【文档说明】2023年高考数学二轮专项复习《圆锥曲线》(教师版).doc，共(14)页，229.568 KB，由MTyang资料小铺上传

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2023年高考数学二轮专项复习《圆锥曲线》一、选择题1.设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A.5B.4C.3D.1【

答案解析】答案为：B解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|

PF1|·|PF2|＝12×4×2＝4，故选B.2.“2＜m＜6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】答

案为：B解析：若x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，则有m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，∴2＜m＜6且m≠4.故“2＜m＜6”是“x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件.3.

已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x2m＋y2＝1的离心率为()A.306B.7C.306或7D.56或7【答案解析】答案为：C.解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝6，b＝1，c＝5，则e＝306

；当m＝﹣6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝6，c＝7，则e＝7.故选C.4.若双曲线C1：x22－y28＝1与C2：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，则b＝()A.2B.4C.6D.8【答案解析】答案为：B解

析：由题意得ba＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝45⇒c＝a2＋b2＝25⇒b＝4.故选B.5.设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212＋y216

＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1【答案解析】答案为：B解析：因为抛物线的焦点为(2，0)，故椭圆的焦点在x轴上，且c＝2.又e＝cm＝12，所以m＝4，n2＝m2﹣c2＝12.所以此椭圆的方程为x216＋

y212＝1.故选B.6.已知点P是椭圆x216＋y28＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M―→·MP―→＝0，则|OM―→|的取值范围是()A.[0,3)B.(0,2

2)C.[22，3)D.(0,4]【答案解析】答案为：B；如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.∵F1M―→·MP―→＝0，∴F1M―→⊥MP―→.又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点

.∵O为F1F2的中点，∴OM綊12F2G.∵|F2G|＝||PF2|﹣|PG||＝||PF1|﹣|PF2||，∴|OM―→|＝12|2a﹣2|PF2||＝|4﹣|PF2||.∵4﹣22＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋22，∴|OM―→|∈(0,22).7.已知椭圆

x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x2m2﹣y2n2＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为()A.32B.22C.12D.14【答案解析】答案为：C解析：因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞

0)与双曲线x2m2﹣y2n2＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0)，所以c2＝a2﹣b2＝m2＋n2.因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝c4a2，n2＝c4a2＋c22，所以2c4a2＋c22＝c

2，化为c2a2＝14，所以e＝ca＝12.故选C.8.已知点P是抛物线y2＝﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x＋y﹣4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.2B.2C.52D.522【答案解析】答案为：

D解析：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y﹣4＝0的垂线，此时d1＋d2最小，∵F(﹣1,0)，则d1＋d2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.9.已知双曲线x2a2﹣y2b2＝1(a＞0，b＞0)的

离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．x24﹣y212＝1B．x212﹣y24＝1C．x23﹣y29＝1D．x29﹣y23＝1【答案解析】解析：∵双曲线x2a

2﹣y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋b2a2＝4，∴b2a2＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，﹣3a)，∵b2a2＝3，∴渐近线方程为y＝±3x，则点A与点B到直线3x﹣y＝0的

距离分别为d1＝|23a－3a|2＝23－32a，d2＝|23a＋3a|2＝23＋32a，又∵d1＋d2＝6，∴23－32a＋23＋32a＝6，解得a＝3，∴b2＝9．∴双曲线的方程为x23﹣y29＝1，故选C．10

.已知双曲线x2a2﹣y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且PF1―→·PF2―→最小值的取值范围是[﹣34c2,﹣12c2]，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1，2]B.[2，2]C.(0，

2]D.[2，＋∞)【答案解析】答案为：B.解析：设P(x0，y0)，则PF1―→·PF2―→＝(﹣c﹣x0，﹣y0)·(c﹣x0，﹣y0)＝x20﹣c2＋y20，上式当y0＝0时取得最小值a2﹣c2，

根据已知﹣34c2≤a2﹣c2≤﹣12c2，所以14c2≤a2≤12c2，即2≤c2a2≤4，即2≤ca≤2，所以所求双曲线的离心率的取值范围是[2，2].11.已知双曲线的标准方程为x2a2﹣y2b2＝1，F1，F2为其左、右焦点，若P是双曲线右支

上的一点，且tan∠PF1F2＝12，tan∠PF2F1＝2，则此双曲线的离心率为()A.5B.52C.355D.3【答案解析】答案为：A；解析：由tan∠PF1F2＝12，tan∠PF2F1＝2知，PF1⊥PF2，作PQ⊥

x轴于点Q，则由△PF1Q∽△F2PQ，得|F1Q|＝4|F2Q|＝85c，故P35c，45c，代入双曲线的方程，有b235c2﹣a2·45c2＝a2b2，又a2＋b2＝c2，则(9c2﹣5a2)(c2﹣5a2)＝0，解得ca＝5

或ca＝53(舍)，即离心率e＝5，故选A.12.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10【答案解析】答案为：B解析：设直线AB的方程为x＝ny＋

m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OA→·OB→＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.又y21＝x1，y22＝x2，∴y1y2＝﹣2.联立y2＝x，x＝ny＋m，得y2﹣ny﹣m＝0，∴y

1y2＝﹣m＝﹣2，∴m＝2，即点M(2,0).又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝12|OM||y1|＋12|OM||y2|＝y1﹣y2，S△AFO＝12|OF|·|y1|＝18y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1﹣y2＋18y1＝98y1＋2y1≥298y1·2y

1＝3，当且仅当y1＝43时，等号成立.二、填空题13.已知F1(﹣c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.【答案解析】答案为：[33,22].解析：设P(

x，y)，则PF1→·PF2→＝(﹣c﹣x，﹣y)·(c﹣x，﹣y)＝x2﹣c2＋y2＝c2，①将y2＝b2﹣b2a2x2代入①式，解得x2＝2c2－b2a2c2＝3c2－a2a2c2，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2

≤3c2.∴e＝ca∈[33,22].14.已知F为双曲线x2a2﹣y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且MF→·NF→＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________.

【答案解析】答案为：2；解析：因为MF→·NF→＝0，所以MF→⊥NF→.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲

线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|﹣|NF|＝2a，所以|MF|﹣|NF|＝2a.因为S△MNF＝12|MF|·|NF|＝ab，所以|MF|·|NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|﹣|NF|)2＋2|MF||NF|＝|M

N|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得ba＝1，所以e＝ca＝1＋ba2＝2.15.已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足AF―→＝3FB―→，则弦AB的中点到准线的距离为________.【答案解析】答案为：83;解析：

依题意，设直线AB的方程是x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x＝my＋1，y2＝4x，消去x得y2＝4(my＋1)，即y2﹣4my﹣4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝﹣4.又AF―→＝3FB―→，AF―→＝(1﹣x1，

﹣y1)，FB―→＝(x2﹣1，y2)，于是有﹣y1＝3y2，y22＝43，(y1＋y2)2＝4y22＝163，弦AB的中点到准线的距离为x1＋x22＋1＝y21＋y228＋1＝y1＋y22－2y1y28＋1＝83.16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(

a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则ba＝.【答案解析】答案为：1＋2；解析：|OD|＝a2，|DE|＝b，|DC|＝a，|EF|＝b，故C(a2,-a)，F(a2＋b,b)，又抛物线y2＝2px(p＞0)经过

C、F两点，从而有a2＝2p×a2，b2＝2pa2＋b，即a＝p，b2＝ap＋2bp，∴b2＝a2＋2ab，∴(ba)2﹣2·ba﹣1＝0，又ba＞1，∴ba＝1＋2.三、解答题17.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x

1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值.【答案解析】解：(1)直线AB的方程是y＝2

2（x﹣p2），与y2＝2px联立，消去y得：4x2﹣5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由于p＝4，所以4x2﹣5px＋p2＝0即为x2﹣5x＋4＝0，从而

x1＝1，x2＝4，于是y1＝﹣22，y2＝42，从而A(1，﹣22)，B(4，42).设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，﹣22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ﹣22)，又y23＝8x3，所以[22(2λ﹣1)]2＝8

(4λ＋1)，即(2λ﹣1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.18.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k

的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.【答案解析】解：(1)设双曲线C的方程为x2a2﹣y2b2＝1(a＞0，b＞0).由已知得a＝3，c＝2，再由a2＋b

2＝c2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为x23﹣y2＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23﹣y2＝1，得(1﹣3k2)x2﹣62kx﹣9＝0.由题意知1－3k2≠0，Δ＝3

61－k20，xA＋xB＝62k1－3k2＜0，xAxB＝－91－3k2＞0，解得33＜k＜1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为33，1.(3)由(2)得xA＋xB＝62k1－3k2，所以yA＋yB＝(k

xA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2.所以AB的中点P的坐标为32k1－3k2，21－3k2.设直线l0的方程为y＝﹣1kx＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.因为33＜k＜1，所以﹣2＜1﹣3k2＜0.所以m＜﹣22.所以m的取

值范围为(﹣∞，﹣22).19.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→＞2，其中O为原点，求k的取值范围.【答案解析】解：(1)设双曲线方程为x2a2﹣y

2b2＝1(a＞0，b＞0)，由已知得a＝3，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故双曲线C的方程为x23﹣y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23﹣y2＝1得(1﹣3k2)x2﹣62kx﹣9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得1－3k

2≠0，62k2＋361－3k2361－k2>0，即k2≠13且k2＜1.①设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xAxB＝－91－3k2，由OA→·OB→＞2得xAxB＋yAyB＞2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2

)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)×－91－3k2＋2k×62k1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1，于是3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解此不等式得13＜k2＜3

.②由①、②得13＜k2＜1.故k的取值范围为(﹣1，﹣33)∪(33，1).20.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2﹣y2b2＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，P

N的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值.【答案解析】解：(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双

曲线x2a2﹣y2b2＝1上，有x20a2﹣y20b2＝1.由题意有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2﹣10cx＋35b2＝0.设A(x

1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又C为双曲线上一点，即x23﹣5y23＝

5b2，有(λx1＋x2)2﹣5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x21﹣5y21)＋(x22﹣5y22)＋2λ(x1x2﹣5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21﹣5y21＝5b2，x22﹣5y22＝5b2.由①式

又有x1x2﹣5y1y2＝x1x2﹣5(x1﹣c)(x2﹣c)＝﹣4x1x2＋5c(x1＋x2)﹣5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝﹣4.21.已知点A(0，﹣2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，

直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案解析】解：(1)设F(c,0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1.故E的方程为x24＋y2

＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx﹣2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx﹣2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2﹣16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2﹣3)＞0，即k2＞34时，x1,2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|

PQ|＝k2＋1|x1﹣x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1，所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t＞0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥

4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x﹣2或y＝﹣72x﹣2.22.已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点.线段AB的中点为M(1，m)

(m＞0).(1)证明：k＜﹣12；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→＋FA→＋FB→＝0.证明：|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差.【答案解析】解：(1)证明

：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1.两式相减，并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝﹣34m.①由题设得m＜1－14×3＝32

，且m＞0，即0＜m＜32，故k＜﹣12.(2)由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则由(1)及题设得(x3﹣1，y3)＋(x1﹣1，y1)＋(x2﹣1，y2)＝(0，0)，x3＝3﹣(x1＋x2)＝1，y3＝﹣(y1＋y2)＝﹣2

m＜0.又点P在C上，所以m＝34，从而P1，﹣32，|FP→|＝32.于是|FA→|＝x1－12＋y21＝x1－12＋31－x214＝2﹣x12.同理|FB→|＝2﹣x22.所以|FA→|＋|FB→|＝4﹣12(x1＋x2)＝3.故

2|FP→|＝|FA→|＋|FB→|，即|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列.设该数列的公差为d，则2|d|＝||FB→|﹣|FA→||＝12|x1﹣x2|＝12x1＋x22－4x1x2.②

将m＝34代入①得k＝﹣1.所以l的方程为y＝﹣x＋74，代入C的方程，并整理得7x2﹣14x＋14＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得|d|＝32128.所以该数列的公差为32128或﹣32128.23.设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆

的离心率为53，|AB|＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.【答案解

析】解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得c2a2＝59，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由|AB|＝a2＋b2＝13，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为x29＋y24＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意

，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(﹣x1，﹣y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣(﹣x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由

方程组2x＋3y＝6，y＝kx，消去y，可得x2＝63k＋2.由方程组x29＋y24＝1，y＝kx消去y，可得x1＝69k2＋4.由x2＝5x1，可得9k2＋4＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝﹣89，或k＝﹣12.当

k＝﹣89时，x2＝﹣9＜0，不符合题意，舍去；当k＝﹣12时，x2＝12，x1＝125，符合题意.所以，k的值为﹣12.