【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题36圆锥曲线中的定值定点问题(含解析).doc，共(21)页，2.393 MB，由MTyang资料小铺上传

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问题36圆锥曲线中的定值、定点问题一、考情分析圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与

定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用．二、经验分享1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动

点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出

定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．三、知

识拓展1.设点(),Pmn是椭圆C：()222210xyabab+=上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若PAPBkk+=，则0=时直线AB斜率为定值()220bmnan，若0，则直线AB过定点2222,nbmmna−−−，F是该椭圆焦点，则

,bOPaacPFac−+；2.设点(),Pmn是双曲线C：()222210,0xyabab−=一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若PAPBkk+=，则0=时直线AB斜率为定值()220bmna

n−，若0，则直线AB过定点2222,nbmmna−−+；3.设点(),Pmn是抛物线C：()220ypxp=一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若PAPBkk+=，则0=时直

线AB斜率为定值()0pnn−，若0，则直线AB过定点22,npmn−−+；四、题型分析(一)定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定

点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明．【例1】已知直线l的方程为2yx=+,点P是抛物线24yx=上到直线l

距离最小的点,点A是抛物线上异于点P的点,直线AP与直线l交于点Q,过点Q与x轴平行的直线与抛物线24yx=交于点B.（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点,并求这个定点的坐标.【分析】（Ⅰ）到直线l距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线l平行且与

抛物线相切的切点：如根据点P到直线l的距离()202000022424222242yyyxyd−+−+−+===得当且仅当02y=时取最小值,（Ⅱ）解析几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒

等关系求定点.先设点A2114yy，,求出直线AP方程()114220xyyy−++=,与直线l方程联立,解出点Q纵坐标为11282Qyyy−=−.即得B点的坐标为()()21121142822yyyy

−−−−，,再根据两点式求出直线AB方程()()()21124280yyxyxy−−−+−=,最后根据方程对应1y恒成立得定点()22，【解析】（Ⅰ）设点P的坐标为()00xy，,则2004yx=,所以,点P到直线l的距离()2020000224

24222242yyyxyd−+−+−+===.当且仅当02y=时等号成立,此时P点坐标为()12，.（Ⅱ）设点A的坐标为2114yy，,显然12y.当12y=−时,A点坐标为()12−，,直线AP的方程为1x=；当12y−时,直线AP的方程为()121221

14yyxy−−=−−,化简得()114220xyyy−++=；综上,直线AP的方程为()114220xyyy−++=.与直线l的方程2yx=+联立,可得点Q的纵坐标为11282Qyyy−=−.因为,BQx∥轴,所以B点的纵坐标为11282

Byyy−=−.因此,B点的坐标为()()21121142822yyyy−−−−，.当111282yyy−−−,即218y时,直线AB的斜率()()111122211121282488442yyyykyyyy−−−−==−−−−.所以直

线AB的方程为2111214884yyyyxy−−=−−,整理得()()()21124280yyxyxy−−−+−=.当2x=,2y=时,上式对任意1y恒成立,此时,直线AB恒过定点()22，,当218y=时,直线AB的方程为2x=,仍过定点

()22，,故符合题意的直线AB恒过定点()22，.考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与

参数何时没有关系,找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．【小试牛刀】【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭

圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【解析】（1）对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，联立直线与椭圆得，得，，解得，，，直线，令，得，直线过定点(二)定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(

线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去

变量,从而得到定值．【例2】如图,点()2,0A−,()2,0B分别为椭圆()2222:10xyCabab+=的左右顶点,,,PMN为椭圆C上非顶点的三点,直线,APBP的斜率分别为12,kk,且1214kk=−,//APOM,//BPON.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断OMN

的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】（Ⅰ）设(,)Pmn,则2122224nnnkkmmm==+−−,而2222224144mnmnbb−+==,所以2212

1144bkkb=−=−=（Ⅱ）根据弦长公式求底边MN的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线MN的方程为ykxt=+,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得2222441114ktMNkk+−=++,根据斜率条件121

4kk=−及韦达定理得22241tk−=,高为21tdk=+,代入面积公式化简得222212214112ttkSkkt+===++【解析】（Ⅰ）221,11442,APBPbkkbaa==−==椭圆22:14xCy+=.（Ⅱ）设直线MN的方程为ykxt=+,()11,Mxy,()2

2,Nxy,()22222,4184401,4ykxtkxktxtxy=++++−=+=,122841ktxxk+=−+,21224441txxk−=+,()()1212121212121211404044yykkyyxxk

xtkxtxxxx=−=−+=+++=,()()22121241440kxxktxxt++++=,()2222222448414402414141tktkktttkkk−+−+=−=++,()()()()2222121212114MNkxxkxxxx=+−=++−()

222222284411422414141kttkkkkk−+=+−=+++,21tdk=+,222212214112ttkSkkt+===++.OMN∴的面积为定值1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数

式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对

解析式进行化简、变形即可求得．【小试牛刀】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆

于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆的方程为，则由题意知∴.即∴∴椭圆的方程为（2）设、、点的坐标分别为，，.又易知点的坐标为显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得，∴，∵，

∴将各点坐标代入得，∴圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之．四、迁移运用1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】直线与抛

物线：交于两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则，又，，解得.将直线：代入，得，∴，∴.即直线：，所以过定点2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心

，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，设内切圆的半径为．由得，整理得．因为P为双曲线右支上一点，所以，，所以．故选D．3.【江西省南昌市2019月考】已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所

在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则（）A．B．-3C．D．【答案】A【解析】因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且所以可求得椭圆的标准方程为设A（x1，y1），B（

x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为A、B在椭圆上，所以，两式相减得，即同理可得所以因为直线、、的斜率之和为1所以所以选A4．【福建省2019届适应性练习（四)】设为坐标原点，动

圆过定点,且被轴截得的弦长是8.（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设是轨迹上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.【解析】(Ⅰ)设动圆半径为由动圆被轴截得的弦长是8得消去得故圆心的轨迹的方程(Ⅱ)设直线，，联立方程得，消去得，．则，．设直线

的倾斜角分别是∵，同理，∴．，故直线过定点．5.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．【解析】(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴①∵离心率为∴

②又∵③由①②③得，，.∴椭圆C的方程为C：.(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.由消y得由得.∴∴∴切点A的坐标为又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，∴，，∴∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.6．【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下学期期中】已知椭圆系方程nC：222

2xynab+=(0ab，*nN)，12,FF是椭圆6C的焦点，()63A，是椭圆6C上一点，且2120AFFF=.（1）求6C的方程；（2）P为椭圆3C上任意一点，过P且与椭圆3C相切的直线l与椭圆6C交于

M，N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：QMN的面积为定值，并求出这个定值．【解析】（1）由题意得椭圆6C的方程为6C：22226xyab+=，即2222166xyab+=．∵2120AFFF=．∴212AFFF⊥，又()6,3

A为椭圆6C上一点，∴6c=．222666abc−==，即221ab−=，又()()222263166ab+=，22a=,21b=，∴椭圆6C的方程为2262xy+=．（2）解：①当直线l斜率存在时，设l方程为ykxm=+,由223{2xyykxm+==

+消去y整理得()222214260kxkmxm+++−=，∵直线l与椭圆3C相切，∴()()()2224421260kmkm=−+−=，整理得()22321mk=+．设()00,Pxy，则()00,Qxy−−，且00ykxm=+，∴点Q到直线l的距离0022211kxymmdkk−++==

++，同理由226{2xyykxm+==+消去y整理得()2222142120kxkmxm+++−=，设()()1122,,,MxyNxy，则122421kmxxk+=−+，212221221mxxk−=+MN=()()22121214kxxxx

++−()22222421214?2121kmmkkk−=+−−++()()()222228126121kmkk+−=++2222121kmk+=+，12QMNSMNd=22222121•2211

kmmkk+=++222221mk=+()222232121kk+=+62=．②当直线l斜率不存在时，易知62QMNS=．综上可得QMN的面积为定值62．7．【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的长轴长

为4，A，B是其长轴顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且34MAMBkk=−.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若动点R在直线6x=上，直线AR，BR分别交椭圆C于P，Q两点.请问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐

标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知24a=则2a=，设()00,Mxy，(),0Aa−，(),0Ba，则0000MAMByykkxaxa=−+202200yxa=−，由2200221xyab+=，则2220021xyba=−

，则2234MAMBbkka=−=−，则23b=，由此可得椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）设()6,Rm，则直线AP的方程为()24myx=−；则直线BQ的方程为()28myx=+联立得()2228{143myxxy=++=消去y得：()()22224844480mxmxm

+++−=，则()22448248Qmxm−−=+，即()2224848Qmxm−=+代入直线BQ的方程得22448Qmym=+，故()22224824,4848mmQmm−++.联立得()2224{143myxxy=−+=消去y得：()()22221

244120mxmxm+−+−=，则()22412212Pmxm−=+，即()2221212Pmxm−=+代入直线AP的方程得21212Pmym−=+，故()22221212,1212mmPmm−−++.当()()222

22482124812mmmm−−=++，即224m=，则PQ与x轴交点为2,03T，当()()22222482124812mmmm−−++，即224m时，下证直线PQ过点2,03T，由()2221201

22122123PTQTmmkkmm−=+−=−−+()222240482482483mmmm−+=−−+229902424mmmm−=−=−−，故直线PQ过定点2,03T.8．【江西省新余市2018届

高三二模】已知抛物线()2:20Cxpyp=过点()2,1，直线l过点()0,1P−与抛物线C交于A，B两点.点A关于y轴的对称点为A，连接AB.（1）求抛物线线C的标准方程；（2）问直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】(1)将点()2,1代入

抛物线2:2Cxpy=的方程得，2p=.所以，抛物线C的标准方程为24xy=.(2)设直线l的方程为1ykx=−，又设()11,Axy，()22,Bxy，则()11,Axy−.由21,{41,yxykx==−得2440xkx−+=.则216160k=−，124xx=，124

xxk+=.所以()222121212112444ABxxyyxxkxxxx−−−===−−+.于是直线AB的方程为()2221244xxxyxx−−=−．所以()22122121444xxxxx

yxxx−−=−+=+.当0x=时，1y=，所以直线AB过定点()0,1.9．【湖北省荆州中学2018届高三4月月考】已知动圆过定点()2,0A，且在y轴上截得弦MN的长为4.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设()

1,0B，过点A斜率为()0kk的直线l交轨迹C于,PQ两点，,PBQB的延长线交轨迹C于,ST两点.①若PQB的面积为3，求k的值.②记直线ST的斜率为STk，证明：STkk为定值，并求出这个定值.【解析】（1）设圆心()(),0Cx

yx，过点C作CEy⊥轴，垂足为E，则12MEMN=.∴2222CACMMECE==+∴()222222xyx−+=+，化简为：24yx=.当0x=时，也满足上式.∴动圆圆心的轨迹C的方程为24yx=.（2）设直线l的方程为()2ykx=−，221212,,,44yyPy

Qy，由()24{2yxykx==−，得2480kyyk−−=，216320k=+，12124,8yyyyk+==−.①()21212122111422322PQBSAByyyyyyk=−=+−=+=，解得2k=.②设233,4ySy，

则2111,4yBPy=−，2331,4yBSy=−.∵,,PBS共线∴22313111044yyyy−−−=，即23131440yyyy+−−=，解得：31yy=（舍）或31

4yy=−.∴21144,Syy−，同理22244,Tyy−，∴121212221244244STyyyykkyyyy−+==−=+−∴2STkk=（定值）10.如图,已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F.

点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M,与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上

移动时,|MF||NF|恒为定值,并求此定值．【解析】(1)设F(c,0),因为b＝1,所以c＝a2＋1,直线OB方程为y＝－1ax,直线BF的方程为y＝1a(x－c),解得B(c2,－c2a)．又直线OA的方程为y＝1ax,则A

(c,ca),kAB＝ca－－c2ac－c2＝3a.又因为AB⊥OB,所以3a·(－1a)＝－1,解得a2＝3,故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)由(1)知a＝3,则直线l的方程为x0x3－y0y＝1(y0≠0)

,即y＝x0x－33y0.因为直线AF的方程为x＝2,所以直线l与AF的交点为M(2,2x0－33y0)；直线l与直线x＝32的交点为N(32,32x0－33y0)．则|MF|2|NF|2＝2x0－323y0214＋3

2x0－323y02＝2x0－329y204＋94x0－22＝43·2x0－323y20＋3x0－22.因为P(x0,y0)是C上一点,则x203－y20＝1,代入上式得|MF|2|NF|2＝43·2x0－32x20

－3＋3x0－22＝43·2x0－324x20－12x0＋9＝43,即所求定值为|MF||NF|＝23＝233.11.如图,设点,AB的坐标分别为()()3,0,3,0−,直线,APBP相交于点P,且它们的斜

率之积为23−．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C,点MN、是轨迹为C上不同于,AB的两点,且满足//,//APOMBPON,求证：MON的面积为定值．【答案】（1）()221332xyx+=（2）62【解析】（1）由已知设点P的坐标为(),xy,由题意知()23333AP

BPyykkxxx==−+−,化简得P的轨迹方程为()221332xyx+=．（2）证明：由题意MN、是椭圆C上非顶点的两点,且//,//ONAPOMBP,则直线,APBP斜率必存在且不为0,又由已知23APBPkk=−．因为//,//APOMBPON,所以23OMONkk=

−．设直线MN的方程为xmyt=+,代入椭圆方程2232xy+,得()222324260mymtyt+++−=．．．．①,．设,MN的坐标分别为()()1122,,,xyxy,则2121222426,3232mttyyyymm

−+=−=++．又()2121222221212122636OMONyyyytkkxxmyymtyyttm−===+++−,所以222262363ttm−=−−,得22223tm=+．又22122244872112232MON

tmStyym−++=−=+,所以2226642MONttSt==,即MON的面积为定值62．12．如图,过椭圆2222:1(0)xyabab+=内一点(0,1)A的动直线l与椭圆相交于M,N两点,当l平行于x轴和垂直于x轴时,l被椭圆所截得的线

段长均为22.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点(0,1)A的动直线l都满足||||||||BMANAMBN=？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】（1）22142xy+=；（2）存在点B的坐标(02)，．【解析】（Ⅰ

）由已知得2b=,点(21)，在椭圆上,所以22211ab+=,解得2a=,所以椭圆的方程为22142xy+=．（Ⅱ）当直线l平行于x轴时,则存在y轴上的点B,使||||||||BMANAMBN=,设0(0)By，；当直线l垂直于x轴时,(02)(02)MN−，，，,若使||||||||BMA

NAMBN=,则||||||||BMAMBNAN=,有00|2|21|2|21yy−−=++,解得01y=或02y=．所以,若存在与点A不同的定点B满足条件,则点B的坐标只可能是(02)，．下面证明：对任意直线l,都有||||||||BMANAMBN=,即||||

||||BMAMBNAN=．当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为1ykx=+．设M,N的坐标分别为1122()()xyxy，，，,由221421xyykx+==+，得22(21)420kxkx++−=,其判别式22(4)8

(21)0kk=++,所以,121222422121kxxxxkk+=−=−++，,因此,121212112xxkxxxx++==．易知点N关于y轴对称的点N的坐标为22()xy−，，又11111211BMykxkkxxx−

−===−,2222212111BNykxkkkxxxx−−===−+=−−−,所以BMBNkk=,即BMN，，三点共线,所以12||||||||||||||||xBMBMAMxBNBNAN===．故存在与点A不同的定点(02)B，,使得．