【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册学案课件5.2.3《简单复合函数的导数》(含答案).ppt，共(32)页，599.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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5．2.3简单复合函数的导数1．复合函数的定义是什么？2．如何求复合函数的导数？预习课本第78～81页，思考并完成以下问题[问题导入][新知初探]知识点复合函数1．概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称

这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝．2．求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间

的关系为y′x＝.即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．f(g(x))y′u·u′xy对uu对x[想一想]1．已知函数y＝2x＋5＋lnx，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．这三个函数都是复合函数吗？提示：函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x

＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋lnx不是复合函数．2．试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？提示：设u＝2x＋5，则y＝lnu，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝lnu和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u

表示为自变量x的函数．[做一做]1．函数y＝cos2x的导数为()A．y′＝sin2xB．y′＝－sin2xC．y′＝－2sin2xD．y′＝2sin2x解析：y′＝(cos2x)′＝－2sin2x.答案：C2．函数f(x)＝(2

x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.答案：10[名师点津]求复合函数的导数应处理好以下环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是

正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．简单复合函数求导[例1]求下列函数的导数：(1)y＝ecosx＋1；

(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝2sin3x－π6；(4)y＝11－2x.[解](1)设y＝eu，u＝cosx＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·(－sinx)＝－ecosx＋1sinx.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2uln2＝2(2

x＋1)ln2.(3)设y＝2sinu，u＝3x－π6，则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6cos3x－π6.(4)设y＝u12−，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝u1

2−′·(1－2x)′＝－12u32−×(－2)＝(1－2x)32−.1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1

)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu，所以y′x＝y′u·u′x＝

1u·(ex＋x2)′＝1ex＋x2·(ex＋2x)＝ex＋2xex＋x2.(3)因为y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－14(1－cos4x)＝34＋14cos4x，所以y′

＝34＋14cos4x′＝－sin4x.复合函数与导数的运算法则的综合应用[例2]求下列函数的导数：(1)y＝ln3xex；(2)y＝x1＋x2；(3)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2.[解](1)∵(ln3x)′＝1

3x×(3x)′＝1x，∴y′＝(ln3x)′ex－(ln3x)(ex)′(ex)2＝1x－ln3xex＝1－xln3xxex.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.(3)∵y＝xcos2x＋π2si

n2x＋π2＝x(－sin2x)cos2x＝－12xsin4x，∴y′＝－12xsin4x′＝－12sin4x－x2cos4x·4＝－12sin4x－2xcos4x.1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征

，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．[跟踪训练]求下列函数

的导数：(1)y＝sin2x3；(2)y＝sin3x＋sinx3.解：(1)∵y＝1－cos23x2，∴y′＝12－cos23x2′＝13sin23x.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin

2xcosx＋3x2cosx3.复合函数的导数与导数几何意义的综合应用[例3]设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切，求a

，b的值．[解]由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，此即为曲线y＝f(

x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．[跟踪训练]曲线y＝esinx在(0,1)处的切线与直线

l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．解：设u＝sinx，则y′＝(esinx)′＝(eu)′(sinx)′＝cosxesinx，即y′x＝0＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方

程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2，解得c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.导函数的奇偶性及周期性探究1．若f(x)＝xα(x∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1，如f(x)＝x3，f′(

x)＝3x2，g(x)＝x4，g′(x)＝4x3.2．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx.3．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx.[问题探究]由上述导数公式可以归纳猜想以下命题成立．命题(1)

奇函数的导数是偶函数；(2)偶函数的导数是奇函数；(3)周期函数的导数还是周期函数．证明：(1)设f(x)是可导的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，f′(－x)＝f′(x)，

从而f′(x)为偶函数，故原命题成立．(2)设f(x)是可导的偶函数，则f(－x)＝f(x)，两边对x求导，得f′(－x)×(－x)′＝f′(x)，即－f′(－x)＝f′(x)，从而f′(x)是奇函数，故原命题成立．(3)设f(x)为可导的周期函数，T为f(x)

的一个周期，则对定义域内的每一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，两边同时对x求导得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，从而f′(x)也是以T为周期的周期函数，故原命题成立．[迁移应用]推广1：可导函数y＝f(x)

的图象关于点(a，f(a))中心对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．证明：必要性：由函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称，得f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)，于是

[f(x)＋f(2a－x)]′＝[2f(a)]′，又[f(2a－x)]′＝f′(2a－x)×(－1)＝－f′(2a－x)，因此f′(x)－f′(2a－x)＝0，即f′(x)＝f′(2a－x)．所以导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．充分性：导

函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称，则f′(x)＝f′(2a－x)，即[f(x)＋f(2a－x)]′＝0，于是f(x)＋f(2a－x)＝C(C为常数)．令x＝a，则有2f(a)＝C.所以f(x

)＋f(2a－x)＝2f(a)．因此可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称．推广2：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a,0)中心对称．证明：必要性：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)，于是

f′(x)＝[f(2a－x)]′，故f′(x)＝－f′(2a－x)，即f′(x)＋f′(2a－x)＝0.因此导函数y＝f′(x)的图象关于点(a,0)中心对称．充分性：导函数y＝f′(x)的图象关于点(a,0)中心对称，则f′(x)＋f′(2a－x

)＝0.即[f(x)－f(2a－x)]′＝0，因此f(x)－f(2a－x)＝C(C为常数)．令x＝a，得C＝0.所以f(x)＝f(2a－x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．[随堂检测]1．函数y＝(2020－8x)3的导数y′等于()A．3(2020－8x)2B．

－24xC．－24(2020－8x)2D．24(2020－8x)2解析：y′＝3(2020－8x)2×(2020－8x)′＝3(2020－8x)2×(－8)＝－24(2020－8x)2.答案：C2．函数y＝x2cos2x－π3的导数为()A．y′＝2xcos2x－

π3－x2sin2x－π3B．y′＝2xcos2x－π3－2x2sin2x－π3C．y′＝x2cos2x－π3－2xsin2x－π3D．y′＝2xcos2x－π3＋2x2sin2x－π3解析：y′＝(x2)′c

os2x－π3＋x2cos2x－π3′＝2xcos2x－π3＋x2－sin2x－π32x－π3′＝2xcos2

x－π3－2x2sin2x－π3.答案：B3．函数y＝1(3x－1)2的导数是()A．6(3x－1)3B．6(3x－1)2C．－6(3x－1)3D．－6(3x－1)2解析：y′＝1(3x－1)2′＝－2(3x－1)3·(3x－1)′＝－6(3x－1)3，故选C.答案

：C4．已知f(x)＝ln(3x－1),则f′(1)＝________.解析：∵f′(x)＝13x－1·(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝32.答案：325．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.解析：由

题意知y′x＝0＝aeaxx＝0＝a＝2.答案：2ThankYou!