【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题07函数与方程不等式相结合问题(含解析).doc，共(13)页，836.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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问题07函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们

贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函

数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题.注意不等式：||||ba对,abR是恒成

立的.特别要注意等号成立的条件.渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三1

2月联考】已知函数,若恰好存在3个整数x,使得成立,则满足条件的整数a的个数为（）A.34B.33C.32D.25【答案】A【解析】画出fx的函数图象如图所示：(三)函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不

等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为

重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数,其中m,a均为实数．(1)求()gx的极值；(2)设1,0ma,若对任意的12,[3,

4]xx12()xx,恒成立,求a的最小值；(3)设2a,若对任意给定的0(0,e]x,在区间(0,e]上总存在1212,()tttt,使得成立,求m的取值范围．【分析】(1)求()gx的极值,就是先求出'()gx,解方程'()0gx,

此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()gx的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定()fx在[3,4]上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数1()gx在[3,4]上也是增函数,不妨设21x

x,这样题设绝对值不等式可变为2()fx1()fx21()gx11()gx,整理为,由此函数在区间[3,4]上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求a的取值范围．采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在[3,4]上的最大值；（3）由于0x的任意性,我们可先求出()

gx在(0,]e上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()tttt,使得1()ft2()ft0()gx成立”,转化为函数()fx在区间(0,]e上不是单调函数,极值点为2m（20em）,其次()1fe,极小值2()0fm,最后还要证明在2(0,)m上,存

在t,使()1ft,由此可求出m的范围.【解析】（1）,令()0gx,得x=1．【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用.对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心

,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用.有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、

闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.【小试牛刀】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在0,的函数,若关于x的方程有且只有3个不同的实数根,则实数t

的取值集合是．【答案】五、迁移运用1．【2019届广东省汕头高三上学期第二次联考】设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】2．【2019届四川省攀枝花市高三第一次统考】在直角坐标系中,如果相异两点都在函数

y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有()A．对B．对C．对D．对【答案】C【解析】因为关于原点对称的函数解析式为,所以函数的图象上关于原点成中心对称的点

的组数，就是与为图象交点个数，同一坐标系内，画出与图象，如图，由图象可知，两个图象的交点个数有5个，的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.3．【2019届山东省济南高三11月调研】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A．

B．C．D．【答案】B4．【2018届安徽省芜湖市高三一模】已知函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，作图，由与相切得，由与相切得设切点，如图可得实数的取值范围是，选B.5．【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知定义

在上的函数，当时，，且对于任意的实数，都有，若函数有且只有三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图可知,选B.13.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检,10】已知函数,则的解集为（）A．B．C.

1ln2,1D．1,1ln2【答案】B【解析】因为当1x时,；当1x时,,所以,等价于()1fx,即121xe,解得1ln2x,所以的解集为,故选B．14.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】

设函数（aR,e为自然对数的底数）,若曲线sinyx上存在一点00(,)xy使得,则a的取值范围是．【答案】1,e【解析】由题设及函数的解析式可知,所以10y．由题意问题转化为“存在]1,0[x,使得有解

”,即在]1,0[有解,令,则,当0x时,函数是增函数；所以10x,当,即exh)(1.所以1,e,故应填答案1,e.15．【2019届天津市三校联考】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】16．【2019届广东

省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测】已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间

上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．19.定义在上的函数()fx及二次函数()gx满足：,,且()gx的最小值是1．（Ⅰ）求()fx和()gx的解析

式；（Ⅱ）若对于12,[1,2]xx,均有成立,求实数a的取值范围；（Ⅲ）设讨论方程的解的个数情况．【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）(,4]（Ⅲ）三个解．（Ⅱ）设,,依题意知：当12x时,∵,()Fx在[1,2]上单调递增,,解得4a,实数a的取值范围是(,

4]；（Ⅲ）图像解法：()x的图象如图所示：令()Tx,则()1T而()1x有两个解,()1xe有1个解．有3个解．（2）若,则或,∴；若,则或由解得,而无解综上所述,方程共有三个解．20.已知函数．（1）讨论fx的单调性；（2）证明：当

0,1x时,；（3）若函数fx有两个零点1x,2x,比较12+2xxf与0的大小,并证明你的结论.【答案】（1）1a时,f（x）在1(0,)a上递增,1(1)a，上递减,(1,)上递增；1a时,f（x）在(0

,)上递增；10a时,f（x）在(0,1)上递增,1(1)a，上递减,1(,)a上递增；0a时,f（x）在(0,1)上递增,在(1,)上递减；（2）见解析；（3）．综上所述：1a时,f（x）在1(

0,)a上递增,1(1)a，上递减,(1,)上递增；1a时,f（x）在(0,)上递增；10a时,f（x）在(0,1)上递增,1(1)a，上递减,1(,)a上递增；0a时,f（x）在(0,1)上递增,在(1,)上递减；（2）设∴∴()gx在(0,1)x上单

调递减∴得证．22.【2018届海南省八校高三上学期新起点联盟考试】设函数,其中0a.(1)若直线ym与函数fx的图象在0,2上只有一个交点,求m的取值范围；(2)若fxa对xR恒成

立,求实数a的取值范围.(2)当0x时,,0a,令'0fx得1x；令'0fx得10x,fx递增；令'0fx得1x,fx递减,∴fx在1x处取得极小值,且极小值为,∵0a

,∴210ae,∵当即02ea时,,∴2a,即2a,∴无解,当即2ea时,,∴,即2eae,又22eee,∴2eae,综上,.