【文档说明】2022年中考数学一轮精讲精练第14课时《二次函数的应用》 (含详解).doc，共(6)页，137.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第14课时二次函数的应用二次函数的建模及应用正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（

2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值.解：（1）如图，以点O为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系.（答案不唯一）①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴O（0，0），A（4，0），P（2，2）；②设抛物线L的解析式为y＝

ax2＋bx＋c.∵抛物线L经过O，P，A三点，∴0＝c，0＝16a＋4b＋c2＝4a＋2b＋c，，解得a＝－12，b＝2，c＝0，∴抛物线L的解析式为y＝－12x2＋2x；（2）∵点E是正方形内的抛物

线上的动点，∴设点E的坐标为（m，－12m2＋2m）（0＜m＜4），∴S△OAE＋SOCE＝12OA²yE＋12OC²xE＝－m2＋4m＋2m＝－（m－3）2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.核心考点解读二次函数的实际应用1.应用二次函数解决实际

问题的解题方法（1）设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的函数；（2）列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式；（3）定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围；（4）解：利用相关性质解决问题；（5）

答：检验后写出合适的答案.二次函数的综合应用2.二次函数的常见题型（1）抛物线型解决此类问题的关键是选择合理的位置建立直角坐标系.建立直角坐标系的原则：①所建立的直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴、y轴、原点、抛物线上等），方便求二次

函数的解析式和之后的计算求解.（2）结合几何图形型解决此类问题一般是根据几何图形的性质，找自变量与该图形面积（或周长）之间的关系，用自变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意和二次函数的性

质解题即可.（3）最值型①列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；②配方或利用公式求顶点坐标；③检查顶点是否在自变量的取值范围内.若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若

不在，则在自变量的取值范围的两端点处，根据函数增减性确定最值.【温馨提示】解决最值问题要注意两点：（1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（或最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）最值

的求解，依据配方法或者最值公式，而不是解方程.1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面下降1m，则水面宽度为（A）A.26mB.23mC.6mD.3m2.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（C）A

.60m2B.63m2C.64m2D.66m23.（贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为

25元.[来源:Zxxk.Com]4.抛物线y＝ax2＋bx的顶点M（3，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴

，PE⊥x轴，垂足分别为D，E.（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；（2）当0<x<23时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由于抛物线的顶点为M（3，3），则3a＋3b＝3，－b2

a＝3，解得a＝－1，b＝23，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋23x.当y＝0时，x＝0或23，∴A（23，0）；（2）存在.∵点M，B关于x轴对称，点A，A′关于原点O对称，∴A′（－23，0），B（3，－3）.∵C为A

′B的中点，∴CD＝12|yB|＝32.∵CD⊥x轴，PE⊥x轴，∴CD∥PE.要使四边形CDPE为平行四边形，则CD＝PE＝32，即yP＝32，∴令－x2＋23x＝32，∴x＝23±62，∴点P的坐标为

23＋62，32或23－62，32.典题精讲精练二次函数的实际应用例1足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t/s0123456

7„h/m08141820201814„下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论

的个数是（B）A.1B.2C.3D.4【解析】由表格数据可推知，抛物线经过（0，0），（9，0），可以假抛物线的解析式为h＝at（t－9），把（1，8）代入解析式可得a值，从而可得解析式，再配方即可一一判断.由表格数据可设抛物线的解析式为h＝at（t－9），把（1，8）

代入解析式可得a＝－1，∴h＝－t2＋9t＝－（t－4.5）2＋20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误；抛物线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确；∵当t＝9时，h＝0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确；∵当t＝1.5时，h＝11.2

5，故④错误.【点评】本题考查二次函数的应用，求出抛物线的解析式是解题的关键.二次函数与几何的综合例2以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（－4，0），B（0，－2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的

纵坐标为a.（1）求BC边所在直线的解析式；（2）设y＝MP2＋OP2，求y关于a的函数关系式；（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标.【解析】（1）先确定出OA＝4，OB＝2，再利用菱形的性质得出OC＝4，OD＝2，最后用待定系数法即可确定出

直线BC的解析式；1.（连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是（D）A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同B.点火后24s火箭落于地面C.点火

后10s的升空高度为139mD.火箭升空的最大高度为145m2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人

数是55时，这个旅行社可以获得最大的营业额.3.（）某超市对进货价为10元/kg的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（kg）与销售价x（元/kg）存在一次函数关系，如图所示.（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；[来源:学#科#网]（

2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y＝kx＋b，由图象可知，20k＋b＝20，30k＋b＝0，解得k＝－2，b＝60，∴y＝－2x＋60；（

2）每天销售利润p＝（x－10）y＝（x－10）（－2x＋60）＝－2x2＋80x－600.∵a＝－2＜0，∴p有最大值，当x＝－80－2³2＝20时，p最大值＝200.故当销售单价为20元/kg时，每天销售利润最大，最大利润是200元.（2）分两种情况，先表示

出点P的坐标，利用勾股定理即可得出函数关系式；（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标.【解答】解：（1）∵A（－4，0），B（0，－2），∴OA＝4，OB＝2.[来源:学,科,网Z,X,X,

K]∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝OA＝4，OD＝OB＝2，∴C（4，0），D（0，2）.设BC边所在直线的解析式为y＝kx－2，则4k－2＝0，∴k＝12，∴BC边所在直线的解析式为y＝12x－2；（2）由（1）知，C

（4，0），D（0，2），∴直线CD的解析式为y＝－12x＋2.由（1）知，直线BC的解析式为y＝12x－2.当点P在BC边上时，∵点P的纵坐标为a，∴P（2a＋4，a）（－2≤a≤0）.∵M（0，4），∴y＝MP2＋OP2＝

（2a＋4）2＋（a－4）2＋（2a＋4）2＋a2＝10a2＋24a＋48；当点P在CD边上时，∵点P的纵坐标为a，∴P（4－2a，a）（0＜a≤2）.∵M（0，4），∴y＝MP2＋OP2＝（4－2a）2＋（a－4）2＋（

4－2a）2＋a2＝10a2－40a＋48.综上所述，y＝10a2＋24a＋48（－2≤a≤0），10a2－40a＋48（0＜a≤2）；（3）①当点P与点C重合时，∠MOP＝90°，此时点P的坐标为（4，0）；②当∠OPM＝90°时，点P在CD

边上，此时OM2＝MP2＋OP2，由（2）知，MP2＋OP2＝10a2－40a＋48（0<a<2）.∵M（0，4），∴OM2＝16，∴10a2－40a＋48＝16，∴a＝2＋255（舍去）或a＝2－255，∴P455

，2－255.综上所述，点P的坐标为（4，0）或455，2－255.4.抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度

是每秒2个单位长度.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（0，2），B（3，2）

两点，∴c＝2，9＋3b＋c＝2，解得b＝－3，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2.令y＝0，则x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（

2，0）；（2）存在.由已知条件得AB∥x轴，∴AB∥CD，∴当CD＝AB＝3时，以A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形.设D（m，0）.当C（1，0）时，CD＝m－1，∴m－1＝3，∴m＝4，∴D（4，0

）；当C（2，0）时，CD＝m－2，∴m－2＝3，∴m＝5，∴D（5，0）.综上所述：点D的坐标为（4，0）或（5，0）；（3）设ts时，B，D，E在同一条直线上，则OE＝t，OD＝2t，∴E（0，t），D（

2t，0），[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]设直线BD的解析式为y＝kx＋t，则3k＋t＝2，2tk＋t＝0，∴k＝－12或k＝23（不合题意，舍去），∴当k＝－12时，t＝72，∴点D，E运动72s时，B，D，E在同一条直线

上.请完成精练本第23～25页作业