【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题31利用空间向量求解空间角(含解析).doc，共(32)页，2.019 MB，由MTyang资料小铺上传

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问题31利用空间向量求解空间角一、考情分析利用空间向量求空间角是高考必考问题，一般作为解答题出现在第二问上，难度中等偏易，在高空中属于得分题，主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角二、经验分享(1)

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

(2)用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．(3)利用

向量法求线面角的方法①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(4)利用向量

法计算二面角大小的常用方法①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且

以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．三、题型分析(一)利用空间向量求异面直线所成的角【例1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证

明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．(1)证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得A

G＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2

，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB→，GC→的方向为x轴，y轴正方向，|GB→|为单位长度，建立空间

直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F－1，0，22，C(0，3，0)，所以AE→＝(1，3，2)，CF→＝－1，－3，22.故cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→||CF→|＝－33.所以直线AE与直线CF所成角

的余弦值为33.【点评】两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面直线所成角的取值范围是0，π2，而两向量所成角的取值范围是[0，π]，所以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．【小试牛刀】【陕西

省榆林市2019届高三第二次模拟】如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中点．证明：；设，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．【解析】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性质定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即

，平面，.（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，,得，，而，设平面的法向量为，由可得：，令，则，取平面的法向量，则，故二面角的余弦值为.(二)利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】【黑

龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】如图，四棱锥中，，，，，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO

⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD，∠ABC，，∴，

∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABC

D，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），（﹣1，0，0），（，），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取z，

得（0，，），∵（，），∴cos，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向

向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)．注意：直线与平面所成角的取值范围是0，π2.【小试牛刀】【贵州省贵阳市2019届高三年级第一学期期末】如图所示，在梯形CDEF中，四边形A

BCD为正方形，且，将沿着线段AD折起，同时将沿着线段BC折起，使得E，F两点重合为点P．求证：平面平面ABCD；求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值．【解析】证明：四边形ABCD为正方形，，，，平面PAB，平面平面PAB；以AB中点O为原点建立空间坐标系如图，，，，0，，，，，，，

设是平面PCD的一个法向量，则，，取，则，设直线PB与平面PCD的所成角为，则，故直线PB与平面PCD的所成角的正弦值为：．(三)利用空间向量求二面角【例3】【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.

【解析】证明：（1）因为⊥底面ABCD，所以⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面A．又由四棱台ABCD﹣知，，A，C，四点共面．所以BD⊥．（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，∥OC且＝OC，所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面AB

CD．以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，由，得B1（）．因为E是棱BB1的中点，所以E（）,所以（），（﹣2，0，0）．设（x，y，z）为平面的法向量，则，取z＝3，得（0，4，3），平面的法向

量（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．【点评】利用空间向量求二面角，也可以有两种方法：①分别在二面角α­l­β的面α，β内，沿

α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；②通过法向量求解．设m1⊥α，m2⊥β，则两向量的夹角与该二面角相等或互补．注意：二面角的取值范围是[0，π

]．【小试牛刀】【山东省潍坊市2019届高三下学期一模】如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【解析】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因

为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为.四、迁移运用1．【浙江

省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在三棱锥中，，，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面平面BCD，E为AC的中点．（I）证明：；（II）求直线DE与平面ABD所成的角的正弦值．【解析】（I）过作，（其中与都不重合，否则，若与重合，则

与矛盾，若与重合，则，与矛盾）面面面，又面（II）法一：作，则，由（1）知：面即与面所成角，且法二：由（I）知平面，，以为原点，分别以射线为轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系由题意知：∴，∵平面的法向量为，设与

面所成角为∴2．【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形

，所以，，且因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理，得：，所以.以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

设平面的法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，依题意，平面的一个法向量所以故二面角的余弦值为.3．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.【解析】（1）如图，连结，，则，，，，∴平

面EFN//平面B1BCC1，平面，平面.解：（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，设，则，，，，，解得，，设平面的法向量为，则，取，得，同理可得平面的法向量为，.二面角的余弦值为.4．【东北三省三校（哈尔滨师大

附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【解

析】（Ⅰ）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面,平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（Ⅱ）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为.5．【

贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷】如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.【

解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以.因为，点是的中点，所以.又因为平面，平面，，所以平面.（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.易知，，，则点，，，所以，.设，则.所以.设平面的一个法向量

为，则由得解得令，得平面的一个法向量为，所以，解得.故所求的值为或.6．【山东省淄博市2019届高三3月模拟】如图，在四棱锥PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上

．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅱ)若直线PA//平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．【解析】解：（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，又因为，AP=2，∠PAD=60°，由，可得，所以∠PDA=30

°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，因为，所以DP⊥平面PAB，因为，所以平面PAB⊥平面PCD（Ⅱ）由AB⊥平面PAD以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示建立空间直角坐标系.其中，，，，.从而

，，，设，从而得，，设平面MBD的法向量为，若直线PA//平面MBD，满足，即，得，取，且，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于：.7【山东省淄博市2018-2019学年度3月高三模拟】．如图，在四棱锥中，，，，，，

，平面，点在棱上.（1）求证：平面平面；（2）若直线平面，求此时直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）因为平面，所以，又因为，，，由，可得，所以，，即，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，如图所示

，建立空间直角坐标系，其中，，，，.从而，，，设，从而得，，设平面的法向量为，若直线平面，满足，即，得，取，且，直线与平面所成角的正弦值等于。8．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，．(I)求证：平面PCA⊥平

面PCD；(II)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．【解析】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得，∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，CD底面AB

CD，∴PA⊥CD，又，∴CD⊥平面PCA.又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.设，，则∴x=0，，，即点E的坐标为∴

又平面ABCD的一个法向量为∴sin45°解得∴点E的坐标为，∴，，设平面EAB的法向量为由得令z=1，得平面EAB的一个法向量为∴.又二面角E-AB-D的平面角为锐角，所以，二面角E-AB-D的余弦值为9．

【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图，已知四边形是边长为2的菱形，且，，，，点是线段上的一点．为线段的中点．（1）若⊥于且，证明：平面；（2）若,，求二面角的余弦值．【解析】（1）四边形是边长为2的菱形，且与交于点且为等边三角形，又,,又,,在中，在中，在中,,,，又,（

2）在平面中，过作直线∥,则,如图，以为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，,,,,,,设是平面的法向量，则,即，取，取中点，连结，,，因此，是平面的法向量，,,设二面角的大小为，则,二面角的余弦值为10．【新疆2019届普通高考

第一次适应性检测】如图，和所在平面互相垂直，且，，、分别为、的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【解析】（1）由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系

.易得，，，，，，，因此，，所以.（2）解：如上图中，设平面的一个法向量为.又，，由可取.设平面的法向量，又，，由可取.设二面角大小为，且由题意知为锐角，因此，即所求二面角的正弦值为.11．【晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末】如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点

．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值．【解析】（1）因为是的中点，，所以．又因为，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．因为分别是的中点，所以．又因为平面平面，所以面又因为平面平面，

所以平面平面．（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以．设平面的一个法向量为，则，令，得，所以．易知平面的一个法向量为．所以．又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值．12．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】如图，在

四棱锥中，且和分别是棱和的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.【解析】（Ⅰ）∵为中点，，∴．又，∴四边形为平行四边形．∵为中点，∴，∴四边形为矩形，∴．由得，又，∴平面．∵，∴平面．又平面，∴．∵，∴．又，

∴平面．∵平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．以为原点，为轴，为轴，平面内过点且与的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．∵，∴．又，∴．∴点到轴的距离为．∴同时知．又，∴．∴．设平面的一个法向量为，由得令则．又，设直线与平面所成的角为.则．即直线与平面所成

的角的正弦值为．13．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，是中点，点在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.【解析】(Ⅰ)解：中，∴∴；连，中∴∴，∴又∴平面∴(Ⅱ)由（1）：，又侧面

底面于，∴底面，∴以为原点，延长线、、分别为、、轴建系；∴，，,，，∴，，，设，（），则，设平面的一个法向量，则，可得又平面的一个法向量由题：，即解得：14．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】如图

，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，，，为线段上一点.(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由(2)己知，若异面直线与成角，二而角的余弦值为，求的长.【解析】解：（1）延长

，交于点，连接，则平面.若平面，由平面平面，平面，则.由，，则，故点是线段上靠近点的一个三等分点.（2）∵，，，平面，平面，则平面以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，则，，设平面和平

面的法向量分别为，.由，得即，令，则，故.同理可求得.于是，则，解之得（负值舍去），故.∴.15．【江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考】如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设二面角的平

面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】解：（Ⅰ）四边形是正方形，∴.∵平面平面平面平面，∴平面.∵平面，∴.∵，点为线段的中点，∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）

由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.在平面内过作交于点，∴，故，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，∴.∵平面，则，，又为的中点，，假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，设平面

的法向量为，则∴，令，则，则平面，平面的一个法向量,,则∴.，解得，∴16．【2019年四川省达州市高考理科数学一诊】如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，，平面ABCD，，，F是线段P

G的中点；求证：平面PAC；若时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．【解析】证明：分别连接DB，DF，，F分别是线段AG，PG的中点，，，又，，四边形BDFE为平行四边形．．四边形ABCD时

正方形，，平面ABCD，，，AC是面PAC内两两相交直线，面PAC，平面PAC；解：分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，2，，2，，0，，，．设平面PCF的法向量，由．．平面PAG的法向量为．平面PCF与平面PAG所成

二面角的余弦值为．