【文档说明】北京市延庆区2020届高三3月模拟考试 数学（含答案）.doc，共(16)页，1.103 MB，由MTyang资料小铺上传

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·1·2020北京延庆区高三一模数学2020.3本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选

项中，选出符合题目要求的一项。1.已知复数是正实数，则实数的值为A.B.C.D.2.已知向量若与方向相同，则等于A.B.C.D.3.下列函数中最小正周期为的函数是A.B.C.D.4.下列函数中，是奇函数且在其定

义域上是增函数的是A.B.C.D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为,，则它的表面积为A.8B.12C.D.206.的展开式中，的系数是A.160B.80C.50D.10·2·7.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转

到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A.B.C.D.8.已知直线，平面，那么“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为

万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A.6年B.7年C.8年D.9年10.已知双曲线的右焦点为，过原点的

直线与双曲线交于两点，且则的面积为A.B.C.D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知集合,且则的取值范围是12.经过点且与圆相切的直线的方程是13.已知函数则14.某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出1

9种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.·3·15.在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于

.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于17.（本小题14分）已知数列是

等差数列，是的前项和，，.（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由；（Ⅱ）求的最值.从①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18.（本小题14分）·4·三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得

了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：班班班（Ⅰ）试估计班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随

机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.19.（本小题14分）已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过

原点的直线与交于两点（点在第·5·一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.21.（本小题14分）在数列中，若且则称为“数列”。设为“数列”，记的前项和为（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项

为或.·6·2020北京延庆区高三一模数学参考答案一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2．D．3．D4．C5.B6．B7．A8.C9.B10.A二、填空题:（每小题5分，共5

小题，共25分）11．(,3)；12.3(2)3yx；13．132；14．16,29；15．7,42.10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），

三角形的性质（余弦定理、面积公式）.15.在ACD中，sin2sin45ACCD，在ABD中，sin1sin3ABBD，相除得：3sin35，所以72sinsin(453)10A，·7·所以1sin422ABCSABACA.三、解答题：（

共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC，设AC与BD交于F，联结EF，„„„„1分因为//PA平面BDE，平面PAC平面BDE=EF,所以//PAEF„„„„4分因为ABCD是正方形，所以F是AC的中点所以E是PC的中点„„„„6分（Ⅱ）（法一）因

为PO平面ABCD，所以POBC„„„„7分因为ABCD是正方形，所以BCCD因为POCDO所以BC平面PDC„„„„10分所以BCPD因为PDPC因为BCPCC所以PD平面PBC„„„„13分因为BE平面PBC所以PDBE所以PD与B

E成90角.„„„„14分（法二）连接OF，因为PO平面ABCD，所以POCD，POOF.„„„7分因为ABCD是正方形，所以OFCD.所以,,OFOCOP两两垂直.以,,OFOCOP分别为x、y、z

建立空间直角坐标系Oxyz.„„„8分则(0,0,2)P，(0,2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E，„„„9分(0,2,2)PD，(3,1,1)BE,„„„10分·8·0(3)(2)(1)(2)1PDB

E（„„„1分）0„„„13分所以所以PD与BE成90角.„„„14分17.解：选①（Ⅰ）因为10816,10aa，所以3d„„„„2分所以187102111aad„„„„4分所以1(1)11(1)3naandn314

n„„„„6分令3142024n，则32038n此方程无正整数解所以2024不是数列{}na中的项.„„„„8分不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有

结果，正确给1分.（Ⅱ）（法一）令0na，即3140n，解得：142433n当5n时，0,na当4n时，0,na„„„„11分当4n时，nS的最小值为41185226S.„13分nS无最大值„„„„14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.nS

无最大值„1分（Ⅱ）（法二）21()325222nnnaaSnn，2514266ba„„„„11分当4n时，nS的最小值为43251642622S.„13分nS无最大值„„„„14分选②（

Ⅰ）10816,8aa，·9·4d„„„„2分18782820aad„„„„4分1(1)20(1)4naandn424n„„„„6分令4242024n，则42048n

解得512n2024是数列{}na中的第512项.„„„„8分（Ⅱ）令0na，即4240n，解得：6n当6n时，0,na当6n时，0,na当6n时，0,na„„„„11分当5n或6n时，nS的最小值为562016128

460SS.„„„„13分nS无最大值„„„„14分选③（Ⅰ）10816,20aa，2d„„„„2分187201434aad„„„„4分1(1)34(1)(2)naandn236n„„„„6分

令2362024n，则994n（舍去）2024不是数列{}na中的项.„„„„8分（Ⅱ）令0na，即2360n，解得：18n当18n时，0,na·10·当18n时，0,na当18n时，0,na„„„„11分当17n或18n时

，nS的最大值为171818(340)3062SS.„„„„13分nS无最小值.„„„„14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A班的学生有6名．根据分层抽样方法，

A班的学生人数估计为61203620．„„„„3分只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，„„„„4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种，„„„„6分9()20PD.„„„„7分由此估计从120名学生中任

选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920.„„„„„8分只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.（Ⅲ）设从A班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)ii人一周上网超过15小时为事件iE,从B班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F则所求事件

的概率为：2111135332212167151811()15735CCCCCPEFEFCC.„„„„„14分（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有26C种选法，从B班的7人中随机选1人，有17C种选法，故选法总数为：2

167157105CC种„„„„„10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E，·11·则E中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰

有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时，„„„„„11分所以21111353322167151811()15735CCCCCPECC.„„„„„14分只有21111353322167151811()15735CCCCCPECC

，而无文字说明，扣1分有设或答，有11()35PE，给3分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1xxxfa时，当.切线的斜率2)0(fk；0)0(f曲线)(xfy在原点处的切线方程为：xy2.„„„„„5分（Ⅱ

）2222)1(2)12()1(2)(xxaaxxaxf22222222221()(1)(1)axaxaaxxaxx（）（）„„„„„7分（1）当时，0a0100)(21axaxxf；则的变化情况如下表：随、xxfxf)()

(）上单调递减，）上单调递增，在（在（,11,0)(aaxf„„„„„9分x0（0，a1）a1（，a1）)(xf0)(xf12a递增)1(af递减法1：2)1()(aafxf的最大值为„„„„„10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（

存在最小值，则若afxfxxf1112222axaax即：·12·xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立，0212aa.1001,02aaa，„„„„„13分所以a的取

值范围为]1,0(.„„„„„14分法2：2)1()(aafxf的最大值为；„„„„„10分当1xa时，22ax，222110axaa，0)(,xfx时；即]1,0[ax时，22()[1,]fxaa；)1[，ax时，2()0]fxa（，01)0()(2

afxf存在最小值，则若，所以a的取值范围为]1,0(.„„„„„14分用趋近说：0)(,xfx时，论述不严谨，扣1分.（2）当时，0a0100)(21axaxxf；.则的变化情况如下表：

随、xxfxf)()(x0（0，a）a（，a）)(xf-0+)(xf12a递减)(af递增）上单调递增，）上单调递减，在（在（,,0)(aaxf法1：1)()(afxf的最小值为.2()[0()1,fxxfxa若存在最大值，则，）时，恒成立22221

11axaax即：xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立，12ayax1·13·101,0,02122aaaaa，.综上：a的取值范围是]1,0(]1,（.法2：1)()(

afxf的最小值为；当xa时，222axa，222110axaa，0)(,xfx；（论述不严谨，扣1分）即[0,]xa时，]1,1[)(2axf；[)xa，时，)0,1[)(xf01)0()(2afxf存在最大值，则

若，1.a综上：a的取值范围是]1,0(]1,（.20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得222222,211,.cababc解得222.abc，，（试根法）所以椭圆的标准方程为

22142xy.„3分法二：设椭圆的右焦点为1F，则1||3CF，24,2aa，2c，2b，所以椭圆的标准方程为22142xy.„3分（Ⅱ）因为点Q在第一象限，所以直线l的斜率存在，„4分设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx，设

直线l与该椭圆的交点·14·为1122(,),(,)PxyQxy由2224ykxxy可得22(12)40kx，„5分易知0，且1212240,12xxxxk，„6分则22

2212121212()()1()4PQxxyykxxxx„7分222241104431212kkkk，所以2714,22kk(负舍)，所以直线l的方程为142yx.„8分用Q到原点距离公式（未用弦长公式

）按照相应步骤给分，设点11(,)Qxy，3,PQ3,2OQ29,4OQ22119,4xy又221124,xy解得：1127,,22xy所以直线l的方程为11yyxx，即142yx.（Ⅲ）设(,)mmMxy，00,Qxy，

则00,Pxy，易知002x，001y.由2,0A，(0,2)B，所以直线AB的方程为220xy.„9分若使BOP的面积是BMQ的面积的4倍，只需使得4OQMQ，„10分法一：即34MQxx①.„11分设直线l

的方程为ykx，由+220ykxxy得，22(,)1212kMkk„12分由2224ykxxy得，2222(,)1212kQkk，„13分代入①可得21418270kk，即：2779202kk（约分后求解）·15·解得9281

4k，所以92814yx.„15分法二：所以444(,)333mmOQOMxy，即44(,)33mmQxy.„11分设直线l的方程为ykx，由220ykxxy得，22(,)1212kMkk„12分

所以88(,)332332kQkk，因为点Q在椭圆G上，所以2200142xy，„13分代入可得21418270kk，即：2779202kk解得92814k，所以92814yx.„15分法三：所以00333(,)444

OMOQxy，即0033(,)44Mxy.„11分点M在线段AB上，所以003322044xy，整理得00823xy，①„12分因为点Q在椭圆G上，所以2200142xy，②把①式代入②

式可得200912270yy，解得02213y.„13分于是00842233xy，所以，0092814ykx.所以，所求直线l的方程为92814yx.„15分21.解：（Ⅰ）当110a时，{}na中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,，

所以3716nSn.„„„„„„„„„„3分（Ⅱ）①若1a是奇数，则213aa是偶数，213322aaa，·16·由317S，得1113(3)172aaa，解得15a，适合题意.②若1a是偶数，不妨设*12()akkN，则122aak.若

k是偶数，则2322aka，由317S，得2172kkk，此方程无整数解；若k是奇数，则33ak，由317S，得2317kkk，此方程无整数解.综上，15a.„„„„„„„„„

„8分（Ⅲ）首先证明：一定存在某个ia，使得6ia≤成立.否则，对每一个*iN，都有6ia，则在ia为奇数时，必有232iiiaaa；在ia为偶数时，有232iiiaaa，或24i

iiaaa.因此，若对每一个*iN，都有6ia，则135,,,aaa单调递减，注意到*naN，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个ia，使得6ia≤成立.经检验，当2ia，或4ia，或5ia

时，{}na中出现1；当6ia时，{}na中出现3，综上，{}na中总有一项为1或3.„„„„„„„„„„14分