【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册学案课件4.3.1《第1课时等比数列的概念及通项公式》(含答案).ppt，共(37)页，608.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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4．3等比数列4．3.1等比数列的概念新课程标准解读核心素养1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.数学抽象2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.逻辑推理、数学运算3.体会等比数列与指数

函数的关系.数学抽象1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？2．等比数列的通项公式是什么？3．等比中项的定义是什么？第一课时等比数列的概念及通项公式预习课本第27～30页，思考并完成以下问题[问题导入][新知初探]知识点一等比数列的

定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母___表示(q≠0)．q[想一想]1．若一个数列从第二项起每一项与前

一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．2．等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其它项是否可以为零？提示：不能．3．常数列一定是等比数列吗？提示：不一定，如0,0,0，….[做一

做]下列数列为等比数列的是()A．2,22,3×22，…B．1a，1a2，1a3，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…解析：A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C项可为0，不符合定义．答案：B知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a

，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.[想一想]任何两个非零实数都有等比中项吗？提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．[做一做]1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，a

c＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.答案：B2．已知一

等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，则x＝________.解析：由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x

＝－4.答案：－4知识点三等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝.a1qn－1[想一想]等比数列的通项公式具有什么函数性质？提示：等比数列的通项公式为指数型函数．[做一做]1．等比数列的首

项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．6解析：∵13＝98·23n－1，∴827＝23n－1，即233＝23n－1，∴

n－1＝3，∴n＝4.答案：B2．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.答案：－729[名师点津]1．理解等比数列概念应

注意3点(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝anan－1(n≥2)或q＝an＋1

an.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．理解等比中项应注意2点(1)G是a与b的等比中项，G＝±ab，即等比中项有两个，且互为相反数；(2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．等

比数列的通项公式[例1](链接教材第29页例1)(1)在等比数列{an}中，a1＝12，q＝12，an＝132，则项数n为()A．3B．4C．5D．6(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公

式an＝________.[解析](1)因为an＝a1qn－1，所以12×12n－1＝132，即12n＝125，解得n＝5.(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，由a25＝a10＝a1q9>0得

a1>0，又因为数列{an}递增，所以q＝2.由a25＝a10得(a1q4)2＝a1q9，所以a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.[答案](1)C(2)2n求等比数列通项公式的常用方法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，

q后再求an，这是常规方法；(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[跟踪训练]在等比数列{an}中．(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：(1)因为a4＝a

1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1＝2253n−.(2)法一：因为a2＋a5＝a1q

＋a1q4＝18，③a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④由④③得q＝12，从而a1＝32.又因为an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1

qn－1＝1，得n＝6.等比中项[例2](1)在等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项a6＝()A．±4B．4C．±14D．14(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．[解析](1)由an＝18×2n－1＝2n－4知，a4＝1，

a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4，又a1＞0，q＞0，∴a6＞0，故a4与a8的等比中项为a6＝4.[答案]B(2)[证明]因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，又因为(a2＋b2)(b2＋c

2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．等比中项(1)在等比数列{a

n}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项，即a2n＝an－1·an＋1；(2)a，G，b成等比数列是G2＝ab的充分不必要条件；(3)等比数列中的任一项(除首、末两项)都是数列中距该“距离”相等的两项的等比中项，即a2n

＝an－k·an＋k(n＞k)．[跟踪训练]1．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝()A．6B．－6C．±6D．±12解析：依题意知，2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，∴a＝32，b＝±4，∴ab＝±6.答案：C2．已知等比数列{a

n}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝a2a1＝64＝32，所以an＝4×32n－1.答案：4×32

n－1等比数列的判断与证明[例3]在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．[证明]法一(定义法)：∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋

3，∴an＋1＋3an＋3＝2an＋3＋3an＋3＝2(an＋3)an＋3＝2.∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．法二(等比中项法)：∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9.∴(an＋2＋3)(an＋3)

＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，∴数列{an＋3}是等比数列．证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)或anan－1＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an

}为等比数列；(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．[跟踪训练]1．已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成

等比数列．证明：由已知，有2a2＝a1＋a3，①a23＝a2·a4，②2a4＝1a3＋1a5.③由③得2a4＝a3＋a5a3·a5，所以a4＝2a3·a5a3＋a5.④由①得a2＝a1＋a32.⑤将④⑤代入②，得a23＝a1＋a32·2a3·a5

a3＋a5.∴a3＝(a1＋a3)a5a3＋a5，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．化简，得a23＝a1·a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列．2．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝

12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．解：依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bn＋1bn＝122－n123－n＝12

－1＝2，又b1＝122＝14.∴数列{bn}是以14为首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.[随堂检测]1．2＋3和2－3的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．2解析：设2＋3和2－3的等比中项为G，则G2＝(2＋3)(2－3)＝1，

∴G＝±1.答案：C2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于()A．4B．5C．6D．7解析：因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.答案：D

3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()A.14B．12C.18D．1解析：原式＝2a1＋a2q2(2a1＋a2)＝1q2＝14.答案：A4．在等比数列{an}中，已

知a1＝13，a5＝3，则a3＝()A．1B．3C．±1D．±3解析：由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝13×3＝1.答案：A5．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.解析：∵a3a1＝q2，∴q2＝

－8－2＝4，即q＝±2.当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.答案：(－2)n或－2nThankYou!