【文档说明】江苏省2020届高考压轴卷 数学（含答案）.doc，共(23)页，917.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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绝密★启封前江苏省高考压轴卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}Axx，{|1}Bxx，则AB______2．已知复数(1)(2),zii则｜z｜＝．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有4

0名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____．5．在平面直角坐标亲xOy

中，若双曲线22221xyab（0a，0b）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P

在抛物线28yx上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为(5,2)，则PAPF的最小值是______．8．已知,都是锐角，45sin,cos()513，则sin=_____9．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥

S—A1B1C1的体积为___．10．在等差数列na中，912162aa，则数列na的前11项和11S____________.11．三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，ABC是边长为2的正三角形，E为PC的中点，若直线

AE与平面PBC所成角的正弦值为427，则PA的长为_____.12．如图，在四边形ABCD中，1ABCD，点,MN分别是边,ADBC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同．．的两点,PQ，则·()PQABDC的值为_________．13

．已知函数ln,11,12xxfxxx，若1Fxffxm有两个零点12,xx，则12xx的取值范围______.14．在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则22Sabc的最大值为______.二、解答题：本

大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知2A，sin26cossinbAAB.（1）求a的值；（2）若3A，求ABC周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABCABC中

，BCAC，D,E分别是AB,AC的中点．（1）求证：11BC∥平面1ADE；（2）求证：平面1ADE平面11ACCA．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中

点E在边BC的三等分点处（靠近B点），3BC百米，BCCD，120ABC，21EA百米，60AEDo.（1）求ABE△区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求水管CH最短时的长．18．已知椭圆C：2

2221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点P是椭圆C上的一个动点，且12PFF面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点1(0,)8T，求直线PQ的斜率.19．已知

数列{}na的前n项和记为nA，且12nnnaaA，数列nb是公比为q的等比数列，它的前n项和记为nB.若110ab，且存在不小于3的正整数k，m，使得kmab.（1）若11a，35a，求2a的值；（2）求证：数列{}na是等差

数列；（3）若2q=，是否存在整数m，k，使得86kmAB，若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由.20．已知22ln12xfxxxa，0a.（1）当2a时，求函数fx图象在1x处的切线方程；（2）若对任

意1,x，不等式0fx恒成立，求a的取值范围；（3）若fx存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只

能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164xyC在矩阵104102A对应的变换作用下所得

曲线C的方程.B.(选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242xcosysin，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0）

，B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C.(选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且1113112xyyz，求证：4910xyz.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商

家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列na满足123*12323,N2222nn

nnnnnnCCCCamn，其中m为常数，24a.（1）求1,ma的值（2）猜想数列na的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}xx【解析】因为集合{|02}Ax

x，{|1}Bxx，所以{|12}ABxx.故答案为：{|12}xx2．【答案】10【解析】122510zii．3．【答案】8【解析】设样本容量为N，则306,14,70NN高二所抽人数为4014870.故答案为：84．【答案】

205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I,满足条件100I，执行循环体3,9IS；满足条件100I，执行循环体5,13IS；满足条件100I，执行循环体99,201IS；满足条件100I，执行循环体101,21013205IS，此时，不满足

条件100I，退出循环，输出S的值为205，故答案为205.5．【答案】52yx【解析】由已知可知离心率32cea，2222294cabaa，即2254ba.∵双曲线22221xyab的焦点在x轴上∴该双曲

线的渐近线方程为byxa，即52yx.故答案为：52yx.6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184.7．【答案】7【解

析】PAPF55272ALPd8．【答案】1665【解析】∵,都是锐角，∴(0,)，又45sin,cos()513，∴3cos5，12sin()13，∴sinsin[()]sin()coscos()sin

123541613513565．故答案为1665．9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABCABC的底面积为'S，高为h，则9'9'ShSh，，再设S到底面ABC的距离为'h，则1''23Sh，得19'23hh

，所以'23hh，则S到上底面111ABC的距离为13h，所以三棱锥111SABC的体积为111'91339Sh．故答案为1．10．【答案】132【解析】由a912a12+6，得2a9﹣a12＝12，即2a1+16d﹣a1﹣11d＝12，∴a1+5d＝12，

a6＝12．则S11＝11a6＝11×12＝132．故答案为：13211．【答案】2或3【解析】设F是BC的中点，连接sincos210kk，PA平面ABC，PABC，ABC为正三角形，BCAF，BC平面PAF，在平面

PAF内作AHPF，则BCAH，AH平面PBC，连接EH，则AEH是AE与平面PBC所成的角，设PAm，在直角三角形PAF中，AHPFPAAF，求得233PAAFmAHPFm，211422AEPCm，AE∵平面PBC所成的角的正弦值为427，22342

3sin1742mAHmAEHAEm,解得2m或3m，即PA的长为2或3，故答案为2或3.12．【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则,MENE分别为,ADCC

AB的中位线，所以11,22ENABMEDC,所以1()2MNMEENDCAB．由PQ与MN共线，所以()PQMNR，故()()()()2PQABDCMNABDCABDCABDC22()02ABDC．答案：013．【答案】,e【

解析】当1x时,()ln0fxx,()11fx,[()1]ln(()1)ffxfx,当131()1()1[()1]ln(()1)222xxfxfxffxfx，，，,综上可知：1

ln(()1)0Fxffxmfxm,则()1mfxe，()1mfxe有两个根1x，2x,(不妨设12xx,当1x时,2ln1mxe，当1x时,1112mxe

,令112mte,则2lnxt，2txe，112xt，122xt，12(22)txxet，12t,设()(22)tgtet，12t,所以()2tgtte,1,()02tgt，，函数()gt单调递减,1()2gtge

,()gx的值域为(,)e,12xx取值范围为(,)e,故答案为：(,)e.14．【答案】312【解析】因为22Sabc2211222222bcsinAsinAbcbcbccosAbccosAcb

142sinAcosA(当且仅当bc时取得等号)令,sinAycosAx，故22Sabc142yx，因为221xy，且0y，故可得点,xy表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yzx，表示圆弧上一点到点2,0A点的斜率，数形结合可知，

当且仅当目标函数过点13,22H，即60A时，取得最小值33；故可得3[,0)23yzx，又22Sabc142yx，故可得22Sabc1334312.当且仅当60,Abc，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312.1

5．【答案】（1）3；（2）6,9.【解析】（1）由sin26cossinbAAB及二倍角公式得sin3sinbAB，又sinsinabAB即sinsinbAaB，所以3a；（2）由正弦

定理得sin23sinsinaBbBA，sin23sinsinaCcCAABC周长：2323sin23sin323sin23sin()3abcBCBB33323sincos36sin226BBB

，又因为2(0,)3B，所以1sin(,1]2B.因此ABC周长的取值范围是6,9.16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D,E分别是AB,AC的中点，

所以//DEBC，...........2分又因为在三棱柱111ABCABC中，11//BCBC，所以11//BCDE................4分又11BC平面1ADE，DE平面1ADE，所以11BC∥平面1ADE..........

......6分（2）在直三棱柱111ABCABC中，1CC底面ABC，又DE底面ABC，所以1CCDE..............8分又BCAC，//DEBC，所以DEAC，..........10分又1,CCAC平面11ACCA，且1CCACC，

所以DE平面11ACCA................12分又DE平面1ADE，所以平面1ADE平面11ACCA．............14分17．【答案】（1）3平方百米；（2）577百米.【解析】（1）由题知1,120,21B

EABCEA，在ABE中，由余弦定理得2222cosAEABBEABBEABE，即2211ABAB，所以4AB百米所以113sin413222ABESABBEABE（平方百

米）.（2）记AEB，在ABE中，sinsinABAEABE，即421sin32，所以22721sin,cos1sin77，当CHDE时，水管CH最短，在RtECH中，2π2π

2πsin2sin2sincos2cossin333CHCEHEC=577百米.18．【答案】（1）22143xy（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P为C的短轴顶点时，12PFF

△的面积有最大值3.所以222121232caabccb，所以231abc，故椭圆C的方程为:22143xy.（2）设直线PQ的方程为1ykx，当0k时，

1ykx代入22143xy，得:22223484120kxkxk.设1122,,,PxyQxy，线段PQ的中点为00,Nxy，212024234xxkxk，1200231234yykykxk即22243,3434kkNkk

因为TNPQ，则1TNPQkk，所以222314381443kkkkk，化简得24830kk，解得12k或32k=，即直线PQ的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a（2）见解析（3）存在8,340mk满足题意。【解析】

（1）当3n时，13312332aaAaaa，因为131,5aa，所以23a.（2）由12nnnaaA，得111(1)2nnnaaA，两式相减，得111(1)2nnnananaa，即11

(1)0nnnanaa，所以211(1)0nnnanaa.两式相减，得122nnnaaa，所以数列na为等差数列.（3）依题意：112mkmaba，由86kmAB得：118621

kmaaaqakq，即1111122128686,22212486mmmaaaakk，所以151634421mk.因为92512，且3m…，所以219m剟，又因为51641

294343，且121m为奇数，所以121129m时，151621m是整数，此时17m，所以8,340mk.20．【答案】（1）210xy；（2）1,；（3）10,2.【解

析】（1）当2a时，22ln3xfxxx，218'3fxxx，则1'12f.又因为10f，所以函数fx图象在1x处的切线方程为112yx，即210xy

.（2）因为22ln12xfxxxa所以214'12afxxxa222244112xxaaxxa22214412xaaxxa，且10f.因为0a

，所以121a.①当2440aa时，即1a，因为'0fx在区间1,上恒成立，所以fx在1,上单调递增.当1,x时，10fxf，所以1a满足条件.②

当2440aa时，即01a时，由'0fx，得21120,1xaa，22121,xaa当21,xx时，'0fx，则fx在21,x上单调递减，所以21,xx时，10fxf，这与1,x时，0fx恒成

立矛盾.所以01a不满足条件.综上，a的取值范围为1,.（3）①当1a时，因为'0fx在区间0,上恒成立，所以fx在0,上单调递增，所以fx不存在极值，所以1a不满足条件.②当112a时，12

0a，所以函数fx的定义域为0,，由'0fx，得21120,1xaa，22121,xaa列表如下：x10,x1x12,xx2x2,x'fx00fx↗极大值

↘极小值↗由于fx在12,xx是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以112a不满足条件.③当12a时，由'0fx，得2x.列表如下：x0,222,'fx0fx↘极小值↗此时fx仅存在极小值

，不合题意，所以12a不满足条件.④当102a时，函数fx的定义域为0,1212,aa，且2101212xaaa，221212xaaa.列表如下：x10,x1x1,12xa212,ax2x

2,x'fx00fx↗极大值↘↘极小值↗所以fx存在极大值1fx和极小值2fx，此时12fxfx1212122222lnln1212xxxxxaxa1212124ln1212axxxxxaxa

因为12012xax，所以12ln0xx，120xx，1120xa，2120xa，所以120fxfx，即12fxfx，所以102a满足条件.综上，所以a的取值范围为10,2.

21．【答案】221xy【解析】设,Pxy是曲线C上的任一点，它是椭圆22:1164xyC上的点1,Pxy在矩阵104102A对应变换作用下的对应点，则10441022xxxyyy

，即42xxyy，42xxyy，代入221164xy得：221xy.即曲线C的

方程为221xy.22．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣22．【解析】（1）∵曲线C的参数方程为3242xcosysin,（θ为参数）,有3242xco

sysin.上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为22(3)(4)4xy,化简得2268210xyxy将xcosysin与222xy,代入得曲线C的直角坐标方程有：26cos8sin210．

（2）设点(32,42)Mcossin到直线AB：x+y+2＝0的距离为d,则229229422sinsincosd,当sin（4）＝﹣1时,d有最小值9222,所以△ABM面积的最小值S12ABd

9﹣22．23．【答案】见证明【解析】因为x，y，z均为正数，所以1,1,1xyz均为正数，由柯西不等式得21111419112336111xyzxyz，当且仅当22214191xy

z时，等式成立.因为11131112xyz，所以21419136=243xyz，所以4910xyz.24．【答案】（1）0.784；（2）分布列见解析，719【解析】（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件

是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，2233()(0.7)0.3(0.7)0.784PAC；（2）该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，21622012(0)19CPC，1141622032(1)95CCPC

，242203(2)95CPC，的分布列为：012P12193295395因为只有2件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则7()1(0)19PBP，商家拒收这批产品

的概率为719.25．【答案】（1）1m，12a；（2）猜想：2nnNan，证明见解析【解析】（1）123123232222nnnnnnnnCCCCam，12342

3424CCamm，解得：1m，121122Camm.（2）由12a，24a，38a可猜想：2nnNan.证明：①当1n时，由（1）知结论成立；②假设nk时，结论成立

，则有12312323122222kkkkkkkkkCCCCa，那么当1nk时，123111121311123112222kkkkkkkkCCCCa.由111kkknnnCCC得：102132111

12233111231122222kkkkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCCCa0121112311231222222kkkkkkkkkkkkCCCCC

=12110231111211222222kkkkkkkkkkkkCCCCC1211023111111211222222kkkkkkkkkkkkkkkCCCCCC

又11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2kkkkkkkkkkkCCkkkkkkk1211023111111121112222222kkkkk

kkkkkkkkkkkCCCCCC，于是11122kkkaa，112kka，故1nk时结论也成立.由①②得，2nnNan.欢迎访问“”——