【文档说明】北京市朝阳区六校2020届高三四月联考（B卷）数学（含答案）.doc，共(16)页，708.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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·1·2019~2020学年度高三年级四月份测试题数学试卷B2020.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择

题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知命题p：xR，e1x，那么命题p的否定为（A）0xR，0e1x（B）x

R，e1x（C）0xR，0e1x（D）xR，e1x（2）设集合2{|340}ZAxxx，2{|e1}xBx，则AB=（A）{1,0,1,2}（B）[1,2)（C）{1,0,1}（D）[1,2]（3）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（A

）3()2fxx（B）12()log||fxx（C）3()3fxxx（D）()sinfxx（4）已知3log2a，0.2log0.3b，11tan3c，则a，b，c的大小关系是（A）cba（B）bac（C）cab（D）bca（5）为了宣传今年9月即将举

办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动.在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565:岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：·2·组号分组各组人数各组人数频率分布直方图第1组[15,25)10第2组[2

5,35)a第3组[35,45)b第4组[45,55)c第5组[55,65]d根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为（A）20，0.15（B）15，0.015（C）20，0.015（D）15，0.15（6）已知向量(2,23)a，若16

=3ab，则b在a上的投影是（A）34（B）34（C）43（D）43（7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（A）5（B）3（C）6（D）23（8）已知△ABC，则“sincosAB”是“△ABC是直角三角形”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充

分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记na为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{}na的第n项，则

100a的值为（A）5049（B）5050（C）5051（D）5101（10）关于函数2()(1)exfxxax，有以下三个结论：·3·①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1；②函数的极值点不可能是1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个第二

部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在52()xx的二项展开式中，3x的系数为________．（用数字作答）（12）已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z

，6zz，则z的实部为_________，虚部为．（13）设无穷等比数列{}na的各项为整数，公比为q，且||1q，2312aaa，写出数列{}na的一个通项公式________．（14）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A，(1,1)B，P为直线AB

上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是________．（15）关于曲线22:4Cxxyy，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；②曲线C恰好经过4个整点

（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于22．其中，正确结论的序号是________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

程。（16）（本小题13分）已知：①函数1()cossin()(0)64fxxx；②向量(3sin,cos2)xxm，11(cos,)24xn，且0，()fxmn；·4·③函数1()sin(2)(0,||)22fxx

的图象经过点1(,)62请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_________________，且函数()fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为2．（Ⅰ）若02，且1sin2，求()f的值；（Ⅱ）求函数()fx在[0,2]上的单调递减区

间.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在36C37C之间即为正常体温，超过37.1C即为发热．发热状态下，不同体温可分成以

下三种发热类型：低热：37.138T；高热：3840T；超高热（有生命危险）：40T.某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每

天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用没有使用使用“抗生素A”治疗使用“抗生素B”治疗·5·情况日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（C）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗

生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20日21日22日23日24日25日26日体温（C）38.438.037.637.136.836.636.3（Ⅰ）请你计算住院期间该患者体温不低于39C的各天体温平均值；（Ⅱ）在19日

—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记X为高热体温下做“项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治

疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．（18）（本小题15分）在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD．底面ABCD为梯形，ABCD，ABAD，且1AB，2PAADDC，22PD．（Ⅰ）求证：ABPD

；（Ⅱ）求二面角PBCD的余弦值；（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.·6·（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，||3AB

.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由.（20）（本小题15分）已知函数2()e()xfxaxaR．（Ⅰ）若曲线()yfx在(1,(1))f处的

切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）已知()fx在[0,1]上的最大值不小于2，求a的取值范围；（Ⅲ）写出()fx所有可能的零点个数及相应的a的取值范围．（请直接写出结论）·7·（21）（本小题14分）已知集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}(2)nniSXXxxx

xinn，对于12(,,,)nAaaanS，12(,,,)nnBbbbS，定义A与B的差为1122(||,||,,||)nnABababab；A与B之间的距离为1122(,)=||+||||nndABababab．（Ⅰ）若(0,1)AB，试写出所有可能的

A，B；（Ⅱ）,,nABCS，证明：(,)(,)dACBCdAB；（Ⅲ）,,nABCS，(,),(,),(,)dABdACdBC三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.2019~2020学年度高三年级四月份测试题数学B参考答案2020.4第一部分（选择题共40分）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）A（2）C（3）C（4）A（5）C（6）D（7）B（8）D（9）B（10）D第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）80（12）3,4（13）1*2()nnanN（答案不唯一）（14）21（15）①③三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）（16）（本小题13分）解：方案一：选条件①因

为1()cossin()64fxxx·8·1cos(sincoscossin)664xxx2311sincoscos224xxx31sin2cos244xx…………3分131(sin2cos2)222xx

1sin(2)26x，又22T，所以1，所以1()sin(2)26fxx.…………5分方案二：选条件②因为(3sin,cos2)xxm，11(cos,)24xn，所以311()sincoscos2s

in(2)2426fxxxxxmn.又22T，所以1，所以1()sin(2)26fxx.…………5分方案三：选条件③由题意可知，22T，所以1，所以1()sin(2)26fxx

.…………1分又因为函数()fx图象经过点1(,)62，所以11sin(2)226.…………3分因为||2，所以6，所以1()sin(2)26fxx.…………5分（Ⅰ）因为02，1sin2，所以6.…………7分·9·所以11()()s

in6222ff.…………9分（Ⅱ）由3222,262kxkkZ，得2,63kxkkZ…………12分令0k，得263x，令1k，得7563x，所以函数()fx在

[0,2]上的单调递减区间为2[,]63，75[,]63.…………13分（17）（本小题14分）解:（Ⅰ）由表可知，该患者共6天的体温不低于39C，记平均体温为x，·····1分1(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55C6x．·········

·4分所以，患者体温不低于39C的各天体温平均值为39.55C.（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2．·····························5分3032351(0)10CCPXC,······························

6分21323563(1)105CCPXC,····························7分1232353(2)10CCPXC．····························8分则X的分布列为：································

················9分X012P11035310所以1336()012105105EX．·········································11分（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳可使用理由

：·10·①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0C又回升0.1C，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2C，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳．②抗生素B”治疗期间平均体温39.03C，方差约为

0.0156；“抗生素C”平均体温38C，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳．········································14分“抗生素B”治疗效果最佳可使

用理由：（不说使用“抗生素B”治疗才开始持续降温扣1分）自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B”治疗效果最佳．··

··········14分（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）（18）（本小题14分）解:（Ⅰ）因为平面ABCD平面PAD，…………1分平面ABCD平面

PADAD,…………2分AB平面ABCD,ABAD，…………3分所以AB平面PAD,…………4分又因为PD平面PAD，所以ABPD．…………5分（Ⅱ）因为2PAAD，22PD，所以PAAD．由（Ⅰ）得AB平面PAD，所以ABPA，故,,ABADAP两两垂

直．如图,以A为原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,2)P，(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D．…………6分因为PA平面BCD，所以平面BCD的一个法向量是(0,0,1)n．MF·11·而(1,0,2)PB，

(2,2,2)PC，设平面PBC的一个法向量为(,,)xyzm则由0,0,PBPCmm得20,2220.xzxyz取1z，有(2,1,1)m，…………8分所以

16cos,66nmnmnm．…………10分由题知，二面角PBCD为锐角，所以二面角PBCD的余弦值为66．…………11分（Ⅲ）假设棱BC上存在点F，//MFPC，设,[0,1]BFBC．…………12分依题意，可知(0,0,1)M，(1,2,0)B

C，(1,2,0)F，…………13分所以(1,2,1)MF，(2,2,2)PC．…………14分根据假设，有12,22,12,而此方程组无解，故假设错误，问题得证．…………1

5分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得：222223,1,2,bacaabc……………………1分解得:2,3,1abc．……………………2分所以椭圆的标准方程为：22143xy……………………3分（II）依题意，若直线l的

斜率不为零，可设直线:1(0)lxmym，1122(,),(,)AxyBxy．假设存在点P，设0(,0)Px，由题设，01x，且01xx，02xx.设直线,PAPB的斜率分别为12,kk，·12

·则12121020,yykkxxxx．…………4分因为1122(,),(,)AxyBxy在1xmy上，故11221,1xmyxmy．…………5分而x轴上任意点到直线,PAPB距离均相等等价于“PF平分

APB”，继而等价于120kk．…………………6分则12121020yykkxxxx12210121020()()()xyxyxyyxxxx1201210202(1)()0()()myyxyyxxxx

．……………………8分联立221431xyxmy，消去x，得：22(34)690mymy，有12122269,3434myyyymm．……………………10分则00

12221020102018662460(34)()()(34)()()mmmxmmxkkmxxxxmxxxx，即040mmx，故04x或0m（舍）．……………………13分当直

线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意．故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线,PAPB距离均相等．…………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为2()e()xfxaxaR，故()e2xfxax．…………1分依题意(1)e20fa，即e2a．

…………2分当e2a时，e(1)02f，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此e2a．…………3分·13·（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()e2xfxax,当0a时，因为[0,1]x,e0x,20ax，故()

0fx，即()fx单增，因此max()(1)efxfa．依题意，当0a时，max()=ee2fxa，所以0a符合题意．…………5分当0a时，()e2xfxa，令()0fx

，有ln2xa．…………6分()fx,()fx变化如下：x(,ln2)aln2a(ln2,)a()fx—0+()fx极小值故min()22ln22(1ln2)fxaaaaa．…………7分当1ln20a时，即e02a时

，()0fx，()fx单调递增，因此max()(1)efxfa．依题意，令e2a，有0e2a．…………8分当1ln20a时，即e2a时，(1)e20fa,(0)10f，故存在唯一0(0,1)x使0()0fx．…

………9分此时有00e20xax，即00e2xax，()fx,()fx变化如下：…………10分x0(0,)x0x0(,1)x()fx+0—()fx极大值所以00020max00e()()ee2xxxxfxfxax，0(0,1)x．…………11分依题意，令e()

e2xxxgx，(0,1)x，则(1)e()02xxgx，()gx在(0,1)单调递增，所以e()(1)22gxg，所以max()2fx，此时不存在符合题意的a．·14·综上所述，当(,e2]a，(

)fx在[0,1]上的最大值不小于2，若(,e2]a，则()fx在[0,1]上的最大值小于2，所以a的取值范围为(,e2]．…………………12分解法二：（Ⅱ）当[0,1]x时，()fx最大值不小于2，等价于2()e2xf

xax在[0,1]x上有解，显然0x不是解,即2e2xax在(0,1]x上有解，……………………4分设2e2()xgxx，(0,1]x,则3e2e4()xxxgxx．………………

……5分设()e2e4xxhxx，(0,1]x，则()e(1)0xhxx．所以()hx在(0,1]单调递减，()(1)4e0hxh，…………7分所以()0gx，所以g()x在(0,1]单调递增，……………………9分所以maxg()(1)e2xg．……………

………10分依题意需e2a,所以a的取值范围为(,e2]．……………………12分解法三:（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()e2xfxax,（1）当e2a时，'()e2eexxfxaxx,

设()ee[0,1]xhxxx，()ee0xhx,所以()hx在[0,1]单调递减，故()(1)0hxh．…………5分所以()0fx，所以()fx在[0,1]单调递增，因此max()(1)efxfa．…………7分依题意，令e2a，得e2

a．…………8分·15·（2）当e2a时，22e()ee2xxfxaxx,设2e()e2xxx,[0,1]x,则()ee()0xxxhx,所以()x在[0,1]单调递增，…………

10分故maxee()(1)e222x，即()2fx，不符合题意．…………11分综上所述，a的取值范围为(,e2]．············12分（III）当0a时，()yfx有0个零点；当2e04a时，()yfx有1个零点当2e4

a时，()yfx有2个零点；当2e4a时，()yfx有3个零点．·············15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）(0,0),(0,1)AB；(0,1),(0,0)AB；…………1分(1,0),(1,1)AB；…

………2分(1,1),(1,0)AB.…………3分（Ⅱ）令121212(,,,),(,,,),(,,,)nnnAaaaBbbbCccc，对1,2,,in，当0ic时，有||||||||iiiiiiacbcab

；…………4分当1ic时，有|||||||1(1)|||iiiiiiiiacbcabab．…………5分所以11222222(,)||||||+||||||++||||||

nnnndACBCacbcacbcacbc1122||||||(,)nnabababdAB．…………6分（Ⅲ）,,nABCS，(,),(,),(,)dABdACdBC三个数中一定有偶数.理由如下：解法一：·16·设

121212(,,,),(,,,),(,,,)nnnnAaaaBbbbCcccS，(,),(,),(,)dABkdACldBCh，记0(0,0,0)nS由（Ⅱ）可知:(,)(,)(0,)dABdAABAdBAk，(

,)(,)(0,)dACdAACAdCAl，(,)(,)dBCdBACAh.…………8分所以(1,2,,)iibain中1的个数为k,(1,2,,)iicain中1的个数为

l.设t是使1iiiibaca成立的i的个数，则2hlkt.…………10分由此可知，,,klh三个数不可能都是奇数，即(,),(,),(,)dABdACdBC三个数中一定有偶数.…………14分解法二：因为()()()0iiiiiiabbcca

，且()()()iiiiiiabbcca与||||||iiiiiiabbcca奇偶性相同.…………8分所以||||||iiiiiiabbcca为偶数，故(,)(,)(,)d

ABdBCdAC为偶数，…………10分所以(,),(,),(,)dABdACdBC三个数不可能都是奇数，即(,),(,),(,)dABdACdBC三个数中一定有偶数.…………14分