【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册学案课件4.2.2《第1课时等差数列的前n项和公式》(含答案).ppt，共(31)页，526.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-53685.html

以下为本文档部分文字说明：

4．2.2等差数列的前n项和公式新课程标准解读核心素养1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系.数学抽象、数学运算2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.数学建模、数学运算1．等差数列的前n项和公式是什么？

2．如何从函数的角度看待等差数列的前n项和公式？第一课时等差数列的前n项和公式预习课本第18～22页，思考并完成以下问题[问题导入][新知初探]知识点等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝____

____Sn＝_____________n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d[想一想]Sn＝na1＋n(n－1)2d(d≠0)与二次函数有什么关系？提示：Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋

a1－d2n是关于n的没有常数项的二次函数．[做一做]1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于()A．nB．n(n＋1)C．n(n－1)D．n(n＋1)2解析：因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋n(n－1)2×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝n(n＋1)2

，故选D.答案：D2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32d＝20，即4

×12＋4×32d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.答案：D3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.解析：∵an＝－5n＋2，∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝

－5，∴Sn＝n(－3－5n＋2)2＝－n(5n＋1)2.答案：－n(5n＋1)2[名师点津]1．等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a1＋an

＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和．2．若已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n，则用公式Sn＝n(a1＋an)2来求和．这里a1＋an2是a1与an的等差中项，应用时要注意

结合等差数列的性质．3．公式Sn＝n(a1＋an)2中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋n(n－1)2d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1

，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量．4．等差数列{an}的求和公式Sn＝n(a1＋an)2与梯形面积公式S梯形＝(上底＋下底)×高2类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”．等差数列的前n项和的有关计算[例1]已知等差数列{an

}．(1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.又Sn＝na1＋n(n－1)2d＝－5，解得n＝15或n＝－

4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前

n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an

＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝n(a1＋an)2结合使用．[跟踪训练]设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于()A．13B．35C．49D．63解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.答案：

D等差数列前n项和公式的简单应用[例2]设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an；(2)判断这个数列是否是等差数列．[解](1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－

1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列．[母题探究](变条件)将本例中“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是

否为等差数列？解：(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是

an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4(常数)，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不

是等差数列．已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，当C＝0时，数列{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列．[跟踪训练]设Sn是正数数列{bn}的前n项和，且Sn＝14(bn＋1)2，求{bn}的通项公式．解：当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴

bn＝14(bn＋1)2－14(bn－1＋1)2＝14(b2n－b2n－1＋2bn－2bn－1)．整理得：b2n－b2n－1－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，∵bn＋bn－1＞0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．∴{bn}为公差为2的

等差数列．又∵b1＝14(b1＋1)2，∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.等差数列前n项和公式的实际应用[例3]某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参

战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线

？[解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480

.∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要

注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求n.[跟踪训练]植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁

边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________m.解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的

同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2000(m)．答案：2000[随堂检测]1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(

)A．－12B．－10C．10D．12解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.答案：B2．设Sn是等差数列{an

}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11解析：由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1∴S5＝5(a1＋a5)2＝5×2a32＝5.答案：A3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝

1，则数列{an}的公差为()A.32B．－32C.23D．－23解析：设数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝16，a6＝1，∴S8＝8a1＋8×72d＝16，a6＝a1＋5d＝1，解得a1＝133，d＝－23，故数列{an}的公差

为－23.答案：D4．设{an}是公差大于零的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，则“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由{an}是公差大于零的等差数列，且a2＞0，可得

an＋1＞0，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＞0，即Sn＋1＞Sn；反之，若Sn＋1＞Sn，则当n＝1时，S2＞S1，即S2－S1＝a2＞0.所以“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”的充要条件，故选C.答案：C5．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝_

_______.解析：S19＝19(a1＋a19)2＝19×2a102＝190.答案：190ThankYou!