【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围(含解析).doc，共(20)页，4.285 MB，由MTyang资料小铺上传

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问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用

的处理方法和技巧加以归纳.二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关

于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条

件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF1＋||PF2≥2c的运用三、知识拓展1.在求椭圆222210xyabab离心率范围时常用的不等关系：,xayb，acFPac，bOP

a（P为椭圆上一点）2.在双曲线222210,0xyabab中，21cbeaa，四、题型分析(一)借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用

,,abc进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点1,0A和1,0B,动点,Pxy在直线:3lyx上移动,椭圆C以,AB为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为（）A．55B．105C.25

5D．2105【答案】A【解析】1,0A关于直线:3lyx的对称点为3,2A,连接AB交直线l于点P,则椭圆C的长轴长的最小值为25AB,所以椭圆C的离心率的最大值为1555ca,故选A.【点评】求解本题的关键

是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb,若在椭圆1C上存在点P,使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直,则椭圆1C的离心率的取值范围是（）A．1[,1)2B．23[

,]22C．2[,1)2D．3[,1)2【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角APB最小,若椭圆1C上存在点P令切线互相垂直,则只需090APB,即045APO,∴02sinsin452ba,解得222

ac,∴212e,即22e,而01e,∴212e,即2[,1)2e.(二)借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等

关系式,从而求解.【例2】已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点,若,AFBF设,ABF且,,124则椭圆离心率的取值范围是.【答案】26[,]23【解析】左焦点为1F.连结11,A

FBF可得四边形1AFBF是矩形,所以AOOFOBc.所以2ABc又,AFBF所以.2sin,2cosAFcBFc.又因为1AFBF,12AFAFa.所以2sin2cos2cca.即11sincos2si

n()4ca.因为,,124所以62sin()224.所以21262326ca.故填26[,]23.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin2

cos2cca,然后借助已知条件,,124利用三角函数的图象求解离心率的范围.【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD内接于椭圆2222:10xyabab，且AB，

AD斜率之积的范围为32,43，则椭圆离心率的取值范围是（）A.13,23B.32,32C.13,43D.11,43【答案】A【解析】由题意，,DB关于原点对称，设0000,,,,,DxyBxyAxy

，ADABkk22220222220002222000011xxbbaayyyyyybxxxxxxxxa，2222321,,43bcaa

221113,,,4323cea，故选A.(三)借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心

率的范围.【例3】已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn有相同的焦点,则椭圆1C的离心率e的取值范围为（）A．2(,1)2B．2(0,)2C．(0,1)D．1(0,)2【答案】A【解析】∵椭圆221:12xyCmn,∴212am,21bn,212cmn

,212122mnnemm,∵双曲线222:1xyCmn,22am,22bn,22cmn,∴由条件有2mnmn,则1n,∴21112em,由0m,有22m

,1122m,1122m,∴11122m,即2112e,而101e,∴1212e.【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式21112em,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范

围.【小试牛刀】已知二次曲线2214xym,则当2,1m时,该曲线的离心率e的取值范围是（）A．2322，B．26,22C．56,22D．36,22【答案

】C【解析】由当2,1m时,二次曲线为双曲线,双曲线2214xym即为2214xym,且224,abm,则24cm,即有456,222cmea,故选C.(四)根据椭圆或双曲线自身的性质求范

围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆2222100xyabab，中,axa,P是椭圆上任意一点,则1acPFac等.【例4】设12,FF为椭圆22221(0)xyaba

b的左、右焦点,且12||2FFc,若椭圆上存在点P使得212||||2PFPFc,则椭圆的离心率的最小值为（）A．12B．13C．22D．33【答案】D【解析】设),(00yxP,由圆锥曲线的共同特征可得2202200212)(cxeaexaexaPFPF

,所以2222202aecax,即22222212eeaca,所以312e,又01e,解得133e,所以离心率的最小值为33,故选D．【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条

件,根据圆锥曲线的共同特征把212||||2PFPFc转化成基本量a,c,e与0x的关系式,结合椭圆的范围,即可得到e的不等式,从而求出其最小值．【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最

大值为A．B．C．2D．【答案】A【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M在双曲线左支上，即可得出结果.【解析】由双曲线的定义可得，根据点M在双曲线的左支上，可得，，双曲线离心率的最大值为，故选A．四、迁移运用1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为

，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D2．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直

线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即，所以，所以，故选A3．【江西省高安

中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】解：由题意得：四边形的边长为2c,连接,由对

称性可知,||=||=2c,则三角形为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H,则∠=60，||=2c,在直角三角形中,||=,||=,则P(2c,),连接,则||=.由双曲线的定义知,2a=||-||=-2

c=,所以双曲线的离心率为e===，故选C.4．【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】过的左焦点和点的直线可写为：，即与平行又

本题正确选项：5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，则，，根据双曲线的定义，得，即，解之得：；因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，所

以，因此；在三角形中，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选A6．【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从

而有，∴|M|＝c，c，，由双曲线的定义得，得离心率为，故选：B.7．【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A．B．C．D．

【答案】C【解析】由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率，故，故选：C．8．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两

个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，，，,,为△最小边,

△的最小内角，根据余弦定理，，即，，所以．故选：C．9．【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A．2B．C．D．【答案】D【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准

线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为，又因为c=2解得a=4所以离心率故选D.10．【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【

答案】C【解析】由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C11．【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线

的离心率为（）A．4或B．C．D．【答案】D【解析】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D12．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线

与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，，是钝角三角形，是钝角，即有，为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，，，即，由，可得，解得或，舍去，则

双曲线的离心率的范围是．故选：D．13．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为A．B．C．D

．【答案】B【解析】由题意如图：MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MFOC，同理MFOD，∴①，，②①②得到：===,∴2（a﹣c）＝c+a，∴a＝3c，∴e．故选：B．14．【吉林省长春市2019届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分

别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点

到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.15．【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A．B．或C．D．或【答案】D【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE

垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，，设，则，由椭圆定义可知，，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或．当时，；当时，离心率为．综上所述，椭圆C的离心率为或．故选：D．16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知椭圆：，过左焦点作斜率为1的直线

与交于，两点，若线段的中垂线与轴交于（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则中点.直线的方程为，与椭圆联立得，所以.可得.所以，因为，即，所以，，故选B.17．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦

点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故选B．18．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，且，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心

率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合题意，可知，故，结合，可知故，设，所以，，所以，故选D。19．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只

有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设双曲线方程为；所以渐近线方程为因为直线交于点O且相互垂直，与双曲线C交于点，与C交于点，且使得成立的直线有且只有一对，所以可得，所以，即，所以.故选D20．【湖南省郴州市

2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆2222:1xyEab(0ab)的一个焦点2,0F点2,1A为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得8PAPF，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.44,97

B.4497，C.22,97D.22,97【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为11,0F，则1111,AFPFPAAF112189aPFPFPAAFPF

，即92a，11PFPAAF，112817aPFPFPAAFPF，即722,2,97222cacea，即4497e，椭圆E的离心率的取值范围是44,97，故选A.21．【广东省珠海一中等六校2018届

高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】在，，∴，∴，，，∵，∴，，，∴，故选D．22．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点

，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．在中，，由双曲线的定义可得，∴．∵，∴，∴，∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．23

．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵

sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e=．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选C．24．【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知1F、2F分别是椭圆C：22221(0

)xyabab的左、右焦点，若椭圆C上存在点A，满足1223AFAFa，则椭圆的离心率取值范围是（）A.1,12B.1,15C.2,15D.2,15【答案】D【解析】1F、2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左、

右焦点，若椭圆C上存在点A，12122,23AFAFaAFAFa，1273,55AFaAFa，12422,55ccAFAFaea，201,15ee，当点A为右顶点时，可取等号，故选D.25.F1、F2是椭圆x

2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,则椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】22≤e<1【解析】设P(x0,y0)为椭圆上一点,则x20a2＋y20b2＝1.PF1→＝(－c－x0,－y0),PF2→＝(c

－x0,－y0),若∠F1PF2＝90°,则PF1→·PF2→＝x20＋y20－c2＝0.∴x20＋b2(1－x20a2)＝c2,∴x20＝a2c2－b2c2.∵0≤x20≤a2,∴0≤c2－b2c2≤1.∴b2≤c2,∴a2≤2c2,∴22≤

e<1.26.已知P是椭圆2222111xyab11(0)ab和双曲线2222221xyab22(0,0)ab的一个交点,12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点,12,ee分别为椭圆和双曲线的离心率,1223FPF,则1211ee的最大

值为．【答案】233【解析】根据椭圆和双曲线的定义得：1211222,2PFPFaPFPFa,112212,PFaaPFaa,设122FFc,1223FPF,由余弦定理得22212121212242cos3caaaaaaaa,化简得22

21234aac,变形得2212314ee,∴2222121231342eeee,所以121233ee．27.在平面直角坐标系中,已知点(2,2)F及直线:20lxy,曲线1C是满足下列两个条件的动点(,)Pxy的轨迹：①2,PFd其中d是P到直线l的距离；②00.2

25xyxy(1)求曲线1C的方程;(2)若存在直线m与曲线1C、椭圆22222:1(0)xyCabab均相切于同一点,求椭圆2C离心率e的取值范围.【解析】（1）2222(2)(2)22()4PFxyxyx

y,22xyd,由①2,PFd得：222222()4222()2xyxyxyxyxy,即1.xy将1xy代入②得：1150,0,2xxxx,解得：12.2x所以曲线1C的方程为：

1yx1(2).2x（2）(解法一)由题意,直线m与曲线1C相切,设切点为1(,)Mtt,12.2t则直线m的方程为2111()()()yxtxtxttxt,即212.yxtt将212yxtt代入椭圆2C的方程222

222bxayab,并整理得：242222222()4(4)0.btaxatxabtt由题意,直线m与椭圆2C相切于点1(,)Mtt,则4222422222242224164()(4)4(4)0atabtabttabtatbt,即22424.abtt

又222211,tabt即242222.btaabt联解得：22222,2.batt由12,2t及22ab得12.t故2222411abeat,得2150,16e又01,e

故150.4e所以椭圆2C离心率e的取值范围是28.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点．(1)求1a2＋1b2的值；(2)若椭圆的离心率e满足33≤e≤22,求椭圆长轴的取值范围．【解析】(1)设P(x1,y1),Q(

x2,y2),由OP⊥OQ⇔x1x2＋y1y2＝0,∵y1＝1－x1,y2＝1－x2,代入上式,得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.①又将y＝1－x代入x2a2＋y2b2＝1⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.∵Δ＞0,∴x1＋x2＝2a2a2＋

b2,x1x2＝a21－b2a2＋b2,代入①化简得1a2＋1b2＝2.(2)∵e2＝c2a2＝1－b2a2,∴13≤1－b2a2≤12⇒12≤b2a2≤23.又由(1)知b2＝a22a2－1,∴12≤12a2－1≤23⇒5

4≤a2≤32⇒52≤a≤62.∴长轴是2a∈[5,6]．