【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册课件：《6.2.4向量的数量积》(含答案).ppt，共(25)页，1.047 MB，由MTyang资料小铺上传

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人教必修二第六章6.2.4向量的数量积情境导入我们一起来看一下物理中功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功的夹角与是其中sFsFW,cos=θFS思考1：前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？由功的

概念可知，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。由此，我们引入“数量积”的概念。知识探究（一）：向量的夹角=AOB)1800(OABabOABba当，向量同向0=OABba当，向量反向180=OABab当，向量垂直90=ba⊥记作

已知特殊情况1特殊情况3特殊情况2注意：计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起.规定：零向量与任一向量垂直。ba,=记作小试牛刀说出下列两个向量和的夹角的大小是多少？(1)40O╮(2)(3)┐(5)60O(6)60O(4

)abaaaaaabbbbbb01209018060140知识探究（二）：数量积的定义思考：根据功的定义，你能推导出数量积的定义吗？它和向量的加、减以及数乘运算有什么区别？数量积定义：bababababababa,coscos==••，即记做的数量

积（或内积），与叫做向量，我们把数量，它们的夹角为与已知两个非零向量规定：零向量与任一向量的数量积为0.对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。例题讲解例1：bababa•===，求的夹角与，，已知3

245cosbaba=•解：32cos45=−=214510−=例题讲解例2：的夹角与求，，设bababa,254912−=•==，得解：由cosbaba=•22912254cos−=−=•=ba

ba430=，所以，因为知识探究（三）：投影(或射影)的定义上的投影向量。在叫做投影，向我们称上述变换为，得到，垂足分别为所在直线的垂线，，分别作和终点的起点过baBAbaBABACDBAAB111111,DCb1B1AbCDaABba==,,是两个非零向量，如图，设ABa知

识探究（三）：投影（或射影）的定义OMaNb1M上的投影向量。在就是，则的垂线，垂足为直线作过点，作点如图，在平面内任取一baOMMONMbONaOMO11,,==思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,,1aeOM

eOMeOM=11共线，即与由图得，由此可得数量积的几何意义：baa||abacos||b等于的长度与在的方向上的投影的乘积。小试牛刀如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．()上的投影向量；在求C

DBA1().2上的投影向量在求BACD()BCADAD⊥，则连接解：1CDBABACDBA,cos上的投影向量为在则150-,2===BCDBABA，又因为3150cos2−=上的投影向量为在则CDBA(

)ABDED⊥作过2DBCD=因为上的投影向量在上的投影向量即在则BADBBACDEBADBDBBADB,cos上的投影向量为在由图可得，150-,330cos====BBADBABDB，又因为23150cos3−=上的投

影向量为在则BADB总结:求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．知识探究（四）：数量积的性质思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有

怎样的关系？与那么0,,1aeOM共线与eOM1eOM=1即()方向相同与为锐角时，当eOM11cos1aOM==eaeOMOMcos11==所以OMaN1M()02=为直角时，当eaOM2cos01==所以OMaN1Mbb知识探究（四）：

数量积的性质思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,,1aeOM共线与eOM1eOM=1即()方向相反与为钝角时，当eOM1311cosMOMaOM−=−=所以OMaN1Mcos)cos(aa=−−=eaOMcos1=即b知识探究（

四）：数量积的性质思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,,1aeOM共线与eOM1eOM=1即()a==时，当04eaOMcos01=，都有，对于任意的种情况可得：由以上5eaeaOM0cos1==所以()a−==

时，当5eaeaOMcos1=−=所以知识探究（四）：数量积的性质思考：有怎样的特殊性？那么，它们的数量积又性。上的投影向量具有特殊在或垂直时，相互平行与个非零向量从上面的探究发现，两baba论：单位向量，则有以下结方向相同

的是与，角是是非零向量，它们的夹设beba,()cos1aaeea=•=•()02=•⊥baba();3bababa=•同向时，与当;bababa−=•反向时，与当aaaaaa•==•或特殊地，22aaa常常记作备注：•知识探究（四）：数量积的性质思考：有怎样的特殊性？那

么，它们的数量积又性。上的投影向量具有特殊在或垂直时，相互平行与个非零向量从上面的探究发现，两baba论：单位向量，则有以下结方向相同的是与，角是是非零向量，它们的夹设beba,()baba•可得：由1cos4思考：?0,0,0===•baba或是否有如果.000cos000,cos===

===•=•bababababa或。即有可能或或，可得：若有。因为知识探究（五）：数量积的运算律思考：数的乘法有相应的运算律，你能根据向量的线性运算的运算律得到数量积运算的运算律吗？你能证明吗？()cbcacba•+•=•+下面来证明一下baODcOCbOBaOAO+====,,,，作证明

：如图，任取一点ecODOBOAccbaba方向相同的单位向量为与分别为上的投影，它们在，，的夹角分别为与，，设,,,11121+eaOA11cos=则ebOB21cos=ebaODcos1+=BDa=因为111DBOA=所以111111OAOBDBOBOD+=+=于是ebeae

ba21coscoscos+=+即()0coscoscos21=−−+ebaba整理得0coscoscos21=−−+baba所以21coscoscosbaba+=+即21coscoscoscbcacba+=+所以()得证。因此cbcacba

•+•=•+知识探究（五）：数量积的运算律数乘运算的运算律()abba•=•1思考：以此类推，可得数量积运算的运算律如下：()()()()bababa•=•=•2()()cbcacba•+•=•+3()()一定成立吗？为什么？是向量，，，设cbacba

cba•=•不一定。()()()()cbcbacbacbabacba,cos,,cos=•=•因为左右两边不一定相等，所以不一定成立。例题讲解例3：()()()论？是否也有下面类似的结对任意向量恒有我们知道，对任意bab

abababababaRba,.2,,22222−=−+++=+()()22221bbaaba+•+=+()()()222bababa−=−•+()()()()bababa+•+=+21解：bbabbaaa•+•+•+•=222bbaa+•

+=()()()baba−•+2bbabbaaa•−•+•−•=22ba−=例题讲解例4：()().3260,4,6babababa−•+==，求的夹角为与已知()()bbabbaaababa•−•+•−•=−•+62332解：226bbaa−•−=226cosbbaa−−=2

24660cos466−−=72−=向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运

算类似于多项式的乘法运算．知识拓展：向量的模的计算.60,4,6bababa+==，求的夹角为与已知()2baba+=+解：222bbaa+•+=22,cos2bbabaa++=22460cos4626++=162146236+

+=76=方法总结：()2bnambnam+=+()()222bnbamnam+•+=2222,cos2bnbabamnam++=例题讲解例5：互相垂直？与为何值时，向量不共线，当与且已知bkabkakbaba−+==,4,3()()0=−•+bkabka互相垂直的充要条件是与解：bka

bka−+0222=−bka即16922==ba，因为01692=−k所以43=k解得互相垂直。与时，也就是说，当bkabkak−+=43求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应

用，勿忘记开方．(2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．22aa=222aaaaaa===•或提升训练1、判断下列各题是否正确(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)().0,,01=•=baba有则对任意向量若().0,,02•baba有则对任意非零向量若()

00,03==•bbaa，则且若()0004===•baba或，则若()225aaa=有对任意向量()cbcabaa=•=•则且若,06()227baba=是两个单位向量，则与提升训练2、如图,边长为1的等边三角

形ABC中,求：ABC()=•ACAB1()=•BCAB22121−=•==bababa则的夹角为与、已知,3,2,3033课堂小结课本P23习题6.2第10、11、12题作业布置3、投影的定义2、数

量积运算的定义1、向量的夹角4、数量积运算性质5、数量积运算运算律1.向量夹角的定义2.定义3.投影的定义例1、2、3、4、5四、作业布置三、课堂小结二、探索新知一、情境导入6.2.4向量的数量积运算板书设计4.

性质5.运算律