【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题08形形色色的切线问题(含解析).doc，共(9)页，480.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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问题08形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题..二、经验分

享(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k＝f′(x0)．(2)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k,求切

点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k.(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数

图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若fx在2x处取极值,求fx在点1,1f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时,若fx有唯一的零点0x,求证：01.x【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知

0x,令,则由,可得6axgx在0,6a上单调递减,在,6a上单调递增.又,故当时,0gx；又,故gx在1,上有唯一零点,设为1x,从而可知fx在10,x上单调递减,在1,x上单调递增,因为fx有唯一零

点0x,故10xx且01x(三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和都相切,则a等于()A.1或2564B.1或214C.74或2564D.74或7【分析】本题两条曲

线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3yx入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利

用切线与求a的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解

析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【

答案】0或1(四)曲线条数的确定【例4】已知函数,若过点1,Pt存在3条直线与曲线yfx相切,求t的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P为切点的切线,所以考虑先设切点00,xy,切线斜率为k,则满足,所以切线方程为,即,代入1,Pt化简可得：,所以若

存在3条切线,则等价于方程有三个解,即yt与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标00,xy,切线斜率为k,则有：切线方程为：因为切线过1,Pt,所以将1,Pt代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线yt与有三个不同交

点令'0gx解得01x所以gx在单调递减,在0,1单调递增所以若有三个交点,则3,1t所以当3,1t时,过点1,Pt存在3条直线与曲线yfx相切.【点评】曲线切线条数的

确定通常转化为切点个数的确定,设出切点,Ptft,由已知条件整理出关于t的方程,可把问题转化为关于t的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点

作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函

数fx是偶函数,当0x时,,则曲线yfx在点1,1f处切线的斜率为（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知fx是定义在R上的单调函数,满足,则fx在0,0f处的切

线方程为（）A.1yxB.1yxC.1yxD.1yx【答案】A【解析】由题意可得xfxe为一固定的数,设,则有1fa.由可得,当xa时,有,解得0a.∴xfxe,∴

xfxe.∴,又.∴曲线fx在0,0f处的切线方程为y1x,即1yx.选A.7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,PP为曲线:lnCyx（0x且1x）上的两点,分别过12,PP作曲线C的切线交y轴于,M

N两点,若,则MN（）A.1B.2C.3D.4【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P为函数与图象的公共点,以P为切点可作直线l与两曲线都相切,则实数b的最大值为（）A.3423eB.3432eC.2343eD.23

34e【答案】D【解析】设yfx与在公共点00,Pxy处的切线相同,,由题意,即,由得0xa或03xa（舍去）,即有,令,则,于是当,即130te时,'0ht；当,即13te时,'0ht,故ht在130,e为增函数,在13,e为减函

数,于是ht在0,的最大值为,故b的最大值为2334e,故选D.9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有()A.3条B.2条C.1条D.0条【来源】数学（理）试题【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测

试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为A.21eB.212eC.213eD.214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0xa或013xa(舍去),代入(2)得,,构造,则hx在10

,e上单调递减,在1,e上单调递增,即bhx的最小值为,所以b的最大值为21e,故选A.11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C,若曲线C存在与直线12yx垂直的切线

,则实数m的取值范围是（）A.2mB.2mC.12mD.12m【答案】A【解析】∵曲线C存在与直线12yx垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,abR）,2gxx.（1）若1a,曲线yfx在点

1,1f处的切线与y轴垂直,求b的值；（2）若2b,试探究函数fx与gx的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数fx与gx的图象在其公共点00,xy处存在公切线,∵

2b,∴,∴,'2gxx,由得,即,∴,故02ax.∵函数fx的定义域为0,,当0a时,,∴函数fx与gx的图象在其公共点处不存在公切线；当1t时,ln0t,,由函数图象的性质

可得lnyt和212ty的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a时,函数fx与gx的图象在其公共点处不存在公切线；当0a时,函数fx与gx的图象在其公共点处存在公切线,

且符合题意的的值有且仅有两个.