【文档说明】人教版高中数学必修第二册6.2.4《向量的数量积(第1课时)》同步课件(共31张) (含答案).ppt，共(30)页，556.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教2019版必修第一册第六章平面向量6.2.4向量的数量积第一课时向量的数量积的物理背景和数量积课程目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积

的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。数学学科素养1.数学抽象：数量积相关概念的理解；2.逻辑推理：有关数量积的运算；3.数学运算：求数量积或投影；4.

数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.自主预习，回答问题阅读课本17-21页，思考并完成以下问题1、怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？2、向量b在a方

向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？3、向量数量积的性质有哪些？4、向量数量积的运算律有哪些？•要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。1．两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b(如图所示)，作O

A→＝a，OB→＝b，则__________称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是____________________．在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝____________．∠AOB0≤〈a，b〉≤π〈

b，a〉知识清单(2)当________________时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作________．在讨论垂直问题时，规定零向量与任一向量垂直．(3)当〈a，b〉＝0时，a与b______；当〈a，b〉＝π时，a与b______；当〈a，b〉＝π2或

a，b中至少有一个零向量时，a____b.〈a，b〉＝π2a⊥b同向反向⊥2．向量在轴上的正射影已知向量a和轴l，如图．作OA→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则________叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在________的

数量或在______________的数量.OA→＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与____________所成的角θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.向量O1A1→轴l上轴l的方向上轴l的正向3．向量的数量积(内积)(1)物理背景：

一个力F使物体发生位移s，所做的功W可以用下式计算：W＝|F|·|s|cosθ.其中|F|cosθ就是__________________________的数量，也就是__________________________________．F在物体位移方向上的分量力F在物体位移方向上

正射影的数量(2)定义：向量a与b的数量积(或内积)：两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做a与b的数量积(或内积)，记作________.规定：________与任一向

量的数量积为0.|a||b|cosθa·b零向量(3)数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝a·e＝___________；②a⊥b⇔____________；③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝_________

_；特别地：a·a＝______或|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝________(|a||b|≠0)．(5)|a·b|____|a||b|.|a|cosθa·b＝0－|a||b||a|2a·b|a||b|≤4．向量数量积的运算律已知

向量a，b，c与实数λ，则交换律a·b＝b·a数乘向量的数量积λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或

b＝0.()(3)若a，b共线⇔a·b＝|a||b|.()(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()××××小试牛刀2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．122C．－122D．－12答案：

B3．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．33答案：C4．已知|a|＝5，向量a与b的夹角θ＝60°，则向量a在b方向上的射影为________．答案：52题型一数量积的基本运算题型分析举一反三例1已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥

b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.解析①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos1

80°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×32＝53.解题技巧(向量数量积的运算方法)(1)当已知向量的模和夹角

时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．【跟踪训练1】1、已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→

＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值是________．解析如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π2，cosA＝35，cosC＝45，∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA

→·AB→＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.题型二数量积的几何意义例2已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在e方向上的投影，并画图说明．解析如下

图所示，当θ＝45°时，a在e方向上的正投影的数量为32；当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为0；当θ＝135°时，a在e方向上的投影的数量为－32.∴|a|·cos45°＝32，|a|·cos9

0°＝0，|a|·cos135°＝－32.(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．解题技巧(向量投影的注意示事项)1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.(1)向量a在向量

b方向上的投影为________．(1)向量b在向量a方向上的投影为________．2、在边长为2的正三角形ABC中，AB→在BC→方向上的投影为______．【跟踪训练2】例3(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·

(a-3b)=_____________．题型三向量的混合运算(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________．（2）AE→·BD→＝AD→＋12AB→·(AD→－AB→)＝AD→2－12AB→2＝22－1

2×22＝2.解析(1)(a＋2b)·(a-3b)＝a·a-a·b-6b·b＝|a|2-a·b-6|b|2＝|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2＝62-6×4×cos60°-6×42＝-72.答案（1）-72（2）2.解题技巧(向量混合运算注意事项)(1)求两

个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝

________．【跟踪训练3】2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析1、由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×1

2－8＝－6.2、因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，又因为|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为60°，所以12t＋1－t＝0，所以t＝2.答案：1、－6.2、2.