【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册1.2《空间向量基本定理》课件(共26张)(含答案).ppt，共(24)页，1.357 MB，由MTyang资料小铺上传

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人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？情境导学我们知道平面内的任意一个

向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？核心素养思维导图1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象)2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象)3.会用空间向量基本

定理解决有关问题.(逻辑推理)学习目标问题探究定理解析定理辨析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.2.一

个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实

数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)√做一做2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,

b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C解析:如图所示,令a=𝐴𝐵,b=𝐴𝐴1,c=𝐴𝐷,则x=𝐴𝐵1,y=𝐴𝐷1,z=𝐴�

�,a+b+c=𝐴𝐶1.由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.解:设𝑂𝐴=x𝑂𝐵+y𝑂𝐶,则e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3

),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,∴𝑦-3𝑥=1,𝑥+𝑦=2,2𝑥-𝑦=-1,此方程组无解.即不存在实数x,y,使得𝑂𝐴=x𝑂𝐵+y𝑂𝐶,所以𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶不共面.所以{𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶}能

作为空间的一个基底.3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且𝑂𝐴=e1+2e2-e3,𝑂𝐵=-3e1+e2+2e3𝑂𝐶=e1+e2-e3,试判断{𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶}能否作为空间的一个基

底.例1.如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点．（1）用向量，，表示和．（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求•的值．典例解析解：（1）＝，＝，∴＝++＝++＝+（）+（）＝﹣++，∴＝＝+＝﹣++＝++．＝＝+＝﹣++＝++．（2）＝（+

+）•（++）＝2+•+++2++++2＝++++++++＝跟踪训练1.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB―→＝a，AD―→＝b，AA′―→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上

，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)AP―→；(2)AM―→；(3)AN―→；(4)AQ―→.跟踪训练反思感悟用基底表示空间向量的解题策略1.空间中,任一向量都可以用一个

基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点

最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.归纳总结例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上

,且(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.𝐶𝐺=13𝐶𝐷思路分析选择一个空间基底,将𝐸𝐹,𝐵1𝐶,𝐶1𝐺用基向量表示.(1)证明𝐸𝐹·𝐵1𝐶=0即可;(2)求𝐸𝐹与𝐶1𝐺夹角的余弦值即可.典例解析(1)证明

:设𝐷𝐴=i,𝐷𝐶=j,𝐷𝐷1=k,则{i,j,k}构成空间的一个正交基底.所以𝐸𝐹=𝐸𝐷+𝐷𝐹=-12k+12(𝐷𝐴+𝐴𝐵)=12i+12j-12k,𝐵1𝐶=𝐵1𝐵+𝐵𝐶=-i-k,所以𝐸𝐹·𝐵1𝐶=12𝑖+12�

�-12𝑘·(-i-k)=-12|i|2+12|k|2=0,所以EF⊥B1C.(2)解:𝐸𝐹=12i+12j-12k,𝐶1𝐺=𝐶1𝐶+𝐶𝐺=-k-13j,|𝐸𝐹|2=12𝑖+12𝑗-1

2𝑘2=14|i|2+14|j|2+14|k|2=3,|𝐸𝐹|=√3,|𝐶1𝐺|2=-𝑘-13𝑗2=|k|2+19|j|2=4+49=409,|𝐶1𝐺|=2√103,∴cos<𝐸𝐹,𝐶1𝐺>=𝐸𝐹·𝐶1𝐺|𝐸𝐹|·|𝐶1𝐺|=12𝑖+12𝑗-12𝑘·

-𝑘-13𝑗√3×2√103=432√303=√3015.延伸探究：设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.解:设𝐷𝐴=i,𝐷𝐶=j,𝐷𝐷1=k,则𝐵1𝐶=𝐵1𝐵+𝐵𝐶=-i

-k,𝑀𝐹=𝐴𝐹−𝐴𝑀=12𝑗-12𝑖−12𝑗+12𝑘=-12i-12k=12(-i-k)=12𝐵1𝐶,所以MF∥B1C.应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何

体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).归纳总结1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

可以作为空间向量的一组基底的是()A.𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐷B.𝐴𝐵,𝐴𝐴1,𝐴𝐵1C.𝐷1𝐴1,𝐷1𝐶1,𝐷1𝐷D.𝐴𝐶1,𝐴1𝐶,𝐶𝐶1答案:C解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.当堂达

标2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且𝐴𝐹=𝐴𝐷+m𝐴𝐵-n𝐴𝐴1,则m,n的值分别为()A.12,-12B.-12,-12C.-12,12D.12,12答案:A解析:因为𝐴𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐹=𝐴𝐷

+12(𝐷𝐶+𝐷𝐷1)=𝐴𝐷+12𝐴𝐵+12𝐴𝐴1,所以m=12,n=-12.3.下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,

b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等答案:C解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为

PD中点,若𝑃𝐴=a,𝑃𝐵=b,𝑃𝐶=c,则𝐵𝐸=.答案:12a-32b+12c解析:𝐵𝐸=12(𝐵𝑃+𝐵𝐷)=12(-b+𝐵𝐴+𝐵𝐶)=-12b+12(𝑃𝐴−𝑃𝐵+𝑃𝐶−𝑃𝐵)=-1

2b+12(a+c-2b)=12a-32b+12c.5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)

c.∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.∴1=𝜇,1=𝜆,0=𝜆+𝜇,此方程组无解.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作为空

间的一个基底.6．如图，三棱柱111ABCABC−中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAACAA==．（1）设1AAa=，ABb=，ACc=，用向量a，b，c表示1BC，并求出1BC的长度；

（2）求异面直线1AB与1BC所成角的余弦值．解：（1）111111111BCBBBCBBACABacb=+=+−=+−11cos11cos602ababBAA===，同理可得12acbc==，()222212222BCacbacbaca

bcb=+−=++−+−=．（2）因为1ABab=+，所以()222123ABababab=+=++=，因为()()22111ABBCabacbaacabbacbb=++−=+−++−=，所以11111116cos,623A

BBCABBCABBC===．异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为66．1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数

量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．课堂小结