【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算(含解析).doc，共(14)页，1.013 MB，由MTyang资料小铺上传

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问题01数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多

出现在试卷的前3题中．二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：①220x

xx；②22xyxx；③22yyxx；④2,2xyyxx.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy的整数解集可表示为1,2,2,1,1,2,2,1

.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数

时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新

定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．三、知识拓展1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,

真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝BUUABABU痧.3．奇数集：21,21,41.xxnnxxnnxxnnZZZ.4.数集运算的封闭性,

高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z

对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍

是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I卷】已知集合，则A.B.C.D.【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,

解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合1Axx,31xBx,则（）.A.0ABxxB.ABRC.

1ABxxD.AB【答案】A【解析】1Axx,310xBxxx,所以0ABxx,1ABxx.故选A.(二)与点集有关的基本运算【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2yMx

yNxyaxyaMNx,则a（）A．－2B．－6C．2D．一2或－6【分析】首先分析集合M是除去点(2,3)的直线33yx,集合N表示过定点(1,0)的直线,MN等价于两条直线平行或者直线20

axya过(2,3),进而列方程求a的值．【解析】由3333(2)2yyxxx若MN,则①：点(2,3)在直线20axya上,即2602aaa；②：直线33yx与直线20axya平行,∴36

2aa,∴2a或6.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．【小试牛刀】【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】

，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为()A．(－∞,2)B．(－∞,2]C．(2,＋∞)

D．[2,＋∞)【分析】先得到A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.【小试牛刀】已知P＝{x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为____

____．【答案】(5,6]【解析】因为P中恰有3个元素,所以P＝{3,4,5},故k的取值范围为5<k≤6.(四)数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M是满足下列性质的函数()fx的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,

有()()fxTTfx成立.（1）函数()fxx是否属于集合M？说明理由；（2）设函数()(0xfxaa且1a）的图象与yx的图象有公共点,证明：()xfxa∈M；（3）若函数()sinfxkx∈M,求实数k的取值范

围.【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足()()fxTTfx的函数构成．【解析】（1）对于非零常数T,f（x+T）=x+T,Tf（x）＝Tx．因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f（x）＝xM．（2）

因为函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,所以方程组：xyayx有解,消去y得ax=x,显然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T．于是对于f（x）=ax,有f（x＋T）

=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf（x）,故f（x）=ax∈M．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何

问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系xoy中,全集},|),{(RyxyxU,集合}20,1sin)4(cos|),{(yxyxA,已知集合A的补集ACU所对应区域的对称中心为M,

点P是线段)0,0(8yxyx上的动点,点Q是x轴上的动点,则MPQ周长的最小值为（）A．24B．104C．14D．248【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题【例5】若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x－y∈A,且x≠0时,1

x∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3【分析】抓住新定义的特

点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【解析】选C,(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为－1∈B,1∈B,所以－1－1＝－2∈B,这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x－y∈Q,且x≠0时,1x∈

Q,所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0－y∈A,即－y∈A,所以x－(－y)∈A,即x＋y∈A.【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题

的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}Mxyxy,若实数,满足：对任意的(,)xyM,都有(,)xyM,则称(,)是集合M的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（）A

．{(,)|4}B．22{(,)|4}C．2{(,)|44}D．22{(,)|4}【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)所构成的集合为{(,)|11,11},将其看

作点的集合,为中心在原点,(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C为抛物线,有公共点(0,1),故选C.五、迁移运用1．【安徽省宿州市2018届第三次质检

】已知全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A2．【四川省成都市2018届模拟】设，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当

时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3．【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合，，则（）A.B.C.D.【答

案】B【解析】，的子集个数为故选C.4．【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（）A.4B.8C.16D.32【答案】C5．【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则（）A.B.C.D.【答案】B【解

析】∵，∴，即，∴，故选B.6．【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，，∴故选：D7．【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解

析】因为，，所以，即．8．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},AxxaBxxx若,ABB则实数a的取值范围是（）A.1aB.1aC.2aD.2a【

答案】D【解析】集合2|,|320|12AxxaBxxxxx,,ABBBA,则2a,故选D.9．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合0,1,1,0,3ABa,若A

B,则a的值为（）A.2B.1C.0D.1【答案】A【解析】因为0,1,1,0,3ABa,且AB,所以31a,所以2a,故选A.10．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合220Mxxx,1N

xyx,则MN（）A.1xxB.12xxC.12xxD.0xx【答案】A【解析】{|12},1,1,2MxxNMN,选A.11.已知集合，，则的元素个数为（）A．B．C．D．

【答案】B12．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意的圆心为，半径为1，而圆心（-3sinα，-3cosα），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9，故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，∴集

合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合1,2,4A,240Bxxxm.若1AB,则B（）.A．1,3B．1,0C．1,3D．1,

5【答案】C【解析】由题意知1x是方程240xxm的解,代入解得3m,所以2430xx的解为1x或3x,从而13B，.故选C.14．若集合2|870,|3xMxNxxPxN,则MP等于（）A.3,6B.4,5

C.2,4,5D.2,4,5,7【答案】C【解析】因为2|870|17=2,3,4,5,6,|3xMxNxxxNxPxN,所以2,4,5MP,故选C.15．已知集合BAxyxA,1,则

集合B不可能是（）A．124xxxB．1),(xyyxC．1xyD．)12(log22xxyy【答案】D【解析】11xxxyxA,1)12(log22yyxxyy,故选D.16.已知集合M是由具有如下性质的函数

()fx组成的集合：对于函数()fx,在定义域内存在两个变量12,xx且12xx时有1212()()fxfxxx．则下列函数①()(0)xfxex；②ln()xfxx；③()fxx；④()1sinfxx在集合M中的个数是A．

1个B．2个C．3个D．4个【答案】B对于③1(),()02fxxfxx,函数()fx在(0,)单调递增,在定义域内存在两个变量12,xx且12xx时,在()fx单调增区间时有0()1fx,此时只须1x时可得0()1fx

.满足题意对于④()1sin,,()cosfxxfxx,函数()fx在3(2,2)()22kkkZ单调递减,在定义域内存在两个变量12,xx且12xx时,在()fx单调减区间时有()0fx,满足题意.17．设

{}na是公比为q的等比数列,||1q,令1(1,2,)nnban,若数列{}nb有连续四项在集合{53,23,19,37,82}中,则q（）A．32B．43C．23D．32【答案】A18

.已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤1,x,y∈Z},B＝{(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB＝{(x1＋x2,y1＋y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为()A．77

B．49C．45D．30【答案】C【解析】如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(

即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.19.非空集合G关于运算满足：（1）对任意a,Gb,都有

Gab；（2）存在Ge,使得对一切Ga,都有aeeaa,则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G非负整数,为整数的加法；②G偶数,为整数的乘法；③G平面向量,为平面向量的加法；④G二次三项式,为多项式的加法；⑤G虚数,为

复数的乘法．其中G关于运算为“融洽集”的是（）A．①③B．②③C．①⑤D．②③④【答案】B20．若集合,,,|04,04,04,,,EpqrspsqsrspqrsN且,,,,|04,04,,,FtuvwtuvwtuvwN且,用card

X表示集合X中的元素个数,则cardEcardF（）A．50B．100C．150D．200【答案】D【解析】333312341010200cardEcardF,故选D.21．【20

18届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合1,2,21Am,集合22,Bm,若BA,则实数m__________．【答案】1【解析】由题意得2211mmm,验证满足22.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、bP,都有ab、ab、ab、aPb

（除数0b）,则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是．【答案】①④【解析】当ab

时,0,1aabPb,故可知①正确；当11,2,2abZ不满足条件,故可知②不正确；对③当M中多一个元素i则会出现1iM所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限

集,故可知④正确,故答案为①④.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上

,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题

的解答都围绕新概念“数域”对任意a、bP,都有ab、ab、ab、这一性质展开的.