【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册1.4.1《用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）》课件(共36张)(含答案).ppt，共(35)页，1011.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(数学抽象)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.(

逻辑推理)3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.(逻辑推理)问题导学类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？空间中直线、平面垂直的向量表示位置关系向量表示线线垂直设直线

l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0线面垂直设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得μ=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥

n2⇔n1·n2=0探究新知1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.()(2)若一直线与平面垂直,则该直线的

方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.()(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.()答案:(1)×(2)√(3

)×(4)√小试牛刀2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=()A.2B.-5C.4D.-2答案:B解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1

,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.典例解析证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,

则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,12,12.∵E在BC上,∴设E(m,1,0),∴𝑃𝐸=(m,1,-1),𝐴𝐹=0,12,12.∵𝑃𝐸·𝐴𝐹=0,∴PE⊥AF.∴无论点E在边BC上何处

,总有PE⊥AF.(方法2)因为点E在边BC上,可设𝐵𝐸=λ𝐵𝐶,于是𝑃𝐸·𝐴𝐹=(𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐸)·12(𝐴𝑃+𝐴𝐵)=12(𝑃𝐴+𝐴𝐵+λ𝐵𝐶)·(𝐴𝐵+𝐴𝑃)=12(�

�𝐴·𝐴𝐵+𝑃𝐴·𝐴𝑃+𝐴𝐵·𝐴𝐵+𝐴𝐵·𝐴𝑃+λ𝐵𝐶·𝐴𝐵+λ𝐵𝐶·𝐴𝑃)=12(0-1+1+0+0+0)=0,因此𝑃𝐸⊥𝐴𝐹.故无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.证明:同例题建系,易知𝐴�

�=0,12,12,𝐵𝐶=(a,0,0),因为𝐴𝐹·𝐵𝐶=0,所以AF⊥BC.利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利

用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.归纳总结跟踪训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1

⊥AC;(2)BD1⊥EB1.跟踪训练(2)∵𝐵𝐷1=(-1,-1,1),𝐸𝐵1=12,12,1,∴𝐵𝐷1·𝐸𝐵1=(-1)×12+(-1)×12+1×1=0,∴𝐵𝐷1⊥𝐸𝐵1,∴BD1⊥EB1.证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别

为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,0,B1(1,1,1).(1)∵𝐵𝐷1=(-1,-1,1),𝐴𝐶=(-1,1

,0),∴𝐵𝐷1·𝐴𝐶=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0.∴𝐵𝐷1⊥𝐴𝐶,∴BD1⊥AC.例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法

证明𝐷1𝑀与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明𝐷1𝑀与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平

面EFB1的法向量,然后说明𝐷1𝑀与法向量共线,从而证得结论.典例解析证明:(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,所以𝐷1𝑀=𝐷1𝐵1+𝐵1𝑀=𝐷𝐴+𝐷𝐶+12𝐵1𝐵,而𝐵1𝐸=𝐵1𝐵+𝐵𝐸=𝐵1𝐵−12𝐷𝐶,于是

𝐷1𝑀·𝐵1𝐸=(𝐷𝐴+𝐷𝐶+12𝐵1𝐵)·(𝐵1𝐵−12𝐷𝐶)=0-0+0-12+12−14×0=0,因此𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐸.同理𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐹,又因为𝐵1𝐸,𝐵1𝐹不共线,因此D1M⊥平面EFB1

.(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是𝐷1𝑀=1,1,-12,𝐵1𝐸=0,-12,-1,𝐵1𝐹=-12,0,-1,因此𝐷1𝑀·𝐵1

𝐸=1×0+1×-12+-12×(-1)=0,故𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐸;又𝐷1𝑀·𝐵1𝐹=1×-12+1×0+-12×(-1)=0,故𝐷1𝑀⊥𝐵1𝐸.又𝐵1𝐸,𝐵1𝐹不共线,因此

D1M⊥平面EFB1.(方法3)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是𝐷1𝑀=1,1,-12,𝐵1𝐸=0,-12,-1,𝐵1�

�=-12,0,-1,设平面EFB1的法向量为n=(x,y,z),于是n⊥𝐵1𝐸,n⊥𝐵1𝐹,因此-12𝑦-𝑧=0,-12𝑥-𝑧=0,取x=2,则y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),而1,1,-12=12(2,2,-1),即𝐷1𝑀=

12n,所以𝐷1𝑀∥n,故D1M⊥平面EFB1.利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别

证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(3)

法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.归纳总结跟踪训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥

平面PAC.AD=2√2跟踪训练证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2√

2,0),C(2,2√2,0),所以𝐵𝐷=(-4,2√2,0),𝐴𝐶=(2,2√2,0),𝐴𝑃=(0,0,4).所以𝐵𝐷·𝐴𝐶=(-4)×2+2√2×2√2+0×0=0,𝐵𝐷·𝐴𝑃=(-4)×0+2√2×0+0×4=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.因

为AP∩AC=A,AC⊂平面PAC,AP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要

证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.典例解析解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如

图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,则𝐴𝐴1=(0,0,1),𝐴𝐶=(-2,2,0),𝐴𝐶1=(-2,2,1),𝐴𝐸=

-2,0,12.设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1).则𝑛1·𝐴𝐴1=0,𝑛1·𝐴𝐶=0⇒𝑧1=0,-2𝑥1+2𝑦1=0.令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).设平面AEC1的一个法向量为n

2=(x2,y2,z2).则𝑛2·𝐴𝐶1=0,𝑛2·𝐴𝐸=0⇒-2𝑥2+2𝑦2+𝑧2=0,-2𝑥2+12𝑧2=0,令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平

面AA1C1C.1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的

位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.利用空间向量证明面面垂直的方法归纳总结跟踪训练3如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=

AB=BC=FE=.求证:平面AMD⊥平面CDE.12𝐴𝐷分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.证明:如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意得A(0

,0,0),M12,1,12,C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),则𝐴𝑀=12,1,12,𝐶𝐸=(-1,0,1),𝐴𝐷=(0,2,0),可得𝐴𝑀·𝐶𝐸=0,𝐶𝐸·𝐴𝐷=0,因此CE⊥AM,CE⊥AD.

又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE⊂平面CED,∴平面AMD⊥平面CED.跟踪训练金题典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的

中点.(1)求cos<𝐵𝐸,𝐶𝐴1>.(2)在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出|𝐴𝐹|;若不存在,请说明理由.金题典例解:(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=√

2a.∴B(0,0,0),A(√2a,0,0),C(0,√2a,0),B1(0,0,3a),A1(√2a,0,3a),C1(0,√2a,3a),D√22𝑎,√22𝑎,3𝑎,E0,√22𝑎,32𝑎,𝐶𝐴1=(√2a,-√2a,3a),𝐵𝐸=0,√22𝑎,32𝑎.∴|𝐶�

�1|=√13a,|𝐵𝐸|=√112a,𝐶𝐴1·𝐵𝐸=0-a2+92a2=72a2.∴cos<𝐵𝐸,𝐶𝐴1>=𝐵𝐸·𝐶𝐴1|𝐵𝐸||𝐶𝐴1|=7√143143.(2)存在.理由如下:假设存在点F,使CF⊥平面B1DF.不妨设AF=b,则F(√2a,0,b),𝐶

𝐹=(√2a,-√2a,b),𝐵1𝐹=(√2a,0,b-3a),𝐵1𝐷=√22𝑎,√22𝑎,0.∵𝐶𝐹·𝐵1𝐷=a2-a2+0=0,∴𝐶𝐹⊥𝐵1𝐷恒成立.由𝐵1𝐹·𝐶𝐹=2a2+b(b-3a)=b2-3

ab+2a2=0,得b=a或b=2a,∴当|𝐴𝐹|=a或|𝐴𝐹|=2a时,CF⊥平面B1DF.应用空间向量解答探索性(存在性)问题立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,

并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.归

纳总结1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则()A.l⊂αB.l∥αC.l⊥αD.l与α相交答案:C解析:∵直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),∴a=-13n,∴a∥n,∴l⊥α.故选

C.当堂检测2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则()A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED与平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不对答案:B解析

:以D为原点,分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷13.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平

面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是.答案:l⊥β解析:因为a∥b,所以l⊥β.4.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.证明:建立空间直角坐标

系,如图,取A(0,0,a),则易得B(0,0,0),C√32a,√32a,0,D(0,√3a,0),E√34a,√34a,𝑎2,F0,√32𝑎,𝑎2.∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BC=B,

∴CD⊥平面ABC.∴𝐶𝐷=-√32𝑎,√32𝑎,0为平面ABC的一个法向量.设平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·𝐸𝐹=0,即(x,y,z)·-√34𝑎,√34𝑎,0=0.∴x=y.由n·𝐵𝐹=0,即(x,y,z)·0,√32𝑎,𝑎

2=0,有√32ay+𝑎2z=0,∴z=-√3y.取y=1,得n=(1,1,-√3).∵n·𝐶𝐷=(1,1,-√3)·-√32𝑎,√32𝑎,0=0,∴n⊥𝐶𝐷.∴平面BEF⊥平面ABC.5．如图所示，在长方体1111ABCD

ABCD−中，1AD=，12ABAA==，N、M分别是AB、1CD的中点．（1）求证：//NM平面11AADD；（2）求证：NM⊥平面11ABM．证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCDABCD−中，1AD=，12ABAA==，N

、M分别是AB、1CD的中点，(0M，1，1)，(1N，1，0)，(1MN=，0，1)−，平面11AADD的法向量(0n=，1，0)，0MNn=，MN平面11AADD，//MN平面11AADD．（2）1(1A，0，2)，1(1B，2，2)，11(0AB=，2，0)，1(1AM=−，1，1

)−，11·0MNAB=，1·0MNAM=，11MNAB⊥，1MNAM⊥，1111ABAMA=，NM⊥平面11ABM．课堂小结