＝1p＋1－1p1＋pk，k∈N*，·············································10分所以Sn＝n

p＋(1－1p)·(11＋p＋11＋p2＋…＋11＋pn－1＋11＋pn)．又因为p＞1，所以1－1p＞0，所以np＜Sn＜np＋(1－1p)·(1p＋1p2＋…＋1pn－1＋1pn)，即np＜Sn＜np＋1p·[1－(1p)n]．·······························

··································14分因为1p·[1－(1p)n]＜1p，所以np＜Sn＜n＋1p．设cn＝np，则cn＋1－cn＝n＋1p－np＝1p，且cn＜Sn＜cn＋1，所以存在等差数列{cn}满足题意

．·······················································16分欢迎访问“”——