【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题15平面向量中的最值范围问题(含解析).doc，共(11)页，724.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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问题15平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思

路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够

建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其

合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过

向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于某些平面向量问题,若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是

通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性.三、知识拓展1．.2．四、题型分析(一)平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量cosab叫做

a和b的数量积(或内积),记作ab.即ab=cosab,规定00a,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=cosab；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x

2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】在边长为2的等边三角形ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点,则EDEB的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EBED分别表示,结合已知条件设|AE|x（02x）,将

EDEB用变量x表示,进而转化为二次函数的值域问题．ca表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；∵圆心到B的距离为,∴ca的最大值为12,故选：D．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或

点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末】已知向量，满足，，则的取值范围是A．B．C．[D．[【答案】D【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义

得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即.故答案为D.(三)平面向量夹角的取值范围问题设11(,)axy,22(,)bxy,且,ab的夹角为,则．【例3】已知向量OA与OB的夹角为,0t在时取得最小值,当

0105t时,夹角的取值范围为（）A.0,3B.,32C.2,23D.20,3【分析】将PQ表示为变量t的二次函数PQ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件010

5t,得关于夹角的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,ab满足2ab,若函数在R上存

在极值,则a和b夹角的取值范围为（）A.0,6B.,3C.2,33D.,3【答案】B【解析】,设a和b夹角为,因为fx有极值,所以,即,即1cos2,所以,3．3．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、

鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末】中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C4．【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】如图，在中，，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为()A．B．C．

D．【答案】B则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.5．【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】在四边形中,已知是边上的点,且,,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C6．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m,n是

两个非零向量,且1m,23mn,则mnn的最大值为A.5B.10C.4D.5【答案】B【解析】,,25n,,令,则,令'0fx,得10,2x当时,'0fx,当时,'0fx,当102x时,fx取得最大值,故选B.7．【

2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知G是ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点,MN,且AMxAB,ANyAC,,0xy,则3xy的最小值是()A.83B.72C.52D.423

33【答案】D【解析】令故故当且仅当等号成立,故选D8.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足0ABAC,,,用1S、2S、3S分别表示ABC、ACD、A

BD的面积,则123SSS的最大值是（）A.12B.2C.4D.8【答案】B9．【2018届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量,,abc满足2ab,2ab,,则c的最大值等于（）

A.4B.2C.2D.1【答案】A【解析】由2ab,2ab,,可得,如图所示,设则,A,O,B,C四点共圆,23AB,由三角形的正弦定理得外接圆的直径,当OC为直径时,它的模c最大,最大为4,故选A.12.【

2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,ab夹角为3,2b,对任意xR,有,则的最小值是__________．【答案】72【解析】,表示,0Pt与的距离之和的2倍,当,,MPN共线时,取得最小值2M

N,即有,故答案为72.13．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD中,3AB,1AD,若M,N分别在边BC,CD上运动（包括端点,且满足,则AMAN的取值范围是__________．【答案】[1,9]14.【2018届安徽省蒙城“五校”联

考】在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且12BCCD,点O在线段CD上（与点,CD不重合）,若,则x的取值范围是__________．【答案】2,0【解析】因为,因为12BCCD,点O在线段CD上,所以0,2

y,因为,所以2,0x.15．【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．【答案】又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.