【文档说明】山东省烟台市2020届高三4月模拟考试（一模）数学（含答案）.doc，共(13)页，639.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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绝密★启用前2020年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔

迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知集合ln(1)Mxyx，exNyy，则MNIA.(

1,0)B.(1,+)C.(0,+)D.R2.已知复数z满足(1i)2iz（i为虚数单位），则zA.1iB.1iC.12iD.12i3.设xR，则“|2|1x”是“2230xx”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.数列nF：121FF，122nnnFFFn，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列nF的每一项除以2所得的余数按原来项的顺

序构成新的数列na，则数列na的前50项和为A.33B.34C.49D.505.设ABCD为平行四边形，||4ABuuur，||6ADuuur，3BAD．若点,MN满足BMMCuuuruuur，2ANNDuuuruuur，则NMAMuuu

ruuurgA.23B.17C.15D.96.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球

最终落入③号球槽的概率为A.332B.1564C.532D.5167.设P为直线3440xy上的动点，,PAPB为圆22:(2)1Cxy的两条切线，,AB为切点，则四边形APBC面积的最小值为A.3B.23C.5D.258.

已知函数ee()eexxxxfx，实数,mn满足不等式(2)(2)0fmnfn，则下列不等关系成立的是A.1mnB.1mnC.1mnD.1mn二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每

小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一

场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊

、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和10.已知P是双曲线22:13xyCm上任一点，,AB是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线,PAPB的斜率分别为12

12,(0kkkk），若12||||kkt恒成立，且实数t的最大值为233，则下列说法正确的是A.双曲线的方程为2213xyB.双曲线的离心率为2C.函数log(1)(0,1)ayxaa的图象恒过C的一个焦点D.直线230xy与C有

两个交点11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,PM分别为棱1,CDCC的中点，Q为面对角线1AB上任一点，则下列说法正确的是A.平面APM内存在直线与11AD平行B.平面APM截正方体1111ABCDABCD所得截面面积为98C.直

线AP和DQ所成角可能为60oD.直线AP和DQ所成角可能为30o12.关于函数()esinxfxax，(,)x，下列说法正确的是A.当1a时，()fx在(0,(0))f处的切线方程为210xyB.当1a时，()fx存在唯一极小值点0x且01()0fxC.对任意

0a，()fx在(,)上均存在零点D.存在0a，()fx在(,)上有且只有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知tan2，则cos(2)214.361(1)(2)xxx的展开式中3x项的系数是（用数字作答）15.已知点,,ABC在半

径为2的球面上，满足1ABAC，3BC，若S是球面上任意一点，则三棱锥SABC体积的最大值为16.已知F为抛物线22(0)xpyp的焦点，点(1,)Ap，M为抛物线上任意一点，||||MAMF的最小值为3，则抛物线方程为，若线段AF的

垂直平分线交抛物线于,PQ两点，则四边形APFQ的面积为.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，2cos3

(cos+cos)aAbCcB.（1）求角A；（2）若23b，BC边上的高为3，求c.18.（12分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，nb是各项均为正数的等比数列，14ab，，28b，1334bb，是否存在正整数k，使得数列1{}

nS的前k项和1516kT，若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由.从①420S，②332Sa，③3423aab这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作ABCPFEG答.注：如果选择多个条件分别解答，

按第一个解答计分.19.（12分）如图，三棱锥PABC中，点E,F分别是AB,PB的中点，点G是BCE的重心.（1）证明：//GF平面PAC；（2）若平面PAB平面ABC,PAPB,PAPB,ACBC，2ABBC,求平面EFG与平面PFG所成的锐二面角的余弦值.20.（12分）推

进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分[30,40)[40,50)[50,60

)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；（2）将居民对垃圾分类的了解

程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?（3）从参与问卷测试且得分不低于

80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同*()nnN名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这10n人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数的期望不小于2，求n的最小值.附：22(),()()()()()nadbcKnabcdabcdacbd

.临界值表：不太了解比较了解男性女性20()PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）已知函数1ln()()xfxaaxR.（

1）若()0fx在(0,)上恒成立，求a的取值范围，并证明：对任意的nN，都有1111ln(1)23nnL；（2）设2()(1)exgxx，讨论方程()()fxgx实数根的个数.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,2)M

，且焦距为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为直线l：22y上一点，Q为椭圆C上一点，以PQ为直径的圆恒过坐标原点O.（i）求224OPOQ的取值范围；（ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ相切？若存在，求出该定圆

的方程;若不存在，说明理由．2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.A8.C二、多项选择题9.BC10.AC11.BC12.ABD三、填空题13.4514.3

0015.3+231216.24xy，43四、解答题17．解：（1）因为2cos3(cos+cos)aAbCcB，由正弦定理得所以2sincos3(sincossincos)AABCCB,„„„„„„„„„„1分即2sincos3sin()AABC

，„„„„„„„„„„2分又BCA，所以sin()sin()sinBCAA所以2sincos3sinAAA，„„„„„„„„„„3分而0A，sin0A所以3cos2A，所以6A.„

„„„„„„„„„4分（2）因为11sin22ABCBCSbcAah„„„„„„„„„„5分将23b，3BCh，1sin2A代入，得33ca.„„„„„„„„„„6分由余弦定理得2222cosabcbcA，于是22233()(23)22332cc

c，„„„„„„„„„„8分即29180cc，解得3c或6c.„„„„„„„„„„10分18．解：设等比数列nb的公比为q（0q），则18bq，38bq，于是8384qq，„„„„„„„„„„2分

即2620qq，解得12q，23q（舍去）.„„„„„„„„„„4分若选①：则142ab，41434202Sad，解得2d，„„„„„„„„„„6分所以2(1)222nnnSnnn，„„„„„„„„„„8

分1111(1)1nSnnnn，„„„„„„„„„„9分于是12111111111+(1)()()122311kkTSSSkkk„„10分令1151116k，解得15k，因为k为正整数，所以k的最小值为16.„„12分若

选②：则142ab，113232(2)2adad，解得12ad.下同①.若选③：则142ab，113(2)(3)8adad，解得43d.„„„„„„6分于是2(1)42422333nnnSnnn，„„„„„„„8分131311()2(

2)42nSnnnn，„„„„„„„„9分于是31111111[(1)()()()]4324112kTkkkk3111(1)4212kk9311()8412kk，„„„„„„„„„„„„„„„10分令151

6kT，得111124kk，注意到k为正整数，解得7k，所以k的最小值为7.„„„„„„„„„12分19．解：（1）证明：延长EG交BC于点D,点D为BC的中点，因为,DE分别是棱,BCAB的中点,所以DE是ABC的中位线，所以//DEAC，„„„„„„„„

„„2分又DEPAC平面，ACPAC平面，所以//DEPAC平面.同理可证//EFPAC平面.„„„„„„„„„„„„„„„3分又DEEFE，,DEDEFEFDEF平面平面，所以平面//DEFPAC平面，„„„„„„„

„„„„„„„4分因为GFDEF平面，所以//GFPAC平面.„„„„„„„„„„„„5分（2）连接PE，因为PAPB，E是AB的中点，所以PEAB，又平面PAB平面ABC，平面PABI平面ABCAB，PE平面PAB，所以PE

平面ABC.以E为坐标原点，以向量,EBEP所在的方向分别作为y轴、z轴的正方向，以与向量,EBEP垂直的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.„„„6分设1EB，则(0,0,0)E，(0,0,1)P，11(0,,)22F，

31(,,0)62G，11(0,,)22FE，31(,0,)62FG，11(0,,)22FP.„„„„„„„„7分设平面EFG的一个法向量为(,,)xyzm，则00FEFGmm，即030yzxz，令1z，得1y，3x

，于是取(3,1,1)m„„„„„„„„„„9分又平面PFG的一个法向量为111(,,)xyzn，则00FGFPnn，即1111300xzyz，令11y，得11z，13x，于是取(3,1,1)n„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分设

平面EFG与平面PFG的所成的角二面角的大小为，则33coscos,555mnmnmn.所以平面CFG与平面EFG的所成的锐二面角的余弦值为35.„„„„„„12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低

于60分的比率为13011090110100600.61000，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6.„„„„„„„2分不太了解比较了解（2）由题意得列联表如下：„„„„3分2K的观测值21000(

250270330150)5.542400600420580k„„„„„„„5分因为5.5423.841所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.„„„„„„6分（3）由题意知，分层抽样抽取

的10人中，男性6人，女性4人.„„„„„„7分随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)nnCCPC，1264310(1)nnCCPC,2164310(2)nnCCPC

,36310(3)nnCPC,„„„„„„9分所以随机变量的分布列为0312213646464633331010101001232nnnnnnnnCCCCCCCECCCC„„„„„„10分1

2213364646101232nnnnCCCCCC,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23nnnnnnnnn，23(6)(1772)2(10)(9)(8)nnnnnn，3(6)2

(10)nn，男性250330女性1502700123P0364310nnCCC1264310nnCCC2164310nnCCC36310nnCC解得2n.„„„„„„„„„„„„„„„„12分21．解：（1）由()0fx可得，1

ln(0)xaxx，令1ln()xhxx，则221(1ln)ln()xxxxhxxx，„„„„„„1分当(0,1)x时，()0hx，()hx单调递增，当(1+)x，时，()0hx，()hx单调递减，故()hx在1x处取得最大值，„„„„„„

3分要使1lnxax，只需(1)1ah，故a的取值范围为1a，„„„„„„4分显然，当1a时，有1ln1xx，即不等式ln1xx在(1,)上成立，令11()nxnnN，则有111ln1nnnnn，所以231111lnlnln11223nnn

，即：1111ln(1)23nn；„„„„„„6分（2）由()()fxgx可得，21ln(1)exxaxx，即21ln(1)exxaxx，令21ln()(1)exxtxxx，则22ln()(1)exxtxxx，„„

„„„„8分当(0,1)x时，()0tx，()tx单增，当(1+)x，时，()0tx，()tx单减，故()tx在1x处取得最大值(1)1t，„„„„„„10分又当0x时，()tx，当+x时，()tx，„„„„„„11分所以，当1a时

，方程()()fxgx有一个实数解；当1a时，方程()()fxgx有两个不同的实数解；当1a时，方程()()fxgx没有实数解.„„„„„„12分22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C的方程得22224214abab，解得2284ab，，所以椭圆C的方程为22184

xy．„„3分（2）设11(,22),(,)PtQxy.因为以PQ为直径的圆恒过点O，所以11220OPOQxty，即1122xty.„„„„„„„„4分因为Q点在椭圆上，所以2211184xy.（i）将11

22xty代入椭圆，得212324xt，221244tyt，于是22222114=(8)4()OPOQtxy2264244tt,tR.„„„„5分因为2264244tt2264+4204tt22642(+4)204tt36当且仅当2264+4

=4tt，即=2t时，取等号.所以224OPOQ的取值范围为[36,).„„„„„„„„„„„„„„7分（ii）存在.定圆的方程为224xy.假设存在满足题意的定圆，则点O到直线PQ的距离为定值.因为11(,22),(,)PtQxy，所以直线PQ方程为1

1()(22)(22)()0xtyyxt，整理可得1111(22)()220yxxtytyx，„„„„„„„„„„„„8分所以O到直线PQ的距离112211|22|(22)()tyxdyx

t，„„„„„„„„„„9分由（i）知，1122xty，得212324xt，221244tyt，11220xty，注意到10x，知1122ytx.所以222111112||2(8)|22||22

|(8)=22224xtxttyxxtt，„„„„„„„10分又22222111111(22)()8422yxtyxtytx22222211222432888444ttyxttttt

，„„„„„„„„11分所以112211|22|2(22)()tyxdryxt，因此，直线PQ与圆224xy恒相切.„„„„„„„„„„„„„„„„12分