【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题18等差数列等比数列的证明问题(含解析).doc，共(10)页，518.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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问题18等差数列、等比数列的证明问题一、考情分析等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全．二、经验分享1.等差数列证明方法主要有：(1)定义法：an－an－1(n≥2,

n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验

证数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；【点评】证明数列an＋1－12an成等比数列的关键是利用已知得出an＋2－12an＋1an＋1－12an＝12.【小试牛刀】【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省

六校（K12联盟）2018届高三上学期期末】已知数列na满足，1na且11a．（1）求证：数列11na是等差数列，并求出数列na的通项公式；（2）令1nnba，，求数列nc的前

2018项和2018S．（2）由（1）知221nbn，∴，∴，40364037．(二)运用等差或等比中项性质是等差数列,{}na是等比数列,这是证明数列{}na为等差（等比）数列的另一种主要方法．【例2】正数数列{}na和{}nb满足：对任意自然数成

等差数列,成等比数列．证明：数列{}nb为等差数列．【点评】本题依据条件得到na与nb的递推关系,通过消元代换构造了关于{}nb的等差数列,使问题得以解决．通过挖掘nS的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算．【小试牛刀】已知等比数

列{an}的公比q＝－12.(1)若a3＝14,求数列{an}的前n项和；(2)证明：对任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差数列．【解析】(1)由通项公式可得a3＝a1－122＝14,解得a1＝1,再

由等比数列求和公式得Sn＝1×1－－12n1－－12＝2＋－12n－13.(2)证明：∵k∈N*,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)＝a1qk－1·2

－122－－12－1＝0,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0,∴对任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差数列．(三)反证法解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这

时可从反面去考虑．如：【例3】设{}{}nnab，是公比不相等的两等比数列,nnncab．证明数列{}nc不是等比数列．【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求．要证{

}nc不是等比数列,只要由特殊项（如2213ccc）就可否定．一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性．【小试牛刀】【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有。（1）若0，，求r

的值；（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。【解析】（1）令n＝2，得：，即：，化简，得：，因为，，，所以，，解得：r＝1.（2）假设是等比数列，公比为，则，且，解得或，由，可得，所以，两式相减，整理得，两边同除以，可得，因为

，所以，【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比为q,记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋„＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·„·am(n－1)＋m(m,n∈N*),则以下结论一定

正确的是()A．数列{bn}为等差数列,公差为qmB．数列{bn}为等比数列,公比为q2mC．数列{cn}为等比数列,公比为qm2D．数列{cn}为等比数列,公比为qmm【答案】C【解析】bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋„＋qm－1

),bn＋1bn＝amn＋1amn＋1－m＝qm,故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误；cn＝amm（n－1）＋1·q1＋2＋„＋(m－1),cn＋1cn＝(qm)m＝qm2,故数列{cn}为等比数列,公比为qm2,D错误

,故选C.五、迁移运用1.已知数列,nnab满足,则“数列na为等差数列”是“数列nb为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A

2已知数列na的前n项和,则“AB“是“数列na是等比数列”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当0AB时,不是等比数列；若数列na是等比

数列,当1q时,与数列na是等比数列矛盾,所以,因此“AB“是“数列na是等比数列”的必要不充分条件,选B.因为对任意*nN，总存在数列nb中的两个不同项sb，tb，使得sntbcb，所以对任意的*nN都有，明显0q

.若1q，当时，有，不符合题意，舍去；若01q，当时，有，不符合题意，舍去；故1q.8．【山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列na满足13a，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列

na的前10项和10S.9．【云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考】已知数列na满足*nN.（1）证明：1na是等比数列；（2）令12nnnnbaa，求数列nb的前n项和nT.【

解析】（1）由1121Sa得：11a∵2n，∴，从而由得1121nnaa2n，∴1na是以2为首项，2为公比的等比数列．10．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列na的前n项和nS，

对任意正整数n，总存在正数,,pqr使得1nnap，nnSqr恒成立：数列nb的前n项和nT，且对任意正整数n，2nnTnb恒成立.（1）求常数,,pqr的值；（2）证明数列nb为等差数列；（3）若12b

，记，是否存在正整数k，使得对任意正整数n，nPk恒成立，若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵nnSqr①∴②，2n，①-②得：，即，2n，又1nnap∴，2n，2n时，2pqq；3

n时，.∵,pq为正数又因为，所以数列nb是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，因为，所以，所以.13．【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】已知数列数列na的前n项和且，且.（1）求2a的值，并证明：；（2）求数列

na的通项公式.14．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列na，11a，前n项和nS，12na是nS与1nS的等差中项（2n）．（1）求证：nS是等差数列，并求na的通项公式

；（2）设，求nb前n项和nT．15．【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考】设数列na的前n项和为nS，点在直线上.（1）求证：数列na是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线nxa与函数2fxx的图象交于点nA，与函数的图象

交于点nB，记（其中O为坐标原点），求数列nb的前n项和nT.【解析】（1）点,nnaS在直线上，①（i）当1n时，.（ii）当2n时，②①-②12nnaa即12nnaa.数列na是首项为2，公比

为2的等比数列.（2）由已知即数列是首项为2，公比为2的等比数列，.（2）设为数列的前项和，则，当时，，两式相减得，经验证当时也成立，故，当时，，故当时，.利用错位相减法可求得，，.又也符合上式，故数列的通项公式为.