【文档说明】人教版高中数学必修第二册课堂练习课件6.4.3《第1课时余弦定理》(含答案).ppt，共(26)页，767.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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-1-第1课时余弦定理课前篇自主预习一二一、余弦定理1.思考在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设,已知两条边长a,b和它们的夹角C.(1)从向量角度考虑,边c的长度可以看作什么?课前篇自主预习

一二2.填空(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.(2)符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2

abcosC.3.做一做(1)在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC=;(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B=120°,则b=.课前篇自主预习一二二、余弦定理的推论1.思考(1)在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

已知a,b和角C,如何求边c?提示c2=a2+b2-2abcosC.(2)在c2=a2+b2-2abcosC中,如果已知三条边a,b,c,能否求出cosC?2.填空(2)一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程

叫做解三角形.课前篇自主预习一二3.做一做课前篇自主预习一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.()②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.()③在△AB

C中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.()答案:①√②×③√课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练已知两边及一角解三角形分析(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边;(2)已知

两边及一边的对角,可利用余弦定理求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的

对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练已知三边解三角形例2(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=;分析(1)根据已知条件结合余弦定理

的变形求解;(2)先由三边的比值设出三边的长度,再利用余弦定理的变形求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法1.先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求

出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角;2.利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求出三个角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利

用余弦定理判断三角形形状例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,试判断三角形的形状;(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,试判断该三角形的形状.分析(1)利用余弦定理及已知求出角C,再由三角恒等变换确定角A与角B的关系,进

而判断三角形形状;(2)利用余弦定理将角转化为边,通过代数变形判断三角形的形状.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).∵2cosAsinB=

sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0.∵0°<A<180°,0°<B<180°,∴-180°<A-B<180°,∴A-B=0°,即A=B.又(a+b+c)

(a+b-c)=3ab,∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=.∵0°<C<180°,∴C=60°,∴△ABC为等边三角形.(2)由acosB+acosC=b+c结合余弦定理,得课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时

,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a

2+b2或b2=a2+c2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.(4)若sin2A=sin2B,则A=

B或A+B=.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccosA+cacosB+abcosC,则△ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案:直角课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨

析随堂演练余弦定理的另外两种证法方法一(几何法)按照三角形的分类,分三种情形证明.(1)在Rt△ABC中,如图(1),满足勾股定理:c2=a2+b2,因为cosC=0,所以c2=a2+b2-2abcosC;图(1)课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2

)在锐角△ABC中,如图(2),作CD⊥AB于点D,有CD=asinB,BD=acosB,AD=AB-BD=c-acosB,b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2acosB

;同理可证:c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=asin∠CBD=asin∠ABC,BD=acos∠CBD=-acos∠ABC

,AD=AB+BD=c-acos∠ABC,b2=CD2+AD2=(asin∠ABC)2+(c-acos∠ABC)2=a2+c2-2accos∠ABC.同理可证:c2=a2+b2-2abcos∠ACB,

a2=b2+c2-2bccosA.综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立.图(3)课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练方法二(解析法)对于任意一个△ABC,建立直角坐标系如图(4)所示,则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0).

根据两点间的距离公式,有:c2=|AB|2=(bcos∠ACB-a)2+(bsin∠ACB)2=a2+b2-2abcos∠ACB,即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accos∠ABC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨

析随堂演练答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则B等于()A.30°B.45°C.60°D.120°答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.已知

△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是()A.a=3,b=3,c=4B.a=4,b=5,c=6C.a=4,b=6,c=7D.a=3,b=3,c=5答案:D∴C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.同理可得选项A为锐角三角形;选项

B为锐角三角形;选项C为锐角三角形.故选D.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.在△ABC中,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值等于.